Функции и их основные свойства

6.1.ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

6.1.1.Понятие функции

Функцией y f (x) называется закон, по которому каждому значению величины x из

некоторого множества X ставится в соответствие вполне определенное значение величины y из множества Y. Величина x называется независимой переменной (или аргументом), y – зависимой

переменной. Множество X называется областью определения функции D( y) , множество Y – множеством значений функции E( y) .

Различают три основных способа задания функции:

1)аналитический;

2)табличный;

3)графический.

1. Аналитический способ. Если функция выражена при помощи формулы, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы получить у, то говорят, что она задана аналитически. При аналитическом способе задания функция может быть

задана явно, т.е. в виде у = f(x) или неявно, т.е. в виде F(x, у) = 0. Например, равенство y x2 1 –

это явно заданная функция, а уравнение x2 y2 4 0 – неявно заданная функция (уравнение окружности с центром в начале координат).

2.Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одном столбце (строке) записывают значения аргумента x, а во втором столбце (строке) — значения f(x). Такой способ задания функции часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений. В виде таблиц, например, записываются результаты экспериментального исследования каких-либо процессов и явлений.

3.Графический способ. Аналитический и табличный способы задания функции страдают отсутствием наглядности. Графический способ не имеет такого недостатка. Графиком функции

y f (x) называется множество точек плоскости OXY, координаты x и y которых удовлетворяют уравнению y f (x) .

6.1.2. Свойства функции

Под основными свойствами функции у = f(x) будем понимать следующие шесть:

1.область определения D(f);

2.область значений E(f);

3.четность, нечетность;

4.монотонность;

5.ограниченность;

6.периодичность.

Область определения и множество значений. Если множество X специально не оговорено,

то под областью определения подразумеваются все значения x, при которых выражение f (x) имеет смысл.

Пример 1. Найти область определения функции

						y	x
								.
				x			x2 1
	Решение. Выражение					имеет смысл при условии			x2 1 0 . Отсюда следует
			x2	1
	x 1 и x 1.	Таким образом, D( y) ( ; 1) ( 1; 1) (1; ) .

Пример 2. Найти область определения функции

y x2 3x 2 .

Решение. Выражение x2 3x 2 имеет смысл при условии

x2 3x 2 0 . Умножив обе части последнего неравенства на (-1), получим

x2 3x 2 0 .

Квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства имеет корни

x1 1,

x2 2 .

Ветви соответствующей параболы направлены вверх. Следовательно, решением данного неравенства является промежуток 1; 2 . Таким образом,

D( y) 1; 2 .

Пример 3. Найти область определения функции

y arcsin(x 2) .

Решение. По определению обратной тригонометрической функции, имеем

1 x 2 1 . Решив данное двойное неравенство, получим

1 x 3 .

Следовательно,

D(y) 1; 3 .

Пример 4. Найти множество значений функции

y x2 6x 2 .

Решение. Выражение x2 6x 2 – квадратный трехчлен. Наименьшее значение данного

квадратного трехчлена достигается в	вершине x0		6	3 . Подставив значение	x0 3 в
выражение функции, получим y0 32			2
	6 3 2 7 . Таким образом, E( y) [ 7; ) .

Пример 5. Найти множество значений функции

y 3sin x 4 cos x .

Решение. Для решения данного примера воспользуемся формулой a sin x b cos x Asin(x ) ,

где

A a2 b2 , arctg ba .

В данном случае

A 32 42 25 5, arctg 34 .

Следовательно,

3sin x 4 cos x 5sin(x ) .

Независимо от угла , имеем

1 sin(x ) 1.

Следовательно,

5 5sin(x ) 5 .

Таким образом,

E( y) [ 5; 5] .

Четность и нечетность. Пусть область определения функции у = f(x) симметрична относительно нуля. Функция у = f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения

f(—x) = f(x)

и нечетной, если

f(—x) = —f(x). Например, функция y x2 является четной, так как

f ( x) ( x)2 x2 f (x) ,

функция y x3 является нечетной, так как

f ( x) ( x)3 x3 f (x) .

В то же время, например, функция y x2 x3 является функцией общего вида, так как

f ( x) ( x)2 ( x)2 x2 x3 ,

следовательно,

f ( x) f (x) и f ( x) f (x) .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Исследовать на четность и нечетность функцию

f (x) x 2 6x 1 x 2 6x 1 .

Решение.

f ( x) x 2 6x 1 x 2 6x 1x 2 6x 1 x 2 6x 1 f (x).

Следовательно, функция

f (x) x 2 6x 1 x 2 6x 1

является четной.

Пример 7. Исследовать на четность и нечетность функцию f (x) x cos x x3 .

Решение.

f ( x) x cos( x) ( x)3 x cos x x3

(x cos x x3 ) f (x).

Следовательно, функция

f (x) x cos x x3

является нечетной.

Монотонность. Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке

X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть	x1, x2 X и		x2 x1 .	Тогда	функция	возрастает		на	промежутке X, если
f (x2 ) f (x1) ,	и	убывает, если		f (x2 ) f (x1) . Если			при		x2 x1	выполняется
условие f (x2 ) f (x1)		( f (x2 ) f (x1) ),			тогда	функция	называется			неубывающей
(невозрастающей).			у 2x 1 является возрастающей,							у 2x 1 –
Например, функция							а	функция

убывающей на всем множестве действительных чисел.

Возрастающие и убывающие, а также неубывающие и невозрастающие на промежутке X функции называются монотонными.

Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M, что

	| f (x) | M
для любого x X . Например, функция	y sin x ограничена на всей числовой оси, так как
| sin x | 1 для любого x X .

Периодичность. Функция у = f(x) называется периодической с периодом T 0 , если для любых x из области определения функции выполняется равенство

f (x T ) f (x) .

Число Т называется периодом функции. Наименьшее положительное число Т, обладающее указанным свойством называется основным периодом функции у = f(x). Например, функция

y sin x имеет основной период T 2 , так как sin(x 2 ) sin x . Пример 8. Найти наименьший положительный период функции

y 8sin 4 x 1 2 .

Решение. При решении данного примера полезно помнить, что основной период тригонометрических функций

y Asin kx b ,

y Acos kx b ,

вычисляется по формуле

T 2
и не зависит от величин A, и b .	k
В рассматриваемом примере k 4 , следовательно,
T 2		1 .
4		2

Пример 9. Найти наименьший положительный период функции y 2sin 2 2x .

Решение. Воспользуемся известной формулой понижения степени

2sin 2 2x 1 cos 4x .

Величина основного периода зависит только от коэффициента при аргументе x , следовательно

T 2 .

4 2

6.1.3. Обратная функция

Пусть у = f(x) есть функция от независимой переменной x, определенной на множестве X, с множеством значений Y. Если уравнение у = f(x) однозначно разрешимо относительно x, тогда

функция x ( y) , определенная на множестве Y с множеством значений X, называется обратной функцией. Поскольку, как правило, аргумент обозначают x, а функцию – y, то функция обратная к функции у = f(x) примет вид y (x) . Обратную функцию записывают также в виде y f 1(x) .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 8).

Рис. 6.1. Графики взаимно обратных функций

Пример 1. Построить функцию, обратную для функции y 2x 6 .

Решение. Для нахождения обратной функции разрешим данное равенство относительно x. В результате получим

x 12 y 3 .

После перехода к общепринятым обозначениям для аргумента и функции, получим выражение для обратной функции

y 12 x 3 .

Пример 2. Построить функцию, обратную для функции y ex 2.

Решение. Сначала разрешим данное равенство относительно x. Перенесем второе слагаемое из правой части равенства в левую часть, а затем прологарифмируем обе части полученного равенства по основанию e

ln y 2 x .

Следовательно,

xln y 2 .

Впоследнем равенстве перейдем к общепринятым обозначениям для аргумента и функции

y ln x 2 .

Пример 3. Построить функцию, обратную для функции y lg x 5.

Решение. Перенесем второе слагаемое из правой части данного равенства в левую часть, а затем выполним потенцирование обеих частей полученного равенства

10 y 5 x .

Отсюда получим,

x 10y 5 .

Перейдем к общепринятым обозначениям для аргумента и функции

y10x 5 .

6.1.4.Сложная функция

Пусть y f (z) есть функция от переменной z, определенной на множестве Z с областью значений Y, а переменная z в свою очередь является функцией z g(x) от переменной x,

определенной на множестве X с областью значений Z. Тогда заданная на множестве X функция y f (g(x)) называется сложной функцией (композицией или суперпозицией функций).

Например, y ln(x2 1)	– сложная	функция, так как ее можно представить в виде
композиции двух функций
	y ln z и z x2 1.
Пример 1. Пусть f (x) x2	x 2 и g(x)							. Вычислить значение		f g 3 .
						x 1
Решение. Сначала вычислим значение g(3)
	g(3)				2 .
			3 1
Теперь вычислим значение	f 2
	f (2) 22 2 2 4.
Пример 2. Пусть f (x) 5x 1 и f (g(x))				x 2			. Вычислить значение		g 1 .
				x 1
Решение. По определению функции f (x) , имеем
	f (g(x)) 5g(x) 1.
По условиям задачи выражение для f (g(x))				имеет вид:

f (g(x)) xx 12 .

Следовательно,

			5g(x) 1				x 2				.
							x 1
Из последнего равенства найдем выражение для g(x)
			5g(x)	x 2		1				1			;
				x 1						x 1
g(x) 1	1		.
	x 1
5
Вычислим значение g 1
			g(1) 1		1			1		0,1.
					1 1
			5			10

6.1.5. Элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1)степенная функция y x , где – любое действительное число;

2)показательная функция y ax , где a 0, a 1;

3)логарифмическая функция y loga x , где a 0, a 1;

4)тригонометрические функции y sin x, y cos x, y tgx, y ctgx ;

5)обратные тригонометрические функции y arcsin x, y arccos x ,

y arctgx, y arcctx .

Графики основных элементарных функций приведены ниже.

Рис.6.2. Примеры степенных функций

Рис. 6.3.. Показательная функция y ax ( a 0, a 1)

Рис.6.4. Логарифмическая функция y loga x ( a 0, a 1)

Рис. 6.6. Обратные тригонометрические функции

Элементарными функциями называются функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа образования сложной функции (суперпозиции).

Например, функция

y x3 sin x

является элементарной, так как она построена из основных элементарных функций y x3 и y sin x при помощи операции сложения.

Элементарной является также функция

y sin x3 ,

так как она построена в результате суперпозиции основных элементарных функций y x3 и y sin x .

Примером неэлементарной функции может служить функция y | x |,

график которой приведен ниже.

Рис. 6.7.. График функции y | x |

Рис. 6.5. Тригонометрические функции