8.3.3 Использование свойств симметрии в статически неопределимых рамах Пример

В симметричных рамах, нагруженных симметричной нагрузкой, в сечениях на оси симметрии поперечная сила равна нулю, а нагруженных кососимметричной нагрузкой на оси симметрии равны нулю продольная сила и изгибающий момент (см. рис. 8.21, а, б соответственно).

Тогда для рамы (см. рис. 8.21) в итоге необходимо записать два канонических уравнения:

₁₁Х₁ + ₁₂Х₂ + _1F = 0,

₂₁Х₁ + ₂₂Х₂ + _2F = 0.

Для рамы (рис. 8.22) записывается одно каноническое уравнение:

₁₁Х₁ + _1F = 0.

а

а

Рис. 8.21

Рис. 8.21

Рассмотрим решение симметричной рамы с симметричной внешней нагрузкой. Жесткость рамы постоянна.

Решение

1. Построить эпюры изгибающих моментов от заданных и единичных нагрузок (рис. 8.23, а, б, в) для схемы нагружения, показанной на рис. 8.21.

, м	, м
а	б	в
Рис. 8.23

2. Определить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Заметим, что в симметричных системах достаточно перемножить эпюры на одной половине рамы. Это приведет к тому, что все коэффициенты канонических уравнений будут половинными.

3. Построить суммарную эпюру изгибающих моментов М_.

Предварительно построим эпюры М₁ и М₂, ординаты которых равны и(рис. 8.24,а, б).

М1	М2
а	б
Рис. 8.24

Определить изгибающий момент в сечениях на основании равенства (8.5).

Сечение	Значение изгибающего момента
А
В – участок АС
В – участок ВС
С

Суммарная эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 8.25. Заметим, что в симметричных рамах с симметричной внешней нагрузкой эпюры М и N также симметричны, а эпюра Q – кососимметрична.

4. Произвести деформационную проверку, перемножив по правилу Верещагина эпюру М_ (рис. 8.25) и эпюру (рис. 8.26) для нового основного состояния:

5. Построить эпюры продольных и поперечных сил.

Применяя метод сечения, составим выражение для поперечной и продольной силы на участках.

Рис. 8.25 Рис. 8.26

На горизонтальном участке АВ (см. рис. 8.21, б).

На вертикальном участке ВС

На основании симметрии на рис. 8.27, а, б построены эпюры продольных сил и поперечных сил.

а б		б
Рис. 8.27

6. Определить вертикальное перемещение сечения А.

Прикладываем единичную силу к основной системе в сечении А (рис. 8.28) и строим от нее эпюру изгибающих моментов. Перемножая эпюру М_ и эпюру по правилу Верещагина, получаем искомое вертикальное перемещение сеченияА.

Рис. 8.28	Рис. 8.29

Рассмотрим симметричную раму с кососимметричной внешней нагрузкой (см. рис. 8.22, б). Эпюра остается для левой половины такой же, что и для симметричной (см. рис. 8.23,а). Эпюра от единичного усилия построена на рис. 8.29.

1. Определяем коэффициенты канонического уравнения, находим х₁.

2. Строим эпюры иМ_I = М_Fi + M_1i (рис. 8.30, 8.31).

Сечение	Значение изгибающего момента
А
В – участок АВ
В – участок ВС
С

Рис. 8.30	Рис. 8.31

Для симметричной рамы с кососимметричной внешней нагрузкой имеем кососимметричную эпюру изгибающего момента и продольной силы. Эпюра поперечной силы симметрична.

3. Анализируем продольные и поперечные силы по участкам балки (см. рис. 8.22, б) и строим их эпюры (рис. 8.32, а, б).

Участок АВ

Участок ВС

а	б
Рис. 8.32

4. Проводим деформационную проверку. Для этого по правилу Верещагина умножаем эпюру М (см. рис. 8.31) на эпюру основного состояния (см. рис. 8.26), определяя, таким образом, угол поворота сечения Е.

5. Определяем перемещение сечения А.

Так как эпюра см. рис. 8.28) по виду аналогична эпюре(см. рис. 8.29), то перемещение должно быть равным нулю: