Теория_линейных_электрических_цепей_Ч1

	R1	A		R3
I1х		+		Uхх
E1		–			J3
	R4
			C	R5	+
	I4х

B	D
	R6
	E6

R7

Рис. 2.37

Методом двух узлов определим

J +

E6

U DB =

R6

= 19,03 B,

1

+

1

+

1

R4 + R5

R6

R7

I 4 x =

U BD

=

−U DB

= −1,56 A.

R4 + R5

R4 + R5

Тогда Uхх = – 1,408 В.

Для подсчета Rвх относительно зажимов ветви 2 необходимо из цепи, показанной на рис. 2.37, образовать пассивную цепь

(рис. 2.38).

	R1			Тогда
	R	A
						+	R6 R7
	4				R4 R5		R6
		C	Rвх	= RAC = R1 +				+ R7	= 9,16	Ом.
	R6				R4 + R5 +			R6 R7
		R5
	R7						R6 + R7
		Рис. 2.38		Окончательно получаем
		Рис. 2.38

81

	I2	=	U xx		= −0,09 A,
			Rвх	+ R2

что совпадает с результатом, полученным при расчетах цепи методами контурных токов и узловых потенциалов.

Метод наложения

Определим ток I2 методом наложения.

Подлежащая расчету цепь представляет собой суперпозицию трех подсхем (рис. 2.39, а – в).

Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E1 от действия

источника ЭДС E1 (рис. 2.39, а), для чего воспользуемся законом Ома:

E1

E1

E1

= 1,25 A.

I

2

= I1

=

R R

6

7

+ R5 R4

R6 + R7

+ R1

+ R2

R6 R7

+ R5 + R4

R6 + R7

Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E6 от действия источ-

ника ЭДС E6

(рис. 2.39, б), для чего сначала определим ток I6E6 по

закону Ома:

E

=

E

= 3,892 A.

I6 6

6

(R1 + R2 )R4

+ R5 R7

R1 + R2

+ R4

+ R6

(R1 + R2 )R4

+ R5 + R7

R1 + R2 + R4

По формуле токов в параллельных ветвях определим ток I5E 6 ,

E

E

R

I5 6

= I6 6

(R1 + R2 )R47

=1,386 A.

+ R5 + R7

R1 + R2 + R4

82

	R1	A	R3		R1	A	R3
I1E1	I2E1		R2		I2E6		R2
E1	R4		R5		R4		R5
						C
		C					I5E6
B			D	B			D
			R6		E6	I6E6	R6
	а	R7	R1	A	R3	R7	б

		R2
	R4	J3
		R5
		C

B	D
	R6
	в
	R7

	R1	A	R3				R1	A	R3

B R4

I2J3 I R2

R2 J3

C

C	D		R45
	R5
	г	B	д
R67		R4,67

J3

D

R5,67

Рис. 2.39

83

Воспользовавшись формулой токов в параллельных ветвях, определим искомый ток I2E6 :

I2E6 = I1E6

= I5E6

R4

= 0,496 A.

R1 + R2 + R4

Для

определения составляющей

тока второй

ветви I2J3 от

действия источника тока J3 необходимо

заменить

параллельный

участок R6 − R7

одним сопротивлением

R67

=

R6 R7

= 3 Ом, затем

R6 + R7

преобразовать

треугольник

сопротивлений

R4 − R5 − R67 в эквива-

лентную звезду (рис. 2.39, г) с сопротивлениями:

R45 =

R4 R5

= 2,416 Ом,

R4,67

=

R4 R67

= 1,342 Ом,

R4

R4 + R5 + R67

+ R5 + R67

R5,67 =

R5 R67

= 1,006 Ом.

R4 + R5 + R67

После преобразований ток

I2J3

определяется по формуле то-

ков в параллельных ветвях:

I2J3 = J3

R1 + R4,67

= 0,845 A.

R1 + R4,67 + R2 + R45

Полный ток I2

I2 = −I2E1 + I2E6 + I2J3 = −0,09 A.

Полученный результат совпадает со значением, полученным другими методами.

84

3. ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

3.1. Основные характеристики гармонических сигналов

Переменными токами i(t) и напряжениями u(t) называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени.

Сигналы, мгновенные значения которых повторяются через определенный фиксированный промежуток времени, называются периодическими, а этот промежуток времени – периодом. Такие сигналы описываются следующим образом:

i = F (t) = F (t ± T ),			(3.1)
где Т – период, с.
Величина, обратная периоду, называется частотой			f , кото-
рая численно равна числу периодов в единицу времени:
f =	1	[ f ]= с−1 = Гц.	(3.2)
	T

Также существует понятие угловой частоты:

ω =	2π	= 2π f	[ω ]= рад с.	(3.3)

T

В электроэнергетике нашли широкое применение синусоидальные сигналы, как наиболее экономичные. Для передачи информации в технике связи и радиотехнике используют различные модуляции синусоидальных сигналов: амплитудную, частотную, фазовую. В общем случае любой несинусоидальный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных сигналов различной частоты с помощью разложения в ряд Фурье. И, таким образом, расчет подобных цепей может быть сведен к расчету цепей синусоидального напряжения и тока:

85

u(t) =Um sin(ω t + ψ u ), i(t) = Im sin(ω t + ψ i ) ,

(3.4)

где u(t),i(t) – мгновенное значение; Um ,Im – амплитуда переменного сигнала – максимальная по модулю его величина; ω t + ψ u , ω t + ψ i –

фаза гармонического сигнала – аргумент синуса, отсчитываемый от ближайшей предыдущей точки перехода синусоидальной величины через нуль от отрицательных к положительным ее значениям, в каждый момент времени; ψ u , ψ i – начальная фаза – значение аргумента в

начальный момент времени (t = 0). Фаза измеряется в радианах или градусах.

В дальнейшем под переменным сигналом будем понимать гармонический (синусоидальный) сигнал. На рис. 3.1 изображен синусоидальный ток. Обратим внимание на то, что положительные фазы ψ i > 0 должны откладываться от начала координат влево. По оси абс-

цисс можно откладывать или время t, или пропорциональную ему угловую величину ω t . Следовательно, периодом будет являться или T,

или 2π .

i		i
Im		Im
	t	t
		–Im
шi > 0	T	шi < 0
	Рис. 3.1

О значениях периодических токов и напряжений обычно судят по их среднеквадратическим значениям за период, которые называют действующим значением напряжения и тока и обозначают U, I:

U = 1	T	I = 1	T
	∫u 2 dt,		∫i2 dt .	(3.5)
T	0	T	0

86

За период Т на резисторе с сопротивлением R при синусоидальном изменении тока выделится тепловая энергия:

	T	2	T	T 2		1	T	2	2
W =	∫	Ri dt = R	∫		i dt = RT		∫	i dt = RI T .		(3.6)
				T		T
Т
	0		0				0

Таким образом, действующий ток численно равен такому постоянному току, который за время t = T выделяет в том же сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный.

В действующих величинах градуируются (тарируются) амперметры и вольтметры электродинамической и электромагнитной системы. Приборы магнитоэлектрической системы показывают постоянную составляющую тока или напряжения, или среднее значение за период:

Uср	=	1	T	u(t)dt,	Iср	=	1	T	i(t)dt .	(3.7)
		T	∫				T	∫
			0					0

Установим связь между действующим и амплитудным значением гармонического сигнала на примере тока. Если ток изменяется

по закону

i(t) = Im sin(ω t + ψ i ) , то

1

T

1

T

2

T

I 2 =

∫i2 dt =

∫ Im2 sin 2 (ω t + ψ )dt =

Im

∫sin 2 (ω t + ψ )dt =

T

T

T

0

0

0

2

T

2

T

2

T

2

2

=

Im

∫(1 − cos(2ω t + 2ψ ))dt =

Im

∫ dt −

Im

∫cos(2ω t + 2ψ )dt =

Im

T =

Im

,

2T

2T

2T

2T

0

0

0

2

0

I = Im

.

(3.8)

2

лучим

Произведя аналогичные действия для сигнала напряжения, по-

U = U m .

(3.9)

2

87

Введем понятие мощности переменного тока. Мгновенная мощность вычисляется как произведение мгновенных значений напряжения и тока p(t) = u(t)i(t). Тогда

p(t) = U m Im sin(ω t + ψ

u )sin(ω

t + ψ i ) =

= U m Im

1

[cos (ω t + ψ

u − ω t − ψ

i )− cos (ω t + ψ u + ω t + ψ

i )]=

2

U m Im cos (2ω

i )

(3.10)

U m Im cos ϕ

t + ψ

u + ψ

=

−

=

2

2

i ),

= UI cos ϕ −UI cos (2ω

t + ψ u

+ ψ

где ϕ –

сдвиг фазы тока по отношению к напряжению,

ϕ

= ψ

u − ψ i

(при ϕ

= 0 ток и напряжение совпадают по фазе, при ϕ

= ±π

– про-

тивоположны по фазе, при

ϕ = ± π

2 –

находятся в квадратуре);

UI cos ϕ

–

постоянная

составляющая

мгновенной

мощности;

UI cos(2ω t + ψ

u + ψ i ) – гармоническая составляющая, которая изменя-

ется с удвоенной угловой частотой по отношению к частоте питающей сети (рис. 3.2).

p, u, i	S = UI
						p(t)
P
					u(t)		t
						i(t)
			Рис. 3.2
Средняя мощность за период называется активной мощно-
стью:
	P =		T	∫	p(t)dt = UI cos ϕ		(3.11)
		P = 1		T
		ср
				0

88

и измеряется в ваттах (Вт). Максимальная активная мощность, соответствующая случаю cos ϕ =1 , называется полной мощностью S = UI

и измеряется в ВА.

3.2. Элементы цепей гармонического тока

Электрическая цепь синусоидального тока кроме электротехнических устройств, назначение которых совпадает с назначением функционально аналогичных устройств цепи постоянного тока (источники энергии, измерительные приборы, коммутационные аппараты и др.), содержит также устройства, присущие только цепям синусоидального тока: конденсаторы, обладающие электрической емкостью, и катушки индуктивности.

Для расчета режима работы электротехнических устройств необходимо перейти от принципиальной схемы цепи к ее схеме замещения (математической модели).

Элементами схем замещения цепей синусоидального тока являются источники синусоидальных тока и ЭДС (j(t), e(t)), резистивные (R), индуктивные (L) и емкостные (C) элементы.

Рассмотрим картину распределения тока и напряжения на реальных элементах.

3.2.1. Гармонический ток в сопротивлении

Пусть u(t) = U m sin(ω t + ψ

u ).

i(t)

R

Тогда ток в сопротивлении R (рис. 3.3)

u(t)

можно определить по закону Ома: i(t) =

,

Рис. 3.3

Рис. 3.3

R

u(t) = U m sin(ω t + ψ u ) = e(t),

i(t) =

U m

sin(ω

t + ψ

u ) = Im sin(ω t + ψ i ).

R

Отсюда Im =

U m

; ψ i

= ψ

u = ψ .

R

89

Сдвиг фаз между напряжением и током ψ u − ψ i = ϕ = 0 , т.е. ток и напряжение на сопротивлении совпадают по фазе.

Поскольку U m = U 2 , то для действующих значений справед-

ливо

U m = U	2 = U = Z ,	(3.12)
Im I	2 I

где Z – полное сопротивление цепи (импеданс), равное отношению действующих значений напряжения и тока.

Для цепи, представленной на рис. 3.3, полное сопротивление

Z = R .

Для определения мгновенной мощности, поступающей в сопротивление, воспользуемся полученным выше соотношением для мгновенной мощности (3.10):

	p(t) = UI cos ϕ −UI cos(2ω t + ψ u + ψ i ) =				(3.13)
	= UI cos 0 −UI cos(2ω t + 2ψ		) = I 2 R − I 2 R cos(2ω	t + 2ψ
					).
	Активная мощность, равная средней мощности за период,
	P = P =	1	T p(t)dt =I 2 R.		(3.14)
		T
	ср		∫
			0

Графики изменения мгновенного напряжения, тока и мощности на резистивном элементе представлены на рис. 3.4.

p, u, i

p(t)

P i(t)

t

u(t)

Рис. 3.4

90