ПРАКТИКА 1 сопромат_заочн_ 2012

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Кафедра «Строительная механика и вычислительные технологии»

А. А. Балакирев, Т. Э. Римм

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Примеры решения типовых задач для студентов строительных специальностей

Часть I

Учебное пособие

Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета

2012

УДК 539.4 С64

Р е ц е н з е н т ы:

д-р техн. наук, профессор Н.Н. Вассерман,

д-р техн. наук, профессор Г. Г. Кашеварова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Сопротивление материалов: примеры решения типовых задач для студентов строительных специальностей, ч. I: учеб. пособие / сост. А.А. Балакирев, Т.Э. Римм. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 56 с.

ISBN 978-5-88151-837-0

ISBN 978-5-88151-837-0	© ГОУ ВПО
	«Пермский национальный исследовательский
	политехнический университет», 2012

2

1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ

Пример 1.1. Двухступенчатый стальной стержень нагружен

силами F1, F2, F3 (рис. 1.1, а). Соответствующие площади поперечных сечений: A1 = 3 см2, A2 = 4 см2. Расчетное сопротивление материала R = 210 МПа, модуль продольной упругости Е = 2,0×105 МПа. Построить

эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Проверить прочность стержня.

Решение. 1. Построим эпюру продольных сил N.

Разбиваем стержень на три участка, границы которых совпадают с сечениями, где приложены внешние силы. Значения продольной силы на каждом участке определяем, пользуясь методом сечений.

В сечении 1-1:	N1	= F1 = 30 кН.
В сечении 2-2:	N2	= F1− F2 =30−70 =−40 кН.
В сечении 3-3:	N3	= F1− F2+F3 = 30−70+100 = 60 кН.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил

(рис. 1.1, б).

2. Построим эпюру нормальных напряжений s.

Для вычисления напряжений стержень разбиваем на четыре участка. Их границы определяются не только сечениями, где приложены внешние силы, но и сечениями, где меняются поперечные размеры стержня. Пользуясь эпюрой N, находим

σAB

=

N1

=

30 ×103

= 100 ×106 Па ;

A

3×10−4

1

σBC

=

N2

= - 40 ×103

= -133×106 Па;

A

3×10−4

1

σCD

=

N2

= - 40 ×103

= -100 ×106 Па;

A

4 ×10−4

2

σDE

=

N3

=

60 ×103

= 150 ×106 Па .

A

4 ×10−4

2

Проверка прочности стержня на наиболее напряженном участке:

smax = 150 МПа < R = 210 МПа, т. е. прочность обеспечена.

По полученным результатам строим эпюру нормальных напряжений (рис. 1.1, в).

3. Построим эпюру перемещений D.

3

Определение перемещений начинаем от заделки, где оно равно нулю. Перемещение произвольного сечения на расстоянии z равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.

Так, перемещение произвольного сечения на третьем участке может быть вычислено по формуле

(z) = N3 z .

EA2

Это уравнение наклонной прямой, так как D(z) линейно зависит

от переменной z при прочих постоянных для данного участка параметрах.

Перемещение сечения D относительно заделки равно абсолютному удлинению участка DE :

DD = DlDE =	N l	=		60 ×103 ×0,4	= 0,150	×10−3
	3 3						м.
	2EA			× 2,0 ×1011 ×4 ×10−4
		2
	2

Перемещение сечения С относительно заделки складывается из абсолютного укорочения участка CD и удлинения участка DE :

DC

= DD

+ DlCD = DD +

N l

= 0,150 ×10−3 -

40 ×103 ×0,2

= 0,050

×10−3

3 3

м.

2EA

2,0

×1011 × 4 ×10−4

2

Аналогично определяем перемещения сечений В и А:

DB

= DC

+ DlBC = DC +

N2l2

= 0,050 ×10−3 -

40 ×103 × 0,35

= -0,183×10−3

м.

