Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1

4.2.1. Частотные и резонансные характеристики параллельного RLC-контура

Зависимости реактивных и полной проводимостей цепи, а также угла сдвига фаз между током и напряжением от частоты приведены на рис. 4.13.

		B
		BL(ω )			Y(ω )		ϕ
							π /2
					G(ω	)		ω 0		ω
		ω 0				ω	-π /2
				B(ω	)
		-BC(ω )				Рис. 4.13
						. 4.13
		Активная проводимость не зависит от частоты, индуктивная
проводимость обратно пропорциональна частоте ВL (ω ) =									1 ,	емкост-
									ω L
ная проводимость прямо пропорциональна частоте BC (ω									) = ω C , реак-
тивная проводимость B(ω					) = ВL (ω	) − BC (ω )	имеет три характерные час-
тоты –		два полюса	ω	= 0	и ω = ∞ , при которых B = ∞ ,				и один нуль
ω = ω	0 ,	когда B = 0 .		Значения		реактивных		проводимостей		BL (ω ),
BC (ω	), B(ω ) при значениях частоты ω = 0, ω						0 , ∞	приведены в табл. 4.3.
								Таблица 4 . 3
ω		BL =	1			B = ω C		B = B − B
			ω L			C			L	C
0		∞				0			∞
ω 0		BL =BC				BС =B L			0
∞		0				∞			∞

161

Как и в рассмотренном выше случае резонанса напряжений, при достижении резонансной частоты в резонансе токов происходит изме-

нение характера реактивной проводимости (рис. 4.13 и 4.14.).
Если при ω		< ω	0 цепь имеет		индуктивный характер				( B > 0 ,
ϕ > 0 ), то при ω	> ω	0 цепь имеет емкостный характер ( B < 0 , ϕ							< 0 ).
В частном случае, когда G = 0 , при резонансной частоте проис-
ходит скачкообразное			(релейное)		изменение		угла	сдвига		фаз
ϕ (ω ) = arctg В(ω	) от + π		2 до − π	2 или так называемое «опрокидыва-
G(ω	)
ние фазы» (см. рис. 4.14).
B					ϕ
					π /2
			BC(ω )						ω
			|B(ω	)|			ω 0
ω			BL(ω )	ω	-π /2
	0		Рис. 4.14
Учитывая, что			IL = UвхBL ; IC = UвхBC ;			IG = UвхG;		I = UвхY ,		вид
резонансных кривых IL (ω ), I C(ω				), IG (ω ), I (ω		) аналогичен соответст-
вующим частотным зависимостям. При частоте							ω = ω 0	резонансный

LC-контур выполняет роль фильтра-пробки, проводимость которого, а следовательно, и ток на входе фильтр-пробки, равны нулю, а сопротивление – бесконечности.

В случае, если в качестве источника используется источник тока, резонансные кривые имеют вид, подобный резонансным кривым при последовательном соединении RLC-элементов, построить такие кривые студентам предлагается самостоятельно.

162

4.2.2. Резонанс токов в контуре с потерями

Рассмотрим резонанс токов в схеме с параллельными ветвями

R1 − L и R2 −

C (рис. 4.15,

а). `Входная проводимость такого контура

равна:

Y = 1 + 1 =

1

+

1

= R1 − jX L + R2 + jX C .

Z 1

Z 2 R1

+ jX L

R2 − jX C

R12 + X L2

R22 + X C2

Заменим

данную

схему

эквивалентной,

приведенной на

I

рис. 4.15, б.

В этой схеме приняты следующие обо-

U

R1

I

R2

значения:

R1

X L

I

2

G1 =

;

BL =

;

L

C

2

2

2

2

1

R1

+ X L

R1

+ X L

(4.14)

R2

X C

I

а

G2 = R22 + X C2

;

BC =

R22 + X C2 .

I

I2

Для данной схемы справедливо

U

1

I = I1 + I2 = U (G1 − jBL )+

I

G1

BL

G2

BC

2

C

1

2

(4.15)

I

I

I

+U (G

+ jB

) = U (G

+ G )−

G

L

G

C

− jU (BL − BC ) = IG1 + IG2

1

2

+ IL + IC.

б

Рис. 4.15

Рис. 4.15

В режиме резонанса

ϕ вх

= arctg BL − BC

= 0 .

G1 + G2

Это возможно, если будет выполнено условие

B = B − B

= X L

− X C

= 0 ,

(4.16)

L

C

Z 2

Z 2

1

2

соответственно

IL + IC = 0;

IL = IC

и происходит компенсация реактив-

ных составляющих тока.

163

При резонансе полная мощность, которая потребляется контуром, минимальна и носит активный характер,

S = UI = P = U 2 (G1 + G2 ) = U 2G .

(4.17)

В режиме резонанса ток на входе параллельного контура принимает минимальное значение для данной цепи при неизменном на-

пряжении U и равен I0 = U (G1 + G2 ) = UG .	При проводимости G → 0
ток I → 0. Сопротивление такой цепи Z → ∞	. Для резонансной частоты

ω 0 такой контур принято называть фильтром-пробкой (или токовой пробкой).

Величина резонансной частоты для приведенной схемы опреде-

ляется из условия
						1
	ω 0 L
		=			ω	0C				.	(4.18)
	R12 + (ω 0 L)2					1			2
		2
			R2
				+
							ω 0C

Приведя к общему знаменателю и умножив обе части на ω 0, после преобразований получим

			1	L	− R12	1	ρ 2 − R2
ω		=		C				(4.19)
					=		1 .
	0		LC	L	− R22	LC ρ 2 − R22
				C

Анализ выражения (4.19) показывает, что при разных резистивных сопротивлениях R1 ≠ R2 резонанс в такой схеме возможен только, если оба сопротивления одновременно больше или меньше ρ . В про-

тивном случае выражение под корнем отрицательно, резонансная частота мнимая и не имеет физического смысла.

При R1 = R2 ≠ ρ резонанс наступает при той же частоте, что и в простейшем колебательном параллельном контуре без потерь.

164

Представляет особый интерес случай, когда R1 = R2 = ρ . В этом

случае при любом значении частоты реактивная проводимость контура равна нулю, т.е. цепь находится в резонансе на любой частоте. Это так называемый всеволновой (безразличный) резонанс. Цепь при этом обла-

дает замечательным свойством постоянства активной проводимости, и в ней отсутствует реактивная проводимость при всех частотах, в то время как каждая ветвь этой цепи имеет величины G1 (ω ) , G2 (ω ) и

BL (ω ) , BC (ω ) , зависящие от частоты.

Энергетические процессы при всеволновом резонансе протекают значительно сложнее, чем это происходит в простых RLC-цепях. В этом случае энергия в катушке и энергия в конденсаторе одновременно достигают максимума и одновременно убывают до нуля. Таким образом, в рассматриваемой цепи при таком резонансе совсем не совершается обмена энергией между катушкой и конденсатором, в течение части периода происходит поступление энергии из источника одновременно в электрическое поле конденсатора и в магнитное поле катушки, а также на выделение теплоты в сопротивлениях R1 и R2. В другую часть периода энергия, возвращаясь одновременно из конденсатора и из катушки, преобразуется в теплоту в сопротивлениях R1 и R2. В то же время энергия продолжает поступать из источника, причем она также поглощается в виде теплоты в сопротивлениях R1 и R2.

Векторная диаграмма строится на основе соотношения (4.14). При построении совместим с вещественной осью напряжение U , тогда векторная диаграмма будет иметь вид, представленный на рис. 4.16, если учесть, что IL = IC .

		j
I		= jUB	IG2	= UG2
			I
	C	C		I	U
			2
			I1		+1
I L	= − jUBL
				I G1	= UG1
			Рис. 4.16
			Рис. 4.16

165

4.3. Резонансы в сложных цепях

L1

В сложных схемах, содержащих по-

следовательные

и

параллельные

соедине-

ния ветвей с индуктивностью и емкостью,

L2

C

может наблюдаться как резонанс напряже-

ния, так и резонанс токов. Покажем это на

. 4.17

примере схемы, приведенной на рис. 4.17.

Входное сопротивление такой цепи

Рис. .

j

jω

−

L2

ω

ω L2

C

Z вх

= jω L1 +

L1 − ω

2 L C −1

1 = j ω

.

(4.20)

ω L2

−

2

j

ω

C

В

этой

цепи

резонанс напряжений

возможен при

условии

ω

0 L1 −

ω

0 L2

= 0

, при этом резонансная частота

ω 02 L2C −1

ω 0

=

L1 + L2 .

(4.21)

L1L2C

Входная проводимость этой цепи

Y

вх

=

1

= − j

ω 2 L2C −1

= − jB .

(4.22)

Z

вх

ω 3 L L C − ω L − ω

L

экв

1 2

1

2

При резонансе токов эквивалентная реактивная проводимость параллельного участка Вэкв = 0. При этом резонансная частота

ω ′0 =	1	(4.23)
	.
	L1C

Численные значения частот в режиме резонанса токов и напряжений различны для одной и той же схемы.

166

В цепях с несколькими RLC-контурами, соединенными произвольно, возможно получение нескольких резонансных режимов (токов и напряжений). Анализ таких цепей осуществляется путем расчета входного комплексного сопротивления цепи Z вх , которое представляет

собой дробь. Известно, что условие резонанса напряжений X экв = 0 , т.е. Im(Z вх ) = 0 . Следовательно, равенство нулю числителя Im(Z вх ) дает резонансную частоту для резонанса напряжений. Условие резонанса токов формулируется: Bэкв = 0 или Im(Y вх ) = 0 , т.е. Im(Z вх ) = ∞ . Следовательно, равенство нулю знаменателя Im(Z вх ) дает резонансную частоту для резонанса токов. Таким образом, задача сводится к определению нулей и полюсов Im(Z вх (ω )).

