ПРАКТИКА 1 сопромат_заочн_ 2012

экстремумов, поскольку эпюра ее производной - Qу не пересекает ось. Второй и третий участки свободны от распределенной нагрузки, т.е. производная функции Qу тождественно равна нулю, следовательно, сама поперечная сила должна быть постоянна в границах каждого участка, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией.

В тех сечениях, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами, на эпюре Qу должно скачком меняться значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. В нашем случае это происходит в сечении А, где возникает реакция RА, и в сечении В, где приложена нагрузка F. На эпюре Мх аналогичные скачки имеют место в сечениях А и D, где действуют сосредоточенные внешние моменты. Анализируя все перечисленное, делаем вывод о правильности построения эпюр.

3. Подберем размеры указанных выше сечений из условия прочности по нормальным напряжениям.

Из условия прочности при изгибе

σmax = M x max ≤ R

Wx

определим требуемое значение момента сопротивления сечения балки:

Wxтр ³			M x		max	=	102 ×103	= 486 ×10−6 м3 = 486 см3 .
			R
						210 ×106

Определим размеры указанных сечений, обеспечивающие прочность балки.

1). Подбираем по ГОСТ 8239−89 номер двутавра, момент сопротивления которого наиболее близок к требуемому. В данном случае подходит двутавр № 30а, у которого Wx=518,0 см3, площадь сечения A = 49,9 см2.

Определим наибольшее значение возникающих при этом

	напряжений
	σmax	=	102 ×103		= 197 ×106 Па = 197 МПа < R .
			518 ×10−6
	2). Определяем размеры прямоугольного сечения с отношением
	сторон h/b = 1,8.
			Wx =	bh2		=	b(1,8b)2	= 0,54b3 ;
		6				6

31

0,54b3 ³ 486 ×10 −6 м3 ;

b ³ 3

486 ×10−6

= 9,65 ×10−2 м .

0,54

Окончательно выбираем размеры по ГОСТ 6636−69: b = 100 мм,

h = 180 мм; A = bh = 180 см2,

Wx =

bh2

= 540см3 .

6

Вычислим наибольшее напряжение

σmax

=

102 ×103

= 189 ×106

Па = 189 МПа < R .

540 ×10−6

3). Определяем размеры квадратного сечения.

a3

a 3

³ 486 ×10 −6 м3 ;

= 14,3×10−2

Wх

=

;

a ³ 3

6 ×486×10−6

м.

6

6

Окончательно назначаем: а =

150

мм;

A =

а2 =

225

см2,

W =

a3

= 563см3.

х

6

Вычислим наибольшее напряжение

σmax

=

102 ×103

= 181×106 Па = 181МПа < R .

562,5 ×10−6

4). Определяем размеры круглого сечения.

Wx

= πd 3 ;

πd 3

³ 486 ×10−6 м3 ;

32

32

d ³ 3

32 × 486 ×10−6

=17,1×10− 2 м .

3,14

Принимаем

по

ГОСТ

6636−69

d

=

180мм;

A =

πd 2

= 254 cм2 ,Wx =

πd 3

= 572 см3 .

4

32

Вычислим наибольшее напряжение

σ max =

102 ×103

= 178 ×106

Па = 178 МПа < R .

572 ×10−6

32

5). Определяем размеры кольцевого сечения с отношением внутреннего и внешнего диаметров α = d = 0,8 .

D

Wx

=

πD3

(1- α4 ) ;

πD3

(1-α 4 ) ³ 486 ×10−6 м3

;

32

32

D ³ 3

32 × 486 ×10−6

= 20,3×10−2 м .

×(1- 0,84 )

3,14

Принимаем D = 210 мм, d = 170 мм ( α = 170 = 0,81);

210

A =	πD 2	(1− α2 ) = 119 cм2 , Wx	=	πD3	(1− α4 ) = 518см3 .
4			32

Вычислим наибольшее напряжение

	σmax	=	102 ×103	=197 ×106 Па =197МПа < R.
			518 ×10−6

4. Оценим рациональность подобранных сечений.

В качестве критерия рациональности примем отношение момента сопротивления к площади сечения Wx/A.

двутавр: Wx = 518 = 10,4см; A 49,9

прямоугольник: Wx = 540 = 3,00см;

A 180

квадрат: Wx = 563 = 2,50см; A 225

круг: Wx = 572 = 2,25см; A 254

кольцо: Wx = 518 = 4,35см. A 119

Как видим, наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения: двутавр, кольцо.

5. Построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении (для двутавра и кольца).

Напряжения в опасном сечении меняются по линейному закону

σ = M x y ,

I x

достигая максимума в наиболее удаленных от нейтральной оси x точках.

