1-kinematika

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Теоретическая механика – наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом механических взаимодействиях между телами

Движение (механическое движение) – это изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам Равновесие – это состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам

Механическое взаимодействие между телами – это вид взаимодействия, при котором происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация) Мера механического взаимодействия между телами в механике называется силой

МАТЕРИАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ

1.Материальная точка (МТ, в дальнейшем иногда слово «материальная» будем опускать) – это тело, имеющее массу, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь

2.Абсолютно твердое тело (АТТ, в дальнейшем – «твердое тело») – тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается постоянным

3.Механической системой (МС) материальных точек или твердых тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных

Основная задача теоретической механики: изучение общих законов движения и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил

Основные разделы теоретической механики:

1.Кинематика (изучает движение материальных объектов без учета масс и сил)

2.Статика (изучает условия равновесия материальных объектов под действием сил)

3.Динамика (изучает законы движения материальных объектов под действием сил)

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 1

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА

Кинематика – это раздел теоретической механики, изучающий движение материальных объектов без учета масс и сил

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Система отсчета – это система координат, жестко связанных с телом отсчета, снабженная часами (для простоты ограничимся использованием декартовых координат: x , y , z ; пространство – трехмерное евклидово пространство; время t – скалярная непрерывно изменяющаяся величина)

Траектория материальной точки – это непрерыв-

ная линия, которую описывает точка M в заданной системе отсчета, двигаясь из начального положения M0 (начало отсчета, при этом t=0)

Дуговая координата σ(t ) – это отсчитанное по введенному правилу знаков расстояние по дуге траектории от начального положения точки (начало отсчета) до положения точки во время t (отметим, что дуговая координата определяет положение точки относительно начала отсчета)

Задать движение (задать закон движения) точки (тела) означает задать положение этой точки (тела) в пространстве в заданной системе отсчета в любой момент времени

Основная задача кинематики – зная закон движения заданного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие как движение этого тела в целом, так и движение каждой из его точек в отдельности (траектории, скорости, ускорения)

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 2

ТРИ СПОСОБА ЗАДАНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1) При векторном способе закон движения задают как функцию радиус-вектора r точки от времени:

r = r (t )

Радиус-вектор – это вектор, проведенный из начала координат в заданную точку

2) Согласно координатному способу, закон дви-

жения задают как зависимость всех координат точки от времени:

x = x(t )

=

y y(t )

z = z t

( )

Отметим, что координаты ( x , y , z ) заданной точки совпадают с координатами ее радиус-вектора r

3) При естественном способе закон движения точки задают в виде зависимости ее дуговой координаты от времени:

σ = σ(t )

Естественные оси – это оси, жестко связанные с данной материальной точкой, которые задают с помощью ортов естественного трехгранника: n , ф и b , при этом

орт n направлен из данной точки к центру кривизны траектории;

орт ф направлен по касательной к траектории по направлению движения; орт b ортогонален плоскости, образованной векторами n и ф

ф

n

=

ф

=

b

= 1,

n

b

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 3

ТРАЕКТОРИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Закон движения, записанный в координатной форме, представляет собой одновременно уравнения траектории точки в параметрической форме

Уравнение траектории в обычной форме можно найти, исключив из уравнений движения время t Пример 1. Пусть движение точки в плоскости {xy} задано уравнениями:

x = 2t + 4

= −

y 5t

Выразив параметр t из второго уравнения, и, подставив в первое, получим уравнение траектории:

y= 10 − 2.5 x

Вначальный момент времени t = 0 , x = 4 , y = 0 . При увеличении t координата x возрастает, а y убывает.

Пример 2. Пусть движение точки в плоскости {xy} задано уравнениями:

x = 3 sin(πt )

y = 4 cos(πt )

Разделим первое уравнение на 3, второе на 4, затем возведем оба уравнения в квадрат и сложим. В результате получим уравнение траектории:

x			2			y		2
			+					= 1
	3					4
В начальный момент времени t = 0 ,					x = 0 , y = 4 . При увеличении t коор-

дината x возрастает, а y убывает.

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 4

СКОРОСТЬ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Средняя скорость материальной точки за промежуток времени t равна отношению вектора перемещения r точки к соответствующему промежутку времени

V = r t

Скорость (мгновенная скорость) материальной точки в данный момент времени равна пер-

вой производной от радиус-вектора точки по времени

1. Векторный способ записи:

r

dr

&

V = lim

=

≡ r

t →0 t

dt

=

' −

≈ dσ

отсюда следует, что

Отметим, что dr

r

r

ф,

вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки

V ↑↑ ф

2. Координатный способ записи:

Vx = dx / dt ≡ x&V y = dy / dt ≡ y&Vz = dz / dt ≡ z&

3. Естественный способ записи:

=

dσ

ф≡ σ&

V =

dσ

≡ σ&

V

ф

,

dt

dt

НЕ ПУТАТЬ центр кривизны траектории (точка P) и начало координат (точка 0), а также радиус-вектор r и радиус кривизны траектории ρ

