Теория вероятности Вариант 6

Вариант 6

1. В книжной лотерее разыгрывается n = 4 книги. Всего в урне имеется N = 50 билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет.

Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.

Количество всех возможных вариантов вынуть билет N = 50,

Количество всех возможных вариантов вынуть выигрышный билет n = 4

Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным Р = = = 0,08

2. В круг радиуса r = 7 брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а = 5.ч

Вероятность попадания в квадрат, вписанный в круг вычисляется по формуле: Р =

S(A) – площадь квадрата; S(A) = 5² = 25

А – попадание в квадрата;

S() - площадь круга; S() = r² = 49

Р(А) = = = 0,162

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятность того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчика соответственно равны р₁ = 0,4 и р₂ = 0,5. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

А – сработал первый датчик;

В – сработал второй датчик. По условию задачи Р(А) = 0,4; Р() = 0,6

Р(В) = 0,5; Р() = 0,5

Пусть С – событие состоящее в том, что сработал хотя бы один датчик

D- сработал ровно один датчик.

С = А + В + АВ. Так А, В независимы, то Р(С) = Р(А)Р() + Р(В)Р() + Р(А)Р(В) = 0,40,5 + 0,50,6 + 0,40,5 = 0,2 + 0,3 + 0,2 = 0,7

D = Р(А)Р() + Р(В)Р() = 0,40,5 + 0,60,5 = 0,5

4. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и Р = 0,55. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно взятой винтовки. Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка.

Н₁ – выбор первой винтовки.

Н₂ – выбор второй винтовки

Н₃ – выбор третьей винтовки

Н₄ – выбор четвертой винтовки

Н₅ – выбор пятой винтовки.

Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = Р(Н₄) = Р(Н₅) = 1/5.

А- попадание стрелком в мишень.

Р(А/Н₁) = 0,5

Р(А/Н₂) = 0,55

Р(А/Н₃) = 0,7

Р(А/Н₄) = 0,75

Р(А/Н₅) = 0,55

По формуле полной вероятности Р(А) = Р(Н₁) Р(А/Н₁) + Р(Н₂) Р(А/Н₂) + Р(Н₃)  Р(А/Н₃) + Р(Н₄)  Р(А/Н₄) +Р(Н₅)  Р(А/Н₅) = 1/5(0,5 + 0,55 + 0,7 + 0,75 + 0,55) = 0,61.

Вероятность попадания стрелка из случайно взятой винтовки равна 0,61.

По формуле Байеса Р(Н₁/А) = = = 0,164 – вероятность, что стрелок стрелял из первой винтовки, если он попал в мишень.

5. Вероятность того, что баскетболист попадет при броске в корзину равна р = 0,2. Определить вероятность, что сделав n = 7 бросков, он m = 4 раза попадет.

n = 7 - число бросков в корзину;

m = 4 – число попаданий в корзину из 7 бросков

р = 0,2; q = 1 – р = 1 – 0,2 = 0,8. Найти Р₇(4)

Найдем Р₇(4) по формуле Бернулли:

Р₇(4) = р⁴q³ =  (0,2)⁴(0,8)³ = 35 0,00160,512 = 0,0287

6. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна р = 0,001. Определить вероятность того, что в партии из N = 900 деталей будет:

ровно 3 бракованных;

не более 3-х.

Имеет место схема Бернулли. n = 900; m = 3; р = 0,001; q = 0,999.

Так как nр = 9000,001 = 0,9  10. Применяем формулу Пуассона: Р₉₀₀(3) = = = таблица распределения Пуассона

= 0,0494

Р₅₀₀₀(m 3) = = (табл) = 0,98654

7. В жилом доме имеется n = 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между m₁ и m₂.

n = 2500, m₁ = 1225; m₂ = 1250.

По интегральной формуле Муавра-Лапласа: Р(m₁  x  m₂) = Ф(х₂) – Ф(х₁), где

х₁ = = = - = - 1; х₂ = = = 0;

Р(m₁  x  m₂) = Р(3120  x  3280) = Ф(0) - Ф(-1) = 0,3413

8. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N = 420 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.

1₁ = N = 420, t₁ = 60 мин; t₂ = 1 мин. а₂ = = = 7.

По формуле Пуассона: Р₄₂₀(2) = (табл.1) = 0,02234;

Р₄₂₀(m > 2) = 1 – Р(m 2) = 1 – 0,02964 = 0,97036.

9. Случайная величина Х задана рядом распределения:

хi	-1	0	1
pi	0.35	0.3	0.35

P{Х < 0} = P{Х = -1} = 0,35, P{X > -1}= P{Х = 0} + P{Х = 1} = 0,3 + 0,35 = 0,65.

Р{-1 <X < 1} = 0,3.

МХ = -10,35 + 00,3 + 10,35 = 0.

DX = (-1)²0,35 + 0²0,3 + 1²0,35 – МХ² = 0,7

10. Построить таблицу распределения и найти МУ, DУ для случайной величины У=2Х+3.

уi	1	3	5
pi	0.35	0.3	0.35

МУ = 2МХ + 3 = 20 + 3 = 0

DУ = D(2Y + 3) = 4DY = 40.7 = 2,8