33

На рис. 4.2, а,б показаны эпюры напряжений для указанных сечений.

Рис. 4.2

Пример 4.2. Для стальной балки, изображенной на рис. 4.3, а, из условия прочности подобрать номер двутавра по ГОСТ 8239−89 и произвести полную проверку прочности. Принять R = 210МПа, Rср = 125МПа.

Решение. 1. Составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам и построим их эпюры.

Запишем уравнения статики и определим опорные реакции RA и RB, показанные на рис. 4.3, б.

∑mA = 0 :	- q	l 2	- M + RB l - F (l + b) = 0 ; → RB = 435,8кH ;
	2
∑mB	= 0 : − RAl + q			l 2	− M − Fb = 0 ; → R A = 194,2 к H .
			2

Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось y:

∑ Fy = -RA + ql - RB + F = -194,2 + 200 × 2,4 - 435,8 +150 = 0 .

Следовательно, реакции опор найдены верно.

34

Выделим и обозначим участки балки так, как это показано на рис. 4.3, б. Используя уже известный метод сечений, для каждого участка запишем выражения поперечной силы Qу и изгибающего момента Мх и вычислим их значения в характерных сечениях.

I. 0 ≤ z1 ≤ 0,4 м

Qy = RA − qz1 = 194,2 − 200z1 ;

Qy (0) = 194,2кH; Qy (0,4) = 114,2 кH.

2

M x = RA z1 − q z1 = 194,2z1 −100z12 ; 2

M x (0) = 0 ; M x (0,4) = 61,7 кH×м. II. 0,4 ≤ z2 ≤ 2,4 м

Qy = RA − qz2 = 194,2 − 200z2 ;

Qy (0,4) = 114,2 кH; Qy (2,4) = −285,8 кH.

Значения поперечной силы на левой и правой границах участка имеют разные знаки, следовательно, имеется такое значение координаты z0, при котором Qу обращается в нуль, а момент Мх имеет экстремум. Найдем величину z0:

RA − qz0 = 194,2 − 200z

0 = 0 , отсюда z0 = 0,971 м;

M x

= M + RA z2 − q

z22

=

20 + 194,2z2 −100z22 ;

2

M x (0,4) = 81,7 кH×м; M x (2,4) = −90,0 кH×м;

M x (0,971) = M x max = 114,3 кH×м.

III.

0 ≤ z3 ≤ 0,6 м

Qy

= F = 150 кH;

M

x

= -Fz

3

= -150z

3

; M

x

(0) = 0 ; M

x

(0,6) = −90

кH м.

×

По вычисленным значениям Qу, Мх построим их эпюры. При этом будем учитывать вид этих функций, а также дифференциальные зависимости между ними и интенсивностью распределенной нагрузки q. Результат построения показан на рис. 4.3, в, г.

35

Рис. 4.3

2. Определим положение опасных сечений.

К опасным прежде всего относится сечение, в котором изгибающий момент принимает наибольшее по модулю значение M x max , т.е. сечение, расположенное на расстоянии z0 от левого торца

балки. Кроме того, опасным может оказаться сечение В, в котором наибольшего значения по модулю достигает поперечная сила Qy max .

К тому же в данном сечении действует изгибающий момент, лишь немного уступающий максимальному. В первом сечении опасными будут точки, наиболее удаленные от оси – на рис. 4.4, а, они помечены цифрой 1. В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины. В сечении В имеется два типа опасных точек. В точках на оси сечения, помеченных на рисунке цифрой 2, наибольшего значения достигают касательные напряжения, что может привести к разрушению срезом. В опасных точках третьего типа (см. рис. 4.4, а) ни нормальные, ни касательные напряжения не являются максимальными, однако их совместное действие может оказаться опасным.

36

3. Из условия прочности по нормальным напряжениям подберем стандартный двутавр.

Определим требуемую величину момента сопротивления из указанного условия прочности в опасном сечении.

σmax =

M x

max

≤ R ,

Wx

отсюда

тр

M x

max

114,3×103

−6

3

3

Wx

³

=

= 544×10

м

= 544 см

.

R

210×106

Наилучшим образом подходит двутавр № 33 с

моментом

сопротивления Wх = 597 см3, моментом инерции Iх =

9840 см4,

статическим моментом половины сечения

Sx* = 339см3

и толщиной

стенки d = 7,0 мм.

4. Произведем проверку прочности по максимальным касательным напряжениям и при необходимости усилим сечение.

Поперечная сила достигает наибольшего значения

Qy

max

= 285,8 кH над правой опорой (сечение В).