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 5

УСКОРЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Ускорение (мгновенное ускорение) материальной точки в данный момент времени равно первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени

1. Векторный способ записи: 2. Координатный способ:

a

&

x

= V

x

= x&&

2

dV

d

r

&

&

a =

=

≡ V

= r

y

= V

y

= &y&

dt

dt 2

&&

a

&

3. Естественный способ:

a z

= Vz

= &z&

=

d (V τ)

=

dV

τ +

dτ

V =

τ +

n

=

dV

a

a

a

dt

dt

dt

dt

{ {

a

τ

a

n

dτ ≈

τ

dϕ

= 1

dσ

=

dσ

=

dσ

V

=

V 2

n

n

n

a

n

n

n

ρ

ρ

dt с

с

Таким образом, ускорение раскладывают по естественным осям на две составляющие: an и aτ

an — нормальное (центростремительное) ускорение aτ — касательное (тангенциальное) ускорение

V 2

τ =

dV

=

=

τ +

n

a = an2 + aτ2

a

ф

an

n

a

a

a

dt

с

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 6

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Ускоренное движение:					Замедленное движение:					Равномерное криволинейное
										движение: aτ = 0
		τ ↑↑ V					τ ↑↓ V
	a					a

Прямолинейное движение: an = 0

Равнопеременное движение: aτ = Const

а) равноускоренное

V

↑↑

τ

a

↑↓

τ

б) равнозамедленное V

a

Зависимость скорости точки от времени при

равнопеременном движении:

a

=

dV

∫ dV = ∫ a

dt

V −V = a

t

τ

τ

0

τ

dt

V (t ) = V0 + aτ t

Здесь V0 – начальная скорость точки

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 7

Зависимость ускорения точки от времени при равнопеременном движении:

V =

dσ

∫ dσ = ∫V dt ∫ dσ = ∫ (V + a

t )dt σ − σ

= V t +

1

a

t 2

0

dt

0

τ

0

2

τ

σ(t ) = σ

+ V t +

1

a

t 2

0

0

2

τ

Здесь σ0 – начальная координата точки

Пример 3 (координатный способ задания движения). При заданном законе движения точки

x = V0 t
	1		2
y =		gt
	2

определить ее траекторию, скорость и ускорение ( g и V0 – константы).

Исключив из заданных уравнений параметр T, получим уравнение траектории:

y =

Зависимость скорости от времени:

Ускорение:

g

x 2

2V 2

0

V

x

= x&

= V

0 ,

V = Vx2 + V y2 = V02 + ( gt ) 2

V y = y& = gt

a

= V

= 0

x

&

x

= a y = g

2

2

&

= g

,

a =

a x

+ a y

a

y

= V

y

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 8

Пример 4 (естественный способ задания движения). Точка начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно по окружности радиуса r и, пройдя путь σ1 , приобретает скорость V1 . Найти скорость V2 и ускорение a2 точки в момент, когда пройденный путь равен σ2 .

Так как точка начинает двигаться из состояния покоя, то

σ = σ0	+V0 t +	aτ t 2	=	aτ t 2	,	V = V0	+ aτ t = aτ t
		2
{ {			2			{
=0	=0					=0

V 2

Исключив из этих выражений из T, получим, что aτ = 2σ .

Равноускоренное движение означает постоянство aτ на всем пути, то есть:

a

=

V12

=

V22

V

= V

σ2

τ

2

2σ1

2σ2

1

σ1

Нормальное ускорение при σ = σ2 :

an2

=

V22

r

Полное ускорение при σ = σ2 :

= V 2

σ2

1

1

1

1

a

= a 2

+ a 2

= V 2

+

+

2

n

2

τ

2

r 2

4σ22

1 σ1

r 2

4σ22

Заметим, что центростремительные ускорения an1 и an2 отличаются друг от друга, что обусловлено различием соответствующих скоростей V1 и V2 . Отсюда следует, что также различны полные ускорения a1 и a2 .

[Разработчик Щербакова А.О.] Страница 9

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная через две его точки, передвигается параллельно самой себе

rD = rC + C D

Вектор C D с течением времени не меняется по величине (по определению твердого тела) и направлению (остается параллельным самому себе)

dr

D

=

drC

+

d

C

D

V

= V

=

D

a

D

a

C

dt dt dt

C

123

0

Скорости (а также ускорения и траектории) всех точек твердого тела, движущегося поступательно, равны друг другу

ЗАКОН ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ определяется законом движения любой его точки:

rC = rC (t ) (или rD = rD (t ) )

Пример поступательного движения

Звено AB движется поступательно, так как во время

движения звено AB постоянно остается параллельным самому себе (а также // OO1 ), следовательно,

V A = VB = VC ≡ V ;

a A = a B = aC ≡ a .

Траектории точек звена AB представляют собой окружности, радиусы которых равны длинам отрезков OA и O1 B

[Разработчик Щербакова А.О.]

Страница 10