Лабораторная работа №7.

На АЗС установлено A колонок для выдачи бензина. Около станции находится пло­щадка на B автомашин для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем C маш./ч. Среднее время заправки одной машины D - мин.

Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.

Значения коэффициентов условия задачи:

A=4; B=2; C=20; D=3,5.

Решение:

n=4

m=2

t_обс.=3,5 мин.

μ=1/t_обс.=1/3,5=0,29

λ=20 маш./ч.=0,33

ρ=λ/μ=0,33/0,29=1,14

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

P₀=(1+(ρ/1!)+(ρ²/2!)+…+(ρⁿ/n!)+ (ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ))[1-(ρ/n)^m])^-1

Р₀=(1+1,14+1,14²/2+1,14³/3!+1,14⁴/4!+(1,14⁴⁺¹/4!(4-1,14))*[1-(1,14/4)²])^-1= (2,14+0,65+0,25+0,07+0,028*0,92)^-1=0,319

2. Вероятность отказа:

Р_отк.=P₀*ρ^n+m/n!n^m

Р_отк.=1,14⁴⁺²*0,319/(4!*4²)=2,19*0,319/384=0,002

3. Вероятность обслуживания:

Р_обс.=1-Р_отк.

Р_обс.=1-0,002=0,998

4. Абсолютная пропускная способность:

А= Р_обс.*λ

A=0,998*0,33=0,329

5. Среднее число занятых каналов:

k=А/μ

k=0,329/0,29=1,134

6. Среднее число заявок в очереди:

L_оч.=(ρⁿ⁺¹/(n*n!))*(((1-(ρ/n)^m)(m+1-(m*ρ/n)))/(1-(ρ/n))²)

L_оч.=(1,14⁵/(4*24))*((1-(1,14/4)²)(2+1-(2*1,14/4))/(1-(1,14/4))²)*0,31= 0,02*0,919*2,43/0,511=0,087

7. Среднее время ожидания:

t_оч.=L_оч./λ

t_оч.=0,087/0,33=0,264

8. Среднее число заявок в системе:

z=L_оч.+k

z=0,087+1,134=1,221

9. Среднее время пребывания в системе:

t_смо=z/λ

t_смо=1,221/0,33=3,7

Ответ:

Вероятность отказа равна 0,002. Средняя длина очереди равна 0,087.

Список литературы

1. Под редакцией Н.Ш. Кремера «Исследование операций в экономике», М. 2005, с. 407.

2. http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/graf/index.htm.

3. http://belsky.narod.ru/v2/download/mathemat/courses/tgik/index.html.

4. http://graph.city.tomsk.net.

5. Х. Таха «Введение в исследование операций», т.1,2, М., Мир, 1989.

6. Л.Ф. Ковалева «Математическая логика и теория графов», МЭСИ, 1977.

35