Найдем максимальное касательное напряжение

Qy

Sx

285,8 ×103 ×339 ×10−6

τ

=

max

=

= 141×106 Пa = 141МПа > R = 125 МПа.

max

9840 ×10−8 × 7,0 ×10−3

I x d

cp

Условие прочности не выполняется, следовательно, необходимо

увеличить номер двутавра. Для следующего по ГОСТ 8239−89

двутавра № 36 Wх = 34 см3, I х= 13380 см4, Sx = 423 см3, d = 7,5 мм.

Вновь вычислим наибольшее касательное напряжение.

τmax

=

285,8 ×103 × 423×10

−6

= 120,5 ×10

6

Пa = 120,5

МПа < Rcp .

13380×10−8 ×7,5×10−3

Условие

прочности

по

максимальным

касательным

напряжениям выполняется.

5.

С учетом совместного действия нормальных и касательных

напряжений, используя четвертую теорию прочности, проверим прочность балки и при необходимости подберем новое сечение.

Вычислим нормальное и касательное напряжения в сечении В в точках, помеченных на рис. 4.4, а цифрой 3. Расстояние от этих точек до нейтральной оси x

у( 3 ) = h - t = 1 8 0 −1 2 , 3 = 1 6 7 , 7 мм,

2

где h = 360 мм – высота сечения, t = 12,3 мм– толщина полки.

37

Нормальное напряжение

σ(3) =

M x

y(3)

=

90 ×103

×0,1677 =

113×10

6

Па = 113МПа.

I x

13380×10−8

Касательное напряжение можно найти по формуле

Q

y

S отс

τ(3)

=

x

.

I x d

Здесь Sxотс

-

статический

момент

части сечения, отсеченной

горизонтальной плоскостью, проходящей через точку 3. Эту часть сечения можно без большой погрешности считать прямоугольником размерами b × t, где t – уже упоминавшаяся толщина полки, а b = 145 мм – ширина полки указанного двутавра. Вычислим статический момент отсеченной части сечения (полки двутавра), как произведение ее площади Aотс на расстояние от оси х до центра тяжести прямоугольника:

S отс

= A

yотс,

x

отс

с

где

A = bt

,

yотс

=

h

-

t

.

отс

c

2

2

Тогда

h

t

= 300 ×10−6 м3.

Sxотс = bt

-

2

2

Определим касательное напряжение

τ= 285,8 ×103 ×300 ×10−6 = 85,4 ×106 Па = 85,4 МПа.

(3)13380 ×10−8 ×7,5 ×10−3

Всоответствии с четвертой теорией прочности вычислим эквивалентное напряжение в точке 3 сечения В и сравним его с расчётным сопротивлением:

σIVэкв = σ(23) + 3τ(23) = 111,32 + 3×85,42 =186 МПа < R .

Таким образом, двутавр № 36 обеспечивает прочность балки.

6. В опасном сечении построим эпюры нормальных и касательных напряжений.

38

Эпюры напряжений построим в сечении В. Нормальные напряжения при изгибе линейно зависят от расстояния до оси балки, принимая в точке 3 значение 113 МПа. У верхней и нижней кромок сечения напряжения равны

σ =		M x		=	90 ×103	=123×10	6	Пa =123	МПа.
		W			734 ×10−6
		x

На рис. 4.4, б показана эпюра нормальных напряжений σ. Поскольку момент в опасном сечении отрицательный, верхняя часть сечения находится в растянутом состоянии, т.е. напряжения положительны.

Формула Журавского достоверно описывает распределение напряжений лишь в стенке двутавра, поэтому приведенная на рис. 4.4, в эпюра касательных напряжений τ построена для центральной части сечения.

Наибольшего значения 120,5 МПа касательное напряжение достигает на оси сечения, т.е. в точке 2.

Рис. 4.4

Пример 4.3. Для плоской стальной рамы, изображенной на рис. 4.5, а, из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение. Принять R = 210МПа, Rср = 125МПа.

Решение. 1. Запишем уравнения равновесия и определим опорные реакции, показанные на рис. 4.5, б. Для этого свяжем раму с неподвижной системой координат u, v.

39

		ΣFu = 0 : H A − qa = 0, H A = 60 кН;
ΣmA	= 0 : RBb + qa		a	− F (b + c) = 0, → RB = −13 кН;
		2
ΣmB		= 0 : = RAb + qa			a	− Fc = 0, → RA = 22кН.
		2

Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось v:

ΣFv = RA + RB − F = 22 + (−13) − 9 = 0.

Следовательно, реакции опор найдены верно.

Поскольку реакция опоры RB < 0, то её действительное направление – вертикально вниз, как показано на рис 4.5, б.

Рис. 4.5

2. Построим эпюры продольных и поперечных сил и изгибающих моментов.

Выберем позицию наблюдателя внутри рамы, пометив ее на рис. 4.5, б значком «*». Выделим на расчетной схеме четыре участка, запишем выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

40