- •1. Концепция метода конечных элементов
- •2. Дискретизация области
- •2.1. Типы конечных элементов
- •2.2. Одномерный симплекс-элемент
- •2.3. Двухмерный симплекс-элемент
- •2.4. Локальная система координат одномерного симплекс-элемента
- •2.5. Локальная система координат для двухмерного четырехугольного элемента
- •2.6. Интерполяционные полиномы для дискретизованной области
- •2.7. Преобразование системы уравнений
- •2.8. Решение системы уравнений
- •2.9. Решение стационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных элементов.
- •2.10. Решение стационарной двумерной задачи теплопроводности методом конечных элементов.
2.9. Решение стационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных элементов.
Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет вид:
(2.56)
Где Т– температура;- коэффициенты теплопроводности в направленияхx, yиzразмерности кВт/м*К;- источник тепла внутри тела, который считается положительным, если тепло подводится к телу, его размерность кВт/м3.
Так как мы рассматриваем одномерную задачу, то уравнение теплопроводности примет вид:
(2.57)
Перенос тепла осуществляется вдоль стержня. На боковых поверхностях заданы адиабатические условия или теплопроводность плоской стенки. На левой и правой границе задаются граничные условия 1,2 или 3 рода.
С уравнением (2.56) связывают два различных типа граничных условий. Если температура известна на некоторой части границы, то записывают:
, (2.58)
Где ТВ– температура на границе, которая может быть функцией координат точек поверхностиs. Если на границе происходит конвективный теплообмен, который характеризуется величинойh(T-T0), или задан поток теплаq, то граничное условие имеет вид:
(2.59)
Где h- коэффициент теплообмена, кВт/м2*К;Т– температура на границе (неизвестная), К;Т0– температура окружающей среды (известная), К;lx, lyиlz– направляющие косинусы;q- поток тепла кВт/м2, который считается положительным, если тепло теряется телом. Поток теплаqи конвективная потеря теплаh(T-T0)не имеют места на одном и том же участке поверхности границы. Если существуют потери тепла за счет конвекции, то отсутствует отвод или приток тепла за счет теплового потока и обратно.
Уравнения (2.56) и (2.59) могут быть применены к одномерным и двумерным задачам после простого вычеркивания членов, связанных с ненужными координатами. Уравнение для одномерной задачи с граничными условиями запишется в виде:
(2.60)
Если конвективный теплообмен отсутствует, кроме того, поток тепла равен нулю, то уравнение (2.59) сводится к соотношению:
Которое выражает условие существования теплоизолированной границы (n– внешняя нормаль).
Запишем уравнение теплопроводности для одномерной задачи в следующем виде:
(2.61)
Где [N]Т– матрица, содержащая функцию формы.
(2.62)
(2.63)
(2.64)
Используя теорему Остроградского-Гаусса, перейдем от интеграла по Vк замкнутой поверхности:
(2.65)
На левой границе задаем ГУ 2 рода, а на правой – 3 рода:
В результате с граничными условиями уравнение теплопроводности будет записано в виде:
(2.66)
Помножим полученное выражение на и используя выражениеt=[N]{T} запишем уравнение теплопроводности:
(2.67)
Таким образом, результирующая система уравнений имеет вид:
(2.68)
Где – матрица жесткость (теплопроводности);
- вектор столбец.
Суммируя эти уравнения для каждого элемента, получим:
(2.69)
Интерполяционный полином для одномерного линейного элемента имеет вид:
(2.70)
Где - функции формы, которые определены относительно системы координат, показанной на рис. 2.14
Рис. 2.14 Система координат, относительно которой определены функции формы.
Матрица жесткости элемента получается суммированием матриц , а вектор столбец – сложением матриц. Рассмотрим составляющие матриц подробнее.
Матрица коэффициентов, учитывающая теплообмен:
(2.71)
Матрица коэффициентов, учитывающая теплопроводность:
(2.72)
Вектор столбец, учитывающий конвективный теплообмен:
(2.73)
Вектор столбец, учитывающий поток тепла:
(2.74)
Вектор столбец, учитывающий внутренние источники тепла:
(2.75)
Матрица градиентов получается дифференцированиемпоx:
Матрица свойств элемента сводится к одному коэффициенту, так как свойства внутри элемента постоянны:
(2.76)
Вычислим интегралы из (2.69):
(2.77)
(2.78)
Так как , то интеграл отNi по dx иметь вид:
(2.79)
Тогда, используя (2.79), выражение (2.78) примет вид:
(2.80)
Выражение для коэффициента, учитывающего теплообмен примет вид:
(2.81)
Выражение для коэффициентов и вектор столбца запишется следующим образом:
Если заданы на правой стороне:
(2.82)
(2.83)
(2.84)
Если на левой стороне:
(2.85)
(2.86)
(2.87)
Суммируя все коэффициенты и вектор столбцы, получим общее выражение для узла:
(2.88)
Выражение (2.88) запишется в сокращенном виде:
(2.89)
ПРИМЕР №1
Требуется вычислить распределение температуры в одномерном стержне с приведенными ниже физическими характеристиками.
Разделим конструкцию на 5 элементов длинной 1,5 см каждый. Матрицы элементов для первых четырех элементов идентичны и могут быть составлены с помощью формул:
Рис. 2.15 Пример №1
Запишем величины различных параметров, входящих в эти соотношения:
Матрица теплопроводности для первого элемента имеет вид
или
Матрица теплопроводности для второго, третьего и четвертого элемента идентичны . Вектор нагрузки элемента преобразуется к виду:
так как Q и q равны нулю
Матрицы для пятого элемента получаются из соответствующих матриц первого элемента добавлением членов, описывающих потери тепла на правом конце стержня. Чтобы построить матрицу теплопроводности, нужно добавить к результаты вычислений (2.81). Так какαА=10π, нужно добавить следующую матрицу:
и
Вектор нагрузки для пятого элемента
или
После применения метода прямой жесткости совокупность рассмотренных матриц элементов приводит к следующей системе уравнений:
Здесь проведено сокращение на множитель π, так как он входит в обе части системы уравнений. Пустые места в [k] означают нулевые коэффициенты.
Значение Т1 известно (150˚С), так что система уравнений должна быть модифицирована перед решением. Эта модификация преобразует стобец правых частей к виду
После решения системы имеем
Теоретические значения температуры [2] следующие:
Результаты, полученные по методу конечных элементов, достаточно хорошо согласуются с истинными значениями, если учесть, что было проведено разбиение области на одинаковые элементы. Решение по методу конечных элементов можно было бы улучшить, если использовать более короткие элементы вблизи стены, в которую заделан стержень.