- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •1. Растяжение-сжатие
- •Основные понятия и формулы
- •1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
- •Примеры решения задач
- •1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи
- •Решение
- •1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3) Условие задачи
- •Решение
- •1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем Основные определения
- •Примеры решения задач
- •1.2.1. Расчет статически неопределимого составного стержня, работающего на растяжение-сжатие (задача № 4) Условие задачи
- •Решение
- •1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)
- •1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6) Условие задачи
- •Решение
- •2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •2.2. Исследование плоского напряженного
- •Решение
- •2.3. Расчет тонкостенной трубы,
- •Подверженной действию внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента
- •(Задача № 9)
- •Основные формулы
- •Условие задачи
- •Решение
- •3. Кручение
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •3.1. Подбор сечения составного стержня (вала), работающего на кручение (задача № 10) Условие задачи
- •Решение
- •3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11) Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 1
Примеры решения задач
2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОЩАДКАХ.
ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА№7)
Условие задачи
Рис. 2.3.
Условие задачи №
7
Элемент, выделенный из тела, находится в плоском напряженном состоянии (рис. 2.3). По граням элемента заданы нормальные и касательные напряжения, значения которых приведены на рисунке.
Материал элемента – сталь с такими характеристиками: предел текучести МПа; модуль ЮнгаМПа; коэффициент Пуассона; модуль сдвигаМПа; нормируемый коэффициент запаса прочности.
Требуется:
найти нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом 105(см. рис. 2.3);
определить величины главных напряжений и положение главных площадок;
найти наибольшее касательное напряжение и положение площадки, по которой оно действует;
оценить прочность материала в точке и показать вероятное направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки);
найти линейные и угловые деформации в системе координат и линейные деформации вдоль главных направлений; вычислить относительную объемную деформацию.
Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.
Рис. 2.4. Уточнение
условия задачи
Изобразим элемент в виде плоского рисунка (рис. 2.4), на котором укажем систему координат. Покажем наклонную площадку и внешнюю нормаль к ней, отметив штриховкой внутреннюю сторону площадки. Система координат позволяет обозначить напряжения: МПа,МПа,МПа.
Аналитический способ исследования напряженного состояния
Определение напряжений на наклонной площадке.Напряжения на наклонной площадке (рис. 2.4), находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение площадки задает уголмежду осьюи нормальюк площадке. Направление отсчета от осиxвыбираем произвольно, учитывая, что значение угла зависит от выбранного направления. (Уголнельзя путать с углом, указанным на рис. 2.3.)
Можно отсчитывать угол не от оси, а от осиz, но тогда в формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения,надо поменять местами и напряжениезаменить напряжением. Надо выбирать более удобный способ отсчета угла.
Используем угол междуи осью, отсчитывая его от осик нормали:( см. рис. 2.4). Значение угла положительное, так как угол отсчитывается против часовой стрелки. Согласно (2.2а) и (2.2б)
,
Нормальное напряжение отрицательно, значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное напряжениеположительно, это значит, что оно обходит площадку по часовой стрелке.
Выполним то же самое вычисление по-другому. Используем теперь угол между нормальюи осью, отсчитывая его отzк:. Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем в измененном виде:
Рис. 2.5. Напряжения
на наклонной
площадке
Вычисленные напряжения показаны на рис. 2.5.
Определение главных напряжений и главных направлений. Согласно (2.5) главные напряжения
.
После вычисления главные напряжения нумеруем согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после нумерации, специально используем разные обозначения. Пронумерованные главные напряжения таковы:
,,.
Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах вычисления напряжений по наклонной площадке относится и к способам вычисления положения главных площадок. Здесь мы вычислим углы ,, определяющие положения главных площадок, одним способом: будем отсчитывать эти углы от направления оси. Углы являются решениями уравнения (2.7):
,
то есть
Рис. 2.6. Положение
главных площадок
Рис. 2.7. Площадка
с максимальным
касательным
напряжением
.
Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение. Теперь можно в соответствии с нумерацией главных напряжений пронумеровать и углы:,.
Определение максимального касательного напряжения.Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости(рис. 2.7), определяется формулой (2.10):
МПа.
В рассматриваемом примере главные напряжения ,, поэтому касательное напряжениеявляется максимальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку:. Нормальное напряжение на той же площадке дается формулой (2.11):
МПа.
Графический способ исследования напряженного состояния
Способ состоит в построении круга напряжений Мора, позволяет проверить аналитическое решение.
Круг напряжений Мора является средством вычисления, поэтому его необходимо строить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат
Строим круг напряжений (рис. 2.8). Изображаем систему координат , используя одинаковый масштаб по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскостидве точкиX,, соответствующие заданным площадкам с нормалями. Координатами точек,являются нормальные и касательные напряжения на заданных площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга Мора. ТочкаО пересечения диаметра с осью– центр круга. Проводим окружность.
Точкам I,IIIпересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) являются главными напряжениями:МПа,МПа.
Рис. 2.8. Круг Мора,
изображающий заданное
плоское напряженное
состояние
Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка круга. Координаты точкидают значенияМПа,МПа.
Найдем напряжения на наклонной площадке. Отметим на круге точку , соответствующую этой площадке, отложив от радиусаOX (соответствующего осиx) против часовой стрелки угол, либо от радиусаОZ(соответствующего осиz) в том же направлении угол 215. Координаты точкидают напряжения на наклонной площадке:,.
Рис. 2.9.Круги
Мора, изображающие
объемное напряженное
состояние
Проверка прочности. Главные напряжения,,вычислены выше.
Начать решение вопроса нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. По условию задачи материал – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности.
Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение
.
Сравнение с пределом текучестипоказывает, что материал работает упруго. Действительно,
.
Но условие прочности не выполнено:
.
Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями, эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический) коэффициент запаса
меньше нормативного .
Согласно четвертой теории прочности
МПа.
Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории. Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим:
.
Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой теориям приведены на рис. 2.10, 2.11. По площадке, выделенной жирным контуром, на рис. 2.10 действует максимальное касательное напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и наклонена под углом в 45°к площадкам 1 и 3. Выделенная площадка рис. 2.11 соответствует четвертой теории прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам.
Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.
Рис. 2.10. Опасная
площадка
по третьей теории
прочности
Рис. 2.11. Опасная
площадка
по четвертой
теории прочности
Определение деформаций в точке. Деформации являются упругими и можно применять обобщенный закон Гука, так как вычисленные выше эквивалентные напряжения меньше предела текучести:.
Когда превышает, закон Гука определяет упругую (обратимую) часть полной деформации. В таком случае в задаче нужно вычислить лишь эту составляющую, отметив примечанием в тексте.
Линейные деформации в направлении осей таковы:
,
,
.
Угловая деформация
.
Знак минус говорит об уменьшении угла . Отсутствие касательных напряженийозначает отсутствие соответствующих угловых деформаций:.
Линейные деформации вдоль главных направлений 1, 2, 3
Рис. 2.12. Деформация
элемента по
направлениям х,
z
Рис. 2.13. Деформации
элемента
по главным
направлениям 1, 3
.
Рис. 2.12, 2.13 иллюстрируют результаты вычислений. На этих рисунках ,и,– размеры ребер элементов с гранями, перпендикулярными до деформации тела исходным и главным осям соответственно. В результате деформации элементы перемещаются как жесткое целое и деформируются. На рисунках сплошной и пунктирной линиями изображены элементы после и до деформации соответственно. Перемещение элементов как жесткого целого не изображено.
Примечание.Рисунки, показывающие деформации элемента, выполняются в масштабе. Так как абсолютные деформации существенно меньше, чем длины граней, то для наглядности рисунков масштабы длин и удлинений выбираются разными.