Postroenie_S_i_LP_poverhnostei

Рисунок 5.6 – Построение проекций тела вращения с поперечным сквозным призматическим пазом

Задача о построении проекций тела вращения с поперечным пазом имеет свои особенности, заключающиеся в том, что число характерных точек сокращается, а те точки, которые есть, практически не участвуют в построении сечений. В данном примере такими точками являются точки А и В.

Задача решается методом вспомогательных секущих плоскостей, рассмотренных ранее. В качестве вспомогательных плоскостей использованы горизонтальные плоскости a, b, g и w.

На профильной проекции построен простой вертикальный профильный разрез конуса с тем, чтобы показать сквозной поперечный паз, выполненный в конусе.

30

6 Взаимное пересечение поверхностей

6.1 Общие положения

Две поверхности, взаимодействуя друг с другом, пересекаются по линии пересечения, которая трактуется как линия, общая для обеих пересекающихся поверхностей.

Построение линии пересечения технических форм на производственных чертежах является важнейшей конструкторской задачей. Не менее важной задачей является разметка линий пересечения на поверхности технических форм перед их сборкой, сваркой, пайкой и т.д. Особенно часто эти практические задачи встречаются при изготовлении трубопроводов и их ремонте.

Из курса начертательной геометрии известно много способов построения линии пересечения поверхностей. На рисунке 6.1 приведена классификация известных методов построения линий пересечения.

Наиболее общим и универсальным способом построения линии пересечения поверхностей является способ вспомогательных секущих поверхностей (посредников). Он заключается в том, что пересекаю-

щиеся поверхности Ф и Ф рассекают вспомогательной поверхно-

1 2

стью Ф3, строят сечения I и II поверхностей вспомогательной поверхностью, далее находят общие точки А и В этих сечений. Найденные точки являются точками линии пересечения (ЛП). Если провести достаточное количество вспомогательных секущих поверхностей, то получится соответственно достаточное количество точек, с определенной степенью точности определяющих линию пересечения поверхностей (рисунок 6.2).

Поверхности-посредники могут быть плоскимии кривыми.

В большинстве случаев используются плоские посредники– метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательных плоскостей могут быть использованы плоскости частного и общего положения. Вспомогательные плоскости-посредники, как правило, проводятся семействами параллельных плоскостей. Вспомогательные плоскости общего положения могут быть проведены как семейством, так и пучком плоскостей. В любом случае семейство или пучок плоскостей называют связкой.

31

Рисунок 6.1 – Классификация основных графических методов построения линий пересечения поверхностей

Рисунок 6.2 – Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих поверхностей-посредников

32

Пучок плоскостей может быть проведен через собственную прямую, например, через прямую, соединяющую вершины двух пересекающихся конусов. Иногда пучок плоскостей проводят через несоб- ственную прямую (находящуюся в бесконечности), например, в случае, если пересекаются два наклонных цилиндра.

В качестве кривых посредников могут быть использованы сферы, конусы и цилиндры. Наиболее распространены сферы. Существует два способа вспомогательных секущих сфер: способ концентрических сфер (с постоянным центром сфер) и способ эксцентрических сфер (с переменным центром сфер).

Менее распространенными методами построения линий пересечения поверхностей являются: способ образующих и параллелейи способ преобразования проекций.

В первом способе точки линий пересечения находятся с помощью образующих и параллелей, проводимых на пересекающихся поверхностях. Однако во многих случаях это сделать достаточно сложно.

Во втором способе пересекающиеся поверхности(чаще всего одну из них) переводят в частное положение, используя методы преобразования эпюра Монжа, что позволяет упростить решение задачи.

Для решения некоторых графических и практических задач разработаны специальные методы (способ двойных следов, метод проективной геометрии, аффинные преобразования и т.д.). В учебной работе специальные методы практически не используются.

6.2 Частные случаи пересечения поверхностей

В самом общем виде поверхности пересекаются между собой по четырем возможным вариантам (рисунок 6.3):

1)полное пересечение (полное проницание) – все образующие одной поверхности пересекаются со второй поверхностью. В этом случае взаимная линия пересечения распадается на две или больше кривых линий (рисунок 6.3,б);

2)неполное пересечение (частичное врезание) – часть образую-

щих одной поверхности не пересекается со второй поверхностью. В этом случае линия пересечения представляет собой замкнутую пространственную кривую линию (рисунок 6.3,а);

3) одностороннее соприкасание – пересекающиеся поверхности имеют в одной точке общую плоскость касания. Линия пересе-

33

чения в этом случае имеет точку самопересечения в точке касания (рисунок 6.3,в);

4) двойное соприкосновение – пересекающиеся поверхности имеют две точки касания (две плоскости касания). В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые линии, пересекающиеся между собой в точках касания (рисунок 6.3,г).

а)

б)

в)

г)

а– неполное пересечение; б – полное пересечение;

в– одностороннее соприкосновение; г – двойное соприкосновение

Рисунок 6.3 – Возможные случаи пересечения кривых поверхностей

Существуют также частные случаи пересечения поверхностей. Так, например, две цилиндрические поверхности с параллельными осями пересекаются по прямым линиям, соединяющим точки пересечения оснований цилиндров (рисунок 6.4,а).

34

Две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по прямым линиям, соединяющим вершину и точки пересечения оснований (рисунок 6.4,б).