EA

2,0 ×1011 ×3 ×10− 4

1

N l

×10−3 +

30 ×103

× 0,25

×10−3 м.

D A = DB + DlAB = DB

+

1 1

= -0,183

= -0,0580

2,0 ×1011

×3 ×10−4

EA

1

Эпюра перемещений представлена на рис. 1.1, г.

4

Рис. 1.1

Пример 1.2. Абсолютно жесткая балка АС, деформацией которой можно пренебречь, шарнирно закреплена в точке С и поддерживается стальной тягой ВD круглого поперечного сечения диаметром d = 20 мм. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис.1.2). Расчётное сопротивление материала тяги R = 210 МПа, модуль продольной упругости Е = 2,0×105 МПа.

Проверить прочность тяги и определить перемещение свободного конца жесткой балки (точки А).

Рис. 1.2

Решение. 1. Определим усилие, возникающее в стержне ВD под действием приложенной нагрузки.

Мысленно рассекаем стержень, действие отброшенной верхней части заменяем продольной силой N, предположив, что стержень растянут (рис.1.3).

5

Рис.1.3

Составляем уравнение равновесия оставленной части конструкции в виде суммы моментов действующих на нее сил относительно точки С.

ΣmC = 0 : −qa a + N (a + b) sin α = 0, 2

откуда находим значение продольной силы

N =	qa2	=	80 ×0,82	= 51,2 кН.
	2(a + b) sin α		2(0,8 + 0,2) sin 30O

Положительный результат означает, что стержень ВD действительно работает на растяжение.

2. Проверим прочность тяги.

Условие прочности при растяжении имеет вид

σ =

N

£ R ,

A

где

A =

πd 2

=

3,14 × 22

= 3,14

см2 –

площадь

поперечного сечения

4

4

стержня.

Тогда

σ =

N

=

51,2 ×10 3

= 163 ×10

6

Па

= 163 МПа

< R = 210 МПа .

A

3,14 ×10 −4

Прочность стержня обеспечена.

3. Определим перемещение точки А.

Для этого найдем удлинение стержня BD и построим план перемещения данной системы, т.е. покажем положение стержневой системы после приложения нагрузки.

Удлинение стержня BD

Dl =	Nl		=	51,2×103 ×1,15	= 0,941×10−3 м	= 0,941мм,
	EA			2,0×1011 ×3,14×10−4

6

где	l =	a + b	=	0,8 + 0,2	= 1,15м	− длина стержня до деформации.
		cos α cos 300
	План перемещения показан на рис.1.4. При построении плана

перемещения полагаем, что в точке В стержень не соединяется с
жесткой балкой АС. Тогда он удлинится на величину l. Для того,
чтобы найти новое положение точки В, которая одновременно должна
находиться на продолжении стержня и вместе с жесткой балкой
перемещаться по дуге радиусом СВ вниз, нужно радиусом DB +	l и
радиусом СВ произвести засечки. На основании допущения о том, что
перемещения точек тела, обусловленные его упругими деформациями,
весьма малы по сравнению с размерами самого тела, заменяем дуги
перпендикулярами к соответствующим стержням. Тогда отрезок ВВ1
будет искомым перемещением точки В ( В ), а отрезок АА1	есть

искомое перемещение точки А ( А ).

Из прямоугольного треугольника ВВ1Е найдем

	=	l	=	0,941	= 1,88мм,
B
		sin α		sin 300

из подобия треугольников САА1 и СВВ1 получим перемещение точки

А:

D A	= DB	AC	= 1,88 ×10	−3	×	1,4		= 2,63 ×10	−3	м = 2,63	мм.
		BC				1,0

Рис. 1.4

7

Пример 1.3. Подобрать из условия прочности размеры поперечных сечений стальных стержней кронштейна, нагруженного силой F (рис. 1.5). Сечения стержней: 1 – круг, 2 – двутавр. Определить горизонтальное, вертикальное и полное перемещение узла С при принятых размерах. Расчётное сопротивление материала стержней R = 210 МПа, модуль продольной упругости Е = 2,0×105 МПа.

