8.3.4. Расчет статически неопределимого вала Пример

Определить размеры статически неопределимого стального вала из условия прочности, определить угол закручивания сечения А (рис. 8.33).

1. Раскрыть статическую неопределимость вала с помощью канонических уравнений метода сил.

Задача один раз статически неопределима. Основная система может быть выбрана путем отбрасывания связи С или В. Загружая основную систему моментами М₁, М₂, М₃ и неизвестным моментом Х₁, получаем эквивалентную систему (см. рис. 8.33, б). Неизвестная сила Х₁ определяется из канонического уравнения

₁₁х₁ + _1F = 0.

Коэффициент ₁₁ и свободный _1F член канонического уравнения определяем по способу Верещагина. Перемножая эпюры М_кF и на соответствующих участках, определяем_1F, умножая эпюру саму на себя, определяем₁₁.

,

Рис. 8.33

где

1. Построение суммарной эпюры крутящих моментов.

Строим эпюру (см. рис. 8.33, д) и на основании равенства М_I = М_кFi + М_к1i – окончательно суммарную эпюру крутящих моментов (см. рис. 8.33, е).

Сечение	Значение изгибающего момента
Участок В	М = –300 – 19,84 = –319,84 Нм
Участок ВЕ Е	М = –319,84 Нм
Участок ЕD Е	М = 300 – 19,84 = 280,16 Нм
Участок ЕD D	М = 280,16 Нм
Участок DK D	М = –100 – 19,84 = –119,84 Нм
Участок DK K	М = –119,84 Нм
Участок KС K	М = –19,84 Нм
Участок KС С	М = –19,84 Нм

2. Деформационная проверка решения.

Умножая суммарную эпюру крутящих моментов (М_) на эпюру по правилу Верещагина, определяем угол закручивания сечения С относительно В, который по условию закрепления должен быть равен нулю.

Погрешность составляет 0,07 %.

3. Расчет размеров поперечного сечения вала.

Принять [] = 80 МПа. Опасные сечения будут на участке ВЕ, т.к. здесь наблюдается наибольший крутящий момент при наименьшем диаметре вала.

Из условия прочности

,

где ,

определяем диаметр

Принимаем диаметр d₁ = 28 мм, d₂ = 32 мм, d₃ = 30 мм.

4. Определение угла закручивания сечения А.

Для определения угла закручивания сечения А приложим в основном состоянии единичный скручивающий момент в этом сечении и построим эпюру(см. рис. 8.33,ж).

Перемножая эпюру М_ и эпюру по правилу Верещагина, определим угол закручивания сеченияА.

или

.

8.3.5. Расчет статически неопределимых систем при растяжении-сжатии Пример

Для стержня, показанного на рис. 8.34, определить:

а) диаметр на различных участках из условия прочности;

б) перемещение сечения 1-1 стержня.

Материал стержня – сталь (чугун). Модуль продольной упругости: для сталиЕ = 210⁵ МПа, для чугуна Е = 1,210⁵ МПа). Предел текучести для стали 30, _Т = 300 МПа, предел прочности для чугуна СЧ28-48 =280 МПа, = 1000 МПа.

l = 0,5 м; А₁ = А; А₂ = 3А; А₃ = 2А; F₁ = 120 кН; F₂ = 80 кН.

1. Раскрыть статическую неопределимость системы с помощью канонических уравнений метода сил.

Задача один раз статически неопределима, т.к. уравнение статики может быть записано одно F_Z = 0, а неизвестных реакций две (R_A, R_B), рис. 8.34.

Основная система может быть выбрана путем отбрасывания связи А или В (рис. 8.35, а).

Загружая основную систему силами F₁, F₂ и неизвестной силой Х₁, получаем эквивалентную систему (см. рис. 8.35, б).

Неизвестная сила Х₁ определяется из канонического уравнения:

₁₁х₁ + _1F = 0.

Коэффициент ₁₁ и свободный член уравнения определяем по способу Верещагина.

Рис. 8.35

Строим эпюру (см. рис. 8.35,д).

2. Построить суммарную эпюру продольных сил. На основании принципа независимости действия сил .

Сечение	Значение изгибающего момента
А	N = 30,59 кН
L (участок AL)	N = 30,59 кН
L, K (участки LD, DC, CK)	N = ^–80 + 30,59 = ^–49,41 кН
K (участок KВ)	N = 40 + 30,59 = 70,59 кН

Эпюра продольных сил (N_) приведена на рис. 8.35, е.

3. Деформационная проверка решения.

Перемножая по правилу Верещагина эпюру N_ и эпюруN₁, определяем перемещение сечения А, которое по условию наложенной связи должно быть равно нулю.

Погрешность составляет: .

4. Рассчитать размеры поперечного сечения стержня .

Наиболее опасными сечениями являются сечения на участке ВK. На этом участке наибольшая продольная сила N = 70,59 кН при наименьшем сечении стержня. Принимая коэффициент запаса n = 1,5, определяем допускаемое напряжение в случае стального стержня (сталь 30). Определяем диаметр d₁ на 1-м участке.

Принимаем по нормальному ряду линейных размеров d₁ = 22 мм.

.

Напряжение в этом случае будет равно

.

; ;

; .

Для чугунного стержня ;n = 2,5;

.

.

Принимаем d₁ = 28 мм. Площадь . Напряжение в этом случае на участкеВK . Перенапряжение , что допустимо.

; .

; .

5. Определить перемещения сечения 1-1 стального стержня. Для определения перемещения 1-1 в стержне АВ необходимо в основной системе (см. рис. 8.35, ж) приложить единичную силу = 1, построить эпюру(см. рис. 8.35,з) и затем перемножить эту эпюру и эпюру N_ по правилу Верещагина.

.

Сечение 1-1 перемещается вниз на 0,14 мм.

Пример

Абсолютно жесткий брусА-В шарнирно поддерживается стальными стержнями, крепится посредством опорных устройств (рис. 8.36) и нагружен силами F₁ и F₂. Произвести проектировочный расчет, принимая коэффициент запаса n = 2, предел текучести _т = 380 МПа, F₁ = 2F₂, F₂ = 200 кН, A₁ = 2A, A₂ = A. Брус АВ принять недеформируемым. Устойчивость стержней обеспечена.

1. Определить степень статической неопределимости.

Неизвестных усилий 4 (два на опоре С и по одному в 1-м и 2-м стержнях). Уравнений статики, свойственных для данной системы, можно записать 3. Следовательно, задача один раз статически неопределима.

2. Раскрыть статическую неопределимость системы.

Рис. 8.37	Рис. 8.38

Выбирается основная система путем отбрасывания связи K или D (рис. 8.37). Основная система превращается в эквивалентную систему (рис. 8.38). Коэффициенты канонического уравнения ₁₁х₁ + _1F = 0 определяются способом Верещагина. На рис. 8.39, 8.40 приведены эпюры продольных сил в основном состоянии от сил F₁, F₂ и . Усилия в стержнях от заданных силF₁, F₂ и определяются из уравнения статики

М_С = 0; ;кН.

Стержень 1 – сжимается.

; ;

От единичной силы первый стержень также сжимается.

Учитывая, чтоN₁ = и, строим эпюрыN₁ (рис. 8.41) и N_ (рис. 8.42).

3. Деформационная проверка.

Перемножая по правилу Верещагина эпюру N_ и эпю-ру , определяем перемещение связи K, которое по условию равно нулю.

4. Определить диаметры стержней из условия прочности . Напряжение в первом и втором равны по величине;. Допускаемое напряжение

; .

Принимаем диаметр d₂ = 17 мм. Тогда ,, .