б)

а)

г)

в)

д)

е)

Рисунок 6.4 – Частные случаи пересечения поверхностей

35

Две соосные поверхности вращения(соосными называются поверхности с совпадающими осям)ипересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения образующих линий поверхностей, расположенных в одной меридиональной плоскости и по одну сторону от оси вращения(рисунок 6.4,в). На фронтальной проекции окружности «вырождаются» в прямые линии, соединяющие характерные соседние точки.

Частный случай пересечения поверхностей вращения со сферой (рисунок 6.4,г) имеет особое значение, так как на нем основан метод вспомогательных сфер, используемый при построении линии пересечения двух поверхностей.

Соосные со сферой поверхности вращения пересекаются по окружностям, проекции которых на плоскость, параллельную оси вращения, «вырождаются» в прямые линии, так как плоскости этих окружностей перпендикулярны к плоскостям проекций. Окружности пересечения проецируются на плоскость, параллельную оси вращения, в прямую линию, а на плоскость, перпендикулярную к оси вращения, – в натуральную величину.

Если две поверхности вращения второго порядка описаны -во круг одной и той же сферы, то они пересекаются по двум плоским кривым линиям второго порядка, фронтальная проекция которых «вырождается» в прямые линии, соединяющие противоположные характерные точки (рисунок 6.4,д). Эта закономерность называется теоремой Монжа для пересекающихся поверхностей.

На рисунке 6.4,е представлены некоторые примеры конструирования переходов труб с пересекающимися осями, что очень важно при изготовлении и ремонте трубопроводов. Из рисунка видно, что линии пересечения патрубков на проекциях «вырождены» в прямые линии.

При построении линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями целесообразно предварительно проанализировать поверхности на их «толщину», которую можно оценить величиной нормалей N, проведенных из точки О пересечения осей на боковые поверхности. Нормаль – это перпендикуляр, проведенный из центра О на боковые поверхности пересекающихся фигур (рисунок 6.5). Поверхность с меньшей нормалью всегда«врезается» в поверхность с большей нормалью. Если N1 = N2, то происходит двойное соприкосновение поверхностей по теореме Монжа.

На рисунке 6.5,а показан случай, когда нормаль N1 конуса больше нормали N2 цилиндра. При таком соотношении нормалей цилиндр «врезается» в конус и линия пересечения распадается на две линии.

36

На рисунке 6.5,б представлено двойное соприкосновение конуса и цилиндра, когда их нормали одинаковы по величине. На фронтальной проекции линии пересечения«вырождаются» в прямые линии, соединяющие противоположные характерные точки.

а)

б)

в)

Рисунок 6.5 – Три возможных вида пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями

37

Если нормаль N1 конуса меньше нормали N2 цилиндра, то конус «врезается» в цилиндр и линия пересечения также распадается на две линии (рисунок 6.5,в).

6.3Построение линии пересечения поверхностей методом образующих и параллелей

Всоответствии с разд. 5.1 «Точка на поверхности» образующие линии и параллели поверхностей вращения могут быть использованы как вспомогательные линии для построения проекций точек на - по верхности.

Всвязи с этим положением их можно использовать и для построения линии пересечения поверхностей. Такой способ называется методом образующих и параллелей.

Пример использования этого метода показан на рисунке6.6. В примере пересекаются конус и цилиндр с пересекающимися осями, но в частном положении. Задача решается в следующем порядке:

-находим характерные точки 1 и 9 как точки пересечения образующих линий. Находим также характерные точки 8 и 4, лежащие на оси конуса. Строим проекции упомянутых точек;

-намечаем на фронтальной проекции цилиндра промежуточные точки 2, 3, 5, 6, 7. На окружности цилиндра (фронтальная проекция цилиндра) будут находиться все точки линии пересечения, так как поверхность цилиндра фронтально-проецирующая;

-проводим через все намеченные фронтальные проекции точек фронтальные проекции образующих конуса и находим их на горизонтальной проекции;

-по линиям связи находим горизонтальные проекции точек 2…7 на горизонтальных проекциях образующих;

-профильные проекции данных точек находим, используя свойство эпюра Монжа (АхА/=АzА///);

-соединяем плавной линией все полученные точки;

-определяем видимость проекций линии пересечения. На горизонтальной проекции будут видны точки, лежащие выше оси цилинд-

ра, т.е. точки 9, 8, 7, 6. В точке 6 происходит смена видимости. На профильной проекции будут видны точки, лежащие левее вертикальной оси цилиндра. Это точки 1, 2, 3. В точках 3 видимость меняется.

38

В этой задаче вместо образующих можно использовать параллели. На рисунке 6.6 проекции точки 5 найдены как с помощью образующей L1, так и с помощью параллели П1.

1) Характерные точки – 1, 4, 8, 9. 2) Высшая точка – 9, низшая – 3. 3) Точки смены видимости – 6.

Рисунок 6.6 – Построение линии пересечения конуса

ицилиндра методом образующих

6.4Метод вспомогательных секущих плоскостей

Общая схема метода вспомогательных плоскостей показана на рисунке 6.7,а. Метод реализуется в следующем порядке:

- находим характерные точки 1 и 5 (точки пересечения образующих линий обеих поверхностей, если оси поверхностей пересекаются);

39