Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Факультетприкладной математики и механики
Расчётная работа Тема: Элементы математической статистики
Выполнил: студент
гр. САД-10-2
Десятов А.А.
Проверил:
Федосеева О.А.
Пермь, 2012
Оглавление
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет» 1
Задание 3
Расчеты 4
Проверка 11
Задание 3
Расчеты 4
Проверка,6 задание 11
Задание
В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:
Требуется:
записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;
построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);
приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости α =0,025;
найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности γ = 0,99.
IX Вариант
-
70
95
75
85
60
77
55
63
80
67
90
78
57
76
84
82
75
68
73
62
62
81
77
72
97
68
85
56
92
71
73
78
98
63
83
85
70
90
66
91
86
68
55
93
71
96
77
81
86
72
82
62
70
78
67
87
91
99
78
87
91
58
81
97
75
83
71
66
61
76
73
85
65
90
86
61
54
75
78
93
87
58
72
92
66
98
65
81
76
63
95
83
65
57
80
87
61
92
56
71
Расчеты
1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд:
54 |
55 |
55 |
56 |
56 |
57 |
57 |
58 |
58 |
60 |
61 |
61 |
61 |
62 |
62 |
62 |
63 |
63 |
63 |
65 |
65 |
65 |
66 |
66 |
66 |
67 |
67 |
68 |
68 |
68 |
70 |
70 |
70 |
71 |
71 |
71 |
71 |
72 |
72 |
72 |
73 |
73 |
73 |
75 |
75 |
75 |
75 |
76 |
76 |
76 |
77 |
77 |
77 |
78 |
78 |
78 |
78 |
78 |
80 |
80 |
81 |
81 |
81 |
81 |
82 |
82 |
83 |
83 |
83 |
84 |
85 |
85 |
85 |
85 |
86 |
86 |
86 |
87 |
87 |
87 |
87 |
90 |
90 |
90 |
91 |
91 |
91 |
92 |
92 |
92 |
93 |
93 |
95 |
95 |
96 |
97 |
97 |
98 |
98 |
99 |
2). Находим размах варьирования: .
Для определения данных интервала используют формулу , где - объем выборки. За величину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному .
Объем выборки: n=100;
ΔX=45/(1+3,3*ln(100))=45/7,6=5,921.
h=6
Числоинтервалов определяется формулой .
λ=[45/6]+1=[7,5]7+1=8интервалов.
№ |
Границы |
Середина |
Частота интервала |
Относительная частота |
Плотность относитель- ной частоты
|
1 |
54-60 |
57 |
9 |
0,09 |
0,015 |
2 |
60-66 |
63 |
13 |
0,13 |
0,0216 |
3 |
66-72 |
69 |
15 |
0,15 |
0,025 |
4 |
72-78 |
75 |
16 |
0,16 |
0,0266 |
5 |
78-84 |
81 |
16 |
0,16 |
0,0266 |
6 |
84-90 |
87 |
12 |
0,12 |
0,02 |
7 |
90-96 |
93 |
13 |
0,13 |
0,0216 |
8 |
96-102 |
99 |
6 |
0,06 |
0,001 |
3). Строим полигон частот– ломанную линию, отрезки которой соединяют точки , , …, (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты (рис.2).
Рисунок 1
Рисунок 2
Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения относительную частоту события .
Итак, по определению,
,
где - число вариант, меньших ; - объём выборки.
F*(54)=0; F*(60)=0,09; F*(66)=0,22; F*(72)=0,37; F*(78)=0,53; F*(84)=0,69; F*(90)=0,81; F*(96)=0,94; F*(102)=1;
Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3). :
Рисунок 3
4). Находим выборочное среднее:
и выборочную дисперсию: .
Для этого составляем расчетную таблицу:
|
Границы интервала
|
Середина интервала
|
Частота интервала |
|
|
|
1 |
54-60 |
57 |
9 |
513 |
3249 |
29241 |
2 |
60-66 |
63 |
13 |
819 |
3969 |
51597 |
3 |
66-72 |
69 |
15 |
1035 |
4761 |
71415 |
4 |
72-78 |
75 |
16 |
1200 |
5625 |
90000 |
5 |
78-84 |
81 |
16 |
1296 |
6561 |
104976 |
6 |
84-90 |
87 |
12 |
1044 |
7569 |
90828 |
7 |
90-96 |
93 |
13 |
1209 |
8649 |
112437 |
8 |
96-102 |
99 |
6 |
594 |
9801 |
58806 |
|
- |
- |
- |
7710 |
- |
668106 |
Из нее получаем: , , .
Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.
Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкойгенеральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:
, .
5).Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.
По условию задачи, нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:
вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;
по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;
если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;
если – нулевую гипотезу отвергают.
Согласно критерию Пирсона, необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем ,т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы интервалов: и . Наименьшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу. Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим, число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервалс частотой .
|
|
|
|
|
|
|
1 |
54 |
60 |
- |
-17,1 |
|
-0,63 |
2 |
60 |
66 |
-17,1 |
-11,1 |
-0,63 |
-0,4089 |
3 |
66 |
72 |
-11,1 |
-5,1 |
-0,4089 |
-0,1879 |
4 |
72 |
78 |
-5,1 |
0,9 |
-0,1879 |
0,0331 |
5 |
78 |
84 |
0,9 |
6,9 |
0,0331 |
0,2542 |
6 |
84 |
90 |
6,9 |
12,9 |
0,2542 |
0,4752 |
7 |
90 |
96 |
12,9 |
18,9 |
0,4752 |
0,6963 |
8 |
96 |
102 |
18,9 |
- |
0,6963 |
|
Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
-0,63 |
-0,5 |
-0,2357 |
0,2643 |
26,43 |
2 |
-0,63 |
-0,4089 |
-0,2357 |
-0,1554 |
0,0803 |
8,03 |
3 |
-0,4089 |
-0,1879 |
-0,1554 |
-0,0714 |
0,084 |
8,4 |
4 |
-0,1879 |
0,0331 |
-0,0714 |
0,0120 |
0,0834 |
8,34 |
5 |
0,0331 |
0,2542 |
0,0120 |
0,0987 |
0,0867 |
8,67 |
6 |
0,2542 |
0,4752 |
0,0987 |
0,1808 |
0,0821 |
8,21 |
7 |
0,4752 |
0,6963 |
0,1808 |
0,2549 |
0,0741 |
7,41 |
8 |
0,6963 |
|
0,2549 |
0,5 |
0,2451 |
24,51 |
|
- |
- |
- |
- |
1 |
100 |
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле: ):
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
26,43 |
-17,43 |
303,8049 |
11,4946 |
81 |
3,0646 |
2 |
13 |
8,03 |
4,97 |
24,7009 |
3,076 |
169 |
21,0460 |
3 |
15 |
8,4 |
6,6 |
43,56 |
5,1857 |
225 |
26,7857 |
4 |
16 |
8,34 |
7,66 |
58,6756 |
7,0354 |
256 |
30,6954 |
5 |
16 |
8,67 |
7,33 |
53,7289 |
6,1971 |
256 |
29,5271 |
6 |
12 |
8,21 |
3,79 |
14,3641 |
1,7495 |
144 |
17,5395 |
7 |
13 |
7,41 |
5,59 |
31,2481 |
4,217 |
169 |
22,8070 |
8 |
6 |
24,51 |
-18,51 |
342,6201 |
13,9787 |
36 |
1,4687 |
|
100 |
100 |
- |
- |
|
- |
152,934 |