4.4.Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: для схемы (рис. 4.18) известны следующие параметры

X L1 = X L4 = X C2 = X C3 = 50 Ом; R1 = R2 = 50 Ом; U = 100 В.

Найти: ток в ветви с индуктивностью (IL). Построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение

1. В идеальном параллельном контуре (3-я и 4-я ветви), наблюдается резонанс токов (п. 4.2). При этом его входное сопротивление равно бесконечности и входной контур, обхватывающий 1-ю и 2-ю ветви, обтекается одним и тем же током I. В этом контуре, в свою очередь, наблюдается резонанс напряжений (п. 4.1). Таким образом, входное сопротивление цепи – чисто активное:

Z вх = R1 + jX L1 + R2 − jX C2 = R1 + R2 = 100 Ом.

2. Ток на входе цепи

I = U = 100 =1 А.

Z вх 100

167

3. Напряжение в параллельном соединении:

				U	= (R	− jX	)I = (50 − j50) 1 = 50 − j50 В.
				ce	2		С2
	a	R1	X L1		c				+j
										IC
		b			I	IC		I L	6
				R2					e(f)	9
U		I									I
					d	X C3		X L4	1		b
			X						5	U ce
				C2					2 4		7
									I L d
	f			e						3	c
			Рис. 4.18						Рис. 4.19
									Рис. 4.19
		4. Ток в ветви с индуктивностью:
					IL	= Uсе = 50 − j50 = −1− j1 А.
						jX L4		j50

Действующее значение тока:

IL = (−1)2 + (−1)2 = 1,41 А.

U = 100 В 8 a +1

5. Топографическая диаграмма напряжений, совмещенная с векторной диаграммой токов, представлена на рис. 4.19. Токи IL и IC , бу-

дучи равными по величине и противоположными по фазе, компенсируют друг друга. Цифры указывают очередность построения векторов.

Задача 2.

Дано: для схемы (рис 4.20) U = 100 В; R1 = 10 Ом; X C2 = 5 Ом;

X L3 = 50 Ом .

Найти:

1) при каком значении сопротивления R2 в цепи наступит резо-

нанс;

2) входной ток I этого режима.

168

R1

a

R1

L

c

b

I3

I

R2

I1

I2

U

X L

R2

C

U

X C2

3

Рис. 4.20

d

Рис. 4.21

Решение

1. Значение сопротивления R2 найдем из условия резонанса в

параллельном соединении:

R2 + jX C2 = R2 + jX С2 =

Y 2

=

1

R

− jX

С2

R + jX

C2

R2

+ X 2

2

2

2

С2

=		R2	+ j		X С2	= G2 + jB2 ;
	R2	+ X 2		R2	+ X 2
2		С2	2		С2

Y 3

=

1

= − j

1

;

jX L3

X L3

B23 = B2 + B3 =

X С2

−

1

=

5

−

1

= 0 ; R2

= 15 Ом;

R2

+ X 2

X

L3

R2

+ 25

50

2

С2

2

2. Эквивалентная активная проводимость параллельного соединения второй и третьей ветвей:

G		= G	+ G =	R2	+ 0 =	15	= 0,06 Ом-1;
				R22 + X C2
	23	2	3		152 + 52

3. Эквивалентное сопротивление параллельного соединения второй и третьей ветвей:

R23	=	1	=	1	= 16,67 Ом;
				0,06
		G23

4. Входное сопротивление цепи:

169

Z вх = R1 + R23 = 10 +16,67 = 26,67 Ом;

5. Входной ток цепи:

		=	U	=	100	= 3,75	А.
	I
			Z вх		26,67

Задача 3.

Дано: для схемы (рис. 4.21) заданы параметры

R1 = 20 Ом; R2 = 500 Ом; L = 0,2 Гн; С = 4 мкФ.

Найти:

1)резонансную частоту и входное сопротивление цепи;

2)качественно построить топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Решение

1. Условием резонанса напряжений в разветвленной цепи является равенство нулю мнимой части ее входного сопротивления:

Im(Z вх ) = 0 .

2. Входное сопротивление:

1

1

2

1

R2

− j

R2

jR2

ω C

ω

Z вх = R1 + jω L +

= R1 + jω L +

C

−

2 ω C

.

R2

− j

1

2

1 2

2

1

2

ω C

R2

+

ω

R2

+

C

ω C

Выделяем мнимую часть и приравниваем ее к нулю:

		R2		1
				ω C
ω L −		2						= 0 .
	2				1 2
	R2	+
					ω C

Решение этого уравнения относительно частоты дает

170