Рис. 1.5

Решение. 1. Составим уравнения равновесия и определим усилия в стержнях.

Для этого вырежем узел С, в сечениях стержней приложим неизвестные продольные силы N1 и N2 в направлении, вызывающем растяжение стержней, и изобразим план сил (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Для плоской системы сходящихся сил составим два уравнения равновесия:

ΣFy = 0 : N1 sin α − F = 0;

8

					SFx			= 0 : -N2 - N1 cosα = 0.
Здесь	α = arctg	h	= arctg			1,2	= 36,90.
		l			1,6
Откуда находим
					N =			F	=	200	= 333кН.
										sin36,90
					1			sinα
N1 > 0 – стержень 1 работает на растяжение.
		N		2	= -N cos α = -333× cos 36,90 = -266 кН.
					1

N2 <0 − стержень 2 работает на сжатие.

2. Подберем из условия прочности размеры поперечных сечений стержней.

Для стержня 1

σ1

=

N1

≤ R,

A1

откуда

³

N

, причем A1

=

πd 2

.

A1

1

R

4

Тогда

4 ×333×103

d ³

4N1

=

= 44,9 ×10

−3

м.

πR

3,14 × 210 ×106

Принимаем в соответствие с таблицей нормальных размеров по

ГОСТ 6636−69 d = 45 мм, тогда площадь стержня 1

А =

3,14 × 4,52

= 15,9 см2 .

1

4

Для стержня 2

σ2

=

N 2

≤ R,

A2

откуда

A ³

N 2

=

266 ×103

= 12,7 ×10−4 м2

= 12,7 см2 .

2

R

210

×106

В соответствии с сортаментом на двутавровые балки по ГОСТ 8239−89 принимаем двутавр № 12 с площадью сечения А2 = 14,7 см2.

3. Найдем изменение длины каждого стержня. Удлинение стержня 1

Dl =	N l	=	333 ×103 × 2	= 2,09	×10−3 м	= 2,09 мм,
	1 1
			2,0 ×1011 ×15,9 ×10−4
1	EA
	1

9

где

l1

=

l

=

1,6

= 2,00 м

− длина стержня 1 до деформации;

cos α

cos 36,9

0

укорочение стержня 1

Dl2

=

N

2l2

= -

266 ×103 ×1,6

= -1,45 ×10

−3

м

= -1,45 мм,

EA

×1011 ×14,7

×10−4

2,0

2

где

l2

= l = 1,6м − длина стержня 2 до деформации.

План

перемещения точки

С

представлен

на рис.1.7. Для

определения перемещения узла С положим, что стержни в узле С не соединены между собой. Тогда стержень ВС (1) удлинится на величину Dl1, а стержень АС (2) укоротится на величину Dl2. Новое положение узла С (точка С1) определится как точка пересечения перпендикуляров к стержням ВС и АС, проведенных из концов стержней ВС + Dl1 и АС - Dl2 (вместо дуг радиусом ВС + Dl1 и АС -

Dl2).

Таким образом, на рис. 1.7 изображены полное, горизонтальное и вертикальное перемещения точки С

С	= CC ,		гор = C D,					верт	= CD.
		1	С		1			С
Из схемы видно, что горизонтальное перемещение точки С
		горС =			l2		= 1,45мм .
Для нахождения вертикального перемещения точки С проведем
из точки D перпендикуляр		на		продолжение					стержня ВС. Тогда

CN = CM − NM или	l =	верт sin α −	гор
	1	С	С
откуда

cos α ,

	DвертС	= Dl1 + DгорС cos α =	2,09 +1,45 ×cos 36,90	= 5,41 мм.
			sin 36,90
		sin α

Полное перемещение точки С определяется как геометрическая сумма вертикального и горизонтального перемещений:

С = ( вертС )2 + ( горС )2 = 5,412 + 1,452 = 5,60 мм.

10