Koshkina_osnovy_geodezii_i_topografii

3.2. Задание и исходные данные

Дирекционный угол исходной стороны α1–2 выдается каждому студенту индивидуально. Координаты исходной точки 1 могут быть одинаковыми для всех вариантов, например X1 = 765,87 м;

Y1 = 637,46 м.

Подробно вычисления координат точек теодолитного хода и построение плана рассмотрим на примере.

Пример. На участке местности проложен замкнутый теодолитный ход, в котором измерены горизонтальные внутренние правые по ходу углы. Измерение углов производилось оптическим теодолитом 2Т30 способом приемов. Точность отсчитывания по горизонтальному кругу 1 минута.

Данные полевых измерений горизонтальных углов и длин линий (горизонтальных проложений) приведены в табл. 5.

		Исходные данные		Таблица 5
Номер	Горизонтальный угол		Наименование	Значение длины
вершины	градусы	минуты	длины	(горизонтальное
				проложение), м
1	132	31,5	1 – 2	173,56
2	98	58	2 – 3	252,77
3	102	36	3 – 4	239,22
4	113	41,5	4 – 5	221,36
5	92	11,5	5 – 1	246,78

По данным полевых измерений необходимо вычислить координаты точек теодолитного хода, занести результаты вычислений в табл. 6 и построить план участка местности в масштабе

1:2000.

31

32

Таблица 6

Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода

Номер

Горизонтальные углы

Дирекци-

Горизон-

Приращения

Исправленные

Координаты

точки

Изме-

Поправка

Исправ-

онные

тальные

координат

приращения

ренные

ленные

углы

проложе-

координат

углы

углы

ния

∆Х

∆Y

∆Х

∆Y

Х

Y

1

765,87

637,48

45° 45′

173,56

–0,02

–0,02

121,09

124,30

121,11

124,32

2

98° 57,5′

+0,5

98° 58′

886,96

761,78

126° 47′

252,77

–0,03

–0,02

–151,39

202,42

–151,36

202,44

3

102° 36′

102° 36′

735,57

964,20

204° 11′

239,22

–0,03

–0,02

–218,25

–98,01

–218,22

–97,99

4

113° 41′

113° 41′

517,32

866,19

270° 30′

221,36

–0,02

–0,02

1,91

–221,37

1,93

–221,35

5

92° 12′

+0,5

92° 12,5′

519,23

644,82

358° 17,5′

246,78

–0,03

–0,02

246,64

–7,34

246,67

–7,32

1

132° 32′

+0,5

132°

765,87

637,48

32,5′

45° 45′

∑=+0,13

∑=+0,10

∑=0

∑=0

∑βизм = 539° 58,5′;

f X = +0,13; fY = +0,10;

∑βтеор = 540°;

fабс

=

fX2 + fY2 = 0,132 +0,102 = 0,16 ;

f β = –1,5′;

fотн

=

fабс

=

0,16

=

1

; P = 1133,69;

P

1133,69

7085

fβдоп =

′

′

5 = ±2, 2

′

;

f доп = 1/2000; f отн < f доп.

1

n =1

3.3. Определение координат точек теодолитного хода

3.3.1. Уравнивание угловых измерений (вычисление угловой невязки и ее распределение)

Разность между суммой измеренных углов и теоретической их суммой называется угловой невязкой хода и обозначается fβ.

Уравнивание – это процесс математической обработки, в результате которой вычисляется и распределяется невязка.

Вычисляем сумму измеренных углов полигона ∑βизм и теоретическую сумму углов ∑βтеор. Теоретическая сумма для правых внутренних углов полигона вычисляется по формуле

∑βтеор =180o (n −2),

где n – количество углов.

Угловая невязка замкнутого хода fβ вычисляется по формуле

fβ = ∑βизм −∑βтеор.

Вычисленная угловая невязка fβ не должна превышать допустимую fβдоп , которая вычисляется по формуле

fβдоп =t n,

где fβ доп – предельно допустимая невязка, мин; t – точность отсчета

по горизонтальному кругу теодолита (в примере t = 1′); n – количество измеренных углов полигона.

Вычисленная и допустимая невязки сравниваются.

Если fβ > fβ доп , то необходимо проверить вычисления. Если fβ ≤ fβ доп , то угловая невязка fβ распределяется на измеренные уг-

лы с обратным знаком и поровну. Величина поправки не должна быть меньше точности отсчитывания при измерении углов. Поправка в измеренные углы

33

δβ = − fnβ .

Горизонтальные углы измеряются с точностью 1′, поэтому не имеет смысла вводить поправки с меньшей точностью. Поправки вводятся в углы с короткими сторонами с точностью 1′ или 0,5′ для исключения десятых долей минуты. Поправка записывается в соответствующую графу табл. 6.

Контроль. Для контроля распределения поправки находим ∑δβ.Если вычисления верны, то ∑δβ = − fβ .

Далее вычисляются исправленные углы:

βиспр =βизм +δβ .

Контроль. Если вычисление и распределение угловой невязки выполнены верно, то сумма исправленных горизонтальных углов равна теоретической сумме:

∑βиспр = ∑βтеор .

Пример вычисления угловой невязки

Сумма измеренных углов

∑βизм =132o32′+98o57,5′+102o36′+113o41′+92o12′=539o58,5′.

Теоретическая сумма

∑βтеор =180o (n −2)=180o (5 −2)=540o .

Невязка

fβ = ∑βизм −∑βтеор =539o58′,5 −540o = −1,5′ .

Допустимая угловая невязка

′	′	′
fβ доп =1	n =1	5 = ±2,2 .

Вычисленная угловая невязка меньше допустимой.

34

Распределяем угловую невязку на измеренные углы. Поправка равна +0,5′. Ее величина прибавляется к измеренным горизонтальным углам:

β1 =132o32′+0,5′=132o32,5′; β2 =98o57,5′+0,5′=98o58′; β5 =92o12′+0,5′=92o12,5′.

Контроль этапа:

∑βиспр =132o32,5′+98o58′+102o36′+113o41′+92o12,5′=540o .

Все результаты вычислений заносятся в табл. 6.

3.3.2. Вычисление дирекционных углов

По известному дирекционному углу αn и по исправленным горизонтальным углам βиспр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формуле для правых горизонтальных углов:

αn+1 = αn ±180o −βиспр,

т.е. дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправ-

ленный горизонтальный угол, правый по ходу.

Величина дирекционного угла не может превышать 360° и быть меньше 0°. Если величина дирекционного угла больше 360°, то из результатавычислений необходимо вычесть 360°.

Контроль. В замкнутом теодолитном ходе в результате вычислений должен получиться дирекционный угол исходной стороны.

Пример вычисления дирекционных углов

Дирекционный угол исходной стороны α1–2 равен 45°45′. Вычисляем остальные дирекционные углы:

α2−3 =α1−2 ±180o −β2 = 45o45′+180o −98o58′=126o47′; α3−4 =α2−3 ±180o −β3 =126o47′+180o −102o36′= 204o11′;

35

α4−5 = α3−4 ±180o −β4 = 204o11′+180o −113o41′= 270o30′;

α5−1 = α4−5 ±180o −β5 = 270o30′+180o −92o12,5′=358o17,5′;

α1−2 = α5−1 ±180o −β1 =358o17,5′+180o −132o32,5′= 405o45′.

При вычислении дирекционного угла α1–2 получилось значение 405°45′, поэтому из полученного значения вычитается 360°:

405o45′−360o = 45o45′.

Контроль вычисления дирекционных углов получился. Все результаты вычислений заносятся в табл. 6.

3.3.3. Вычисление приращений координат

Вычисление приращений координат выполняется по форму-

лам:

∆X = d cos α; ∆Y = d sin α,

где d – горизонтальное проложение (длина) линии; α – дирекционный угол этой линии.

Приращения координат вычисляются с точностью до двух знаков после запятой.

Пример вычисления приращений координат:

∆X1−2 = d1−2cos α1−2 =173,56 cos 45o 45′=121,11; ∆X2−3 = d2−3cos α2−3 = 252,77 cos 126o 47′= −151,36 ; ∆X3−4 = d3−4cos α3−4 = 239,22 cos 204o11′= −218,22 ; ∆X4−5 = d4−5cos α4−5 = 221,36 cos 270o30′=1,93 ; ∆X5−1 = d5−1cos α5−1 = 246,78 cos 358o17,5′= 246,67 .

∆Y1−2 = d1−2sin α1−2 =173,56 sin 45o 45′=124,32 ; ∆Y2−3 = d2−3sin α2−3 = 252,77 sin 126o 47′= 202,44 ;

∆Y3−4 = d3−4sin α3−4 = 239,22 sin 204o11′= −97,99 ; ∆Y4−5 = d4−5sin α4−5 = 221,36 sin 270o30′= −221,35 ;

∆Y5−1 = d5−1sin α5−1 = 246,78 sin 358o17,5′= −7,32 .

36

Все результаты вычислений заносятся в табл. 6. Пример вычисления тригонометрических функций на калькуляторе приведен в прил. 4.

3.3.4. Уравнивание линейных измерений

Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической суммой называется линейной невязкой хода и обозначается fХ и fY. Уравнивание линейных измерений выполняется по осям Х и Y.

Линейная невязка вычисляется по формулам:

fX = ∑∆X −∑∆Xтеор; fY = ∑∆Y −∑∆Yтеор .

Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода. В замкнутом теодолитном ходе она равна нулю, поэтому

fX = ∑∆X ; fY = ∑∆Y .

Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для этого вычисляются:

– абсолютная невязка хода

fабс = fX2 + fY2 ;

– относительная невязка хода

			fотн =	fабс	,
				P
	где Р – периметр хода (сумма длин сторон), м.
	Относительная невязка сравнивается сдопустимой fдоп =						1	.
						2000
	Если		полученная относительная невязка допустима,				т.е.
	fотн ≤	1	, то вычисляются поправки в приращения координат
		2000
							37

пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с об-

ратным знаком. Если fотн > 20001 , то проверяются вычисления

в пп. 3.3.3 и 3.3.4.

Поправки в приращения координат δX и δY вычисляются с округлением до 0,01 м по формулам:

δ		= −	fX	d	; δ		= −	fY	d	,
								P
	X		P i			Y			i

где δX и δY – поправки в приращения по оси Х и Y соответственно, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – периметр (сумма сторон), м; di – измеренная длина (горизонтальное проложение), м.

Знак поправки противоположен знаку невязки.

Контроль. После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки. Если их сумма будет равна невязке с обратным знаком, то распределение невязки выполнено правильно, т.е.:

∑δX = − fX и ∑δY = − fY .

Вычисляются исправленные приращения.

Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям, и получаются исправленные приращения:

∆Xиспр = ∆Xвычисл +δX ; ∆Yиспр = ∆Yвычисл +δY .

Контроль. Определяется сумма исправленных приращений. В замкнутом теодолитном ходе она должна равняться нулю, т.е. должны выполняться равенства:

∑∆Xиспр = 0 и ∑∆Yиспр = 0 .

Пример вычисления линейной невязки:

fX = ∑∆X =121,11+(−151,36)+(−218,22)+1,93 + 246,67 = +0,13 ;

38

fY = ∑∆Y =124,32 + 202,44 +(−97,99)+(−221,35)+(−7,32)= +0,10.

fабс = fX2 + fY2 = 0,132 +0,102 = 0,16; fотн = fPабс = 1133,680,16 = 70851 < 20001 .

Пример вычисления поправок в приращения координат:

δX 1 = − fPX d1−2 = −11330,13 173,56 = −0,02 ;

δX 2 = − fPX d2−3 = −11330,13 252,77 = −0,03;

δX 3 = − fPX d3−4 = −11330,13 239,22 = −0,03 ;

δX 4 = − fPX d4−5 = −11330,13 221,36 = −0,02 ;

δX 5 = − fPX d5−1 = −11330,13 246,78 = −0,03 .

Контроль

ΣδX = −0,13 .

δ

Y1

= −

fY

d

= −

0,10

173,56 = −0,02 ;

P

1−2

1133

δ

Y 2

= −

fY

d

2

−3

= −

0,10

252,77 = −0,02;

P

1133

δ

Y 3

= −

fY

d

3−4

= −

0,13

239,22 = −0,02;

P

1133

δ

Y 4

= −

fY

d

4

−5

= −

0,13

221,36 = −0,02;

P

1133

δ

Y 5

= −

fY

d

5−1

= −

0,13

246,78 = −0,02.

1133

P

Контроль

ΣδY = −0,10 .

Пример вычисления исправленных приращений координат:

∆X1−2 = +121,11+(−0,02)= +121,09;	∆Y1−2	= +124,32 +(−0,02)= +124,30;
∆X2−3 = −151,36 +(−0,03)= −151,39;	∆Y2−3	= +202,44 +(−0,02)= +202,42;
		39

∆X3−4	= −218,22 +(−0,03)= −218,25;		∆Y2−3 = −97,99 +(−0,02)= −98,01;
∆X4−5	= −1,93 +(−0,02)= −1,91;		∆Y4−5 = −221,35 +(−0,02)= −221,37;
∆X5−1	= +246,67 +(−0,03)= +246,64.		∆Y5−1 = −7,32 +(−0,02)= −7,34.
Контроль		∑∆Xиспр =0.	Контроль	∑∆Yиспр =0 .

Сумма исправленных приращений равна нулю, т.е. контроль выполняется.

3.3.5. Вычисление координат точек

Если контроль вычисления и распределения линейной невязки выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам:

Xn+1 = Xn +∆Xиспр; Yn+1 =Yn +∆Yиспр,

т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение.

Контроль. В результате последовательного вычисления координат точек замкнутого теодолитного хода должны получиться координаты исходной точки.

Пример вычисления координат точек теодолитного хода: X2 = X1 +∆X = 765,87 +121,09 =886,96;

X3 = X2 +∆X =886,96 +(−151,39)= 735,57;

X4 = X3 +∆X = 735,57 +(−218,25)=517,32; X5 = X4 +∆X =517,32 +1,92 =519,23;

X1 = X5 +∆X =519,23 + 246,64 = 765,87.

Y2 =Y1 +∆Y =637,48 +124,30 = 761,78;

Y3 =Y2 +∆Y =761,78 + 202,42 =964,20;

Y4 =Y3 +∆Y =964,20 +(−98,01)=866,19;

Y5 =Y4 +∆Y =866,19 +(−221,37)= 644,82;

Y1 =Y5 +∆Y = 644,82 +(−7,34)= 637,48.

40