Точность моделирования измерительных устройств Диденко в.И., Тепловодский а.В., Иванов а.В.

Предложен новый метрологический подход к анализу понятий точности моделирования. Суть данного подхода состоит в том, чтобы распространить в максимально возможной степени накопленный опыт в метрологии – "науки об измерении, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности" – на моделирование. В статье раскрыты понятия адекватности, точности и погрешности моделирования. Предложены классификации типов моделирования и погрешностей моделирования. На примере моделирования стабилитронов и дельта-сигма модулятора показано, как, введённые в статье, понятия помогают повысить адекватность моделирования.

Ключевые слова: метрология, моделирование, адекватность, погрешность.

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование приобретает всё более широкое применение, сокращая или даже исключая физический эксперимент при проектировании. Ценность моделирования тем выше, чем оно адекватнее, в частности, чем оно точнее. Для изучения и повышения точности измерения создана специальная наука – метрология. Работы по изучению и повышению точности моделирования ведутся, однако не получили пока должного обобщения. По мнению авторов, настала пора говорить о создании науки, посвящённой точности моделирования. Её можно было бы назвать моделлогией. Авторы пытаются внести свой посильный вклад в этот объективно неизбежный процесс.

1. Общие вопросы моделирования

Моделирование в широком смысле – это исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путём построения и изучения их моделей [1].

Существует множество различных типов моделирования, однако их устоявшихся определений, по нашему мнению, пока не существует. Ниже приводится, предлагаемый авторами, рабочий вариант классификации. Основное внимание в статье уделяется моделированию устройств, при котором находятся значения каких-либо физических величин. Поэтому моделирование оказывается аналогичным измерