Глава 2. Интеграл Лебега.

2.1. Измеримые функции.

Символом будем обозначать расширенное множество действительных чисел, т.е. множествос присоединенными несобственными числамии.

На множестве справедливы обычные правила арифметических действий, кроме следующих:

Сумма двух несобственных чисел иесть неопределенное число, также неопределенными являются результаты следующих операций,.

Пусть - некоторое подмножество. Будем рассматривать функции, определенные на множествеи принимающие значения в, т.е. функции могут принимать бесконечные значения.

Для произвольного введем множество

,

называемое Лебеговым множествомфункции.

Определение 2.1.1.Функцияназываетсяизмеримой по Лебегу, если

1. множество измеримо;

2. для любого множестваизмеримы.

Справедлива

Теорема 2.1.1.Следующие утверждения эквивалентны

1. функция измерима;

2. для любого множествоизмеримо;

3. для любого множествоизмеримо;

4. для любого множествоизмеримо.

Доказательство.Теорема будет полностью доказана, если будет показана последовательность импликаций

Покажем, что из первого утверждения следует второе. Для произвольного справедливо представление. В силу измеримости функции, каждое множествоизмеримо, а пересечение счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Импликациядоказана.

Докажем . Для произвольного, справедливо представление. Отсюда следует вывод, что множествоизмеримо как разность двух измеримых множеств.

Импликация доказывается аналогично утверждению, используя представление. Каждый элемент пересечения является измеримым множеством, а так как элементов пересечения счетное число, то их пересечение есть измеримое множество.

Доказательство аналогично доказательству.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.1 утверждает, что в определении измеримой функции можно взять любое из множеств ,,,. Поэтому все перечисленные множества называютсяЛебеговыми множествамифункции.

Можно показать, что для измеримой функции множества вида,,,…измеримы для любых. При этом, из измеримости множествпри всехне следует измеримость функции.

Докажем справедливость некоторых свойств измеримых функций.

Теорема 2.1.2.Всякая функция, определенная на множестве нулевой меры, измерима.

Доказательство. Как известно, любое подмножество множества нулевой меры измеримо. Следовательно, Лебеговы множества функции имеют нулевую меру и потому измеримы.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.3.Пусть- измеримое подмножество и,, тогда функцияизмерима.

Теорема 2.1.4.Пустьизмерима и- измеримое подмножество. Тогда сужениеявляется измеримой функцией.

Доказательство.Справедливо равенство. Поэтому всякое Лебегово множество функцииизмеримо как пересечение двух измеримых множеств. Таким образом,измерима.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.5.Пусть функциязадана на объединении не более чем счетного числа измеримых множеств и имеет измеримое сужение на каждое из этих множеств. Тогдаявляется измеримой на объединении множеств.

Определение 2.1.2. Две функцииизаданные на одном и том же множестве называютсяэквивалентными, если мера множества, на которомине равны, равна нулю, т.е.

.

При этом говорят, что функции иравны почти всюду.

Теорема 2.1.6.Еслиизмерима и функцияэквивалентна, то функцияизмерима.

Доказательство.Множествопредставим в видеи обозначим. Сужениеявляется измеримой функцией. Сужение функциисовпадает с сужением, и потому измеримо. Так как, тоизмеримая функция. В итоге функцияопределена на объединении двух измеримых множеств и измерима на каждом из них. Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.7. Функция непрерывная на отрезкеизмерима.

Доказательство.Множествоизмеримо. Для непрерывной функции прообразом любого замкнутого множества является замкнутое множество. Поэтому Лебеговы множестваизмеримы для любого.

Теорема доказана.

Следствие 2.1.1.Всякая кусочно-непрерывная на отрезке функция измерима.

Следующая теорема утверждает, что множество всех измеримых функций, определенных на измеримом множестве , замкнуто относительно операций сложения и умножения на скалярный множитель.

Теорема 2.1.8.Пусть функциииизмеримы и- произвольный скаляр, тогдаиизмеримы на множестве.

Доказательство.Если, тоИными словами, Лебеговы множестваизмеримы при любом.

Для ненулевого , имеем

В силу измеримости функции оба множества измеримы. Таким образом, любая функция видаизмерима вместе с функцией.

Для доказательства второго утверждения покажем справедливость равенства

,

где - множество рациональных чисел.

Пусть , тогда. В силу всюду плотности множества рациональных чисел на прямой, найдется такое рациональное число, что. Тогдаи. Иными словами,и. Тогда. Включениепоказано.

Пусть , тогда найдется такое рациональное число, что. Отсюдаи. Следовательнои, тогда. Иными словами,. Обратное включение показано.

Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.9.Если функцияизмерима, то измеримы функции,и, если функцияне обращается в нуль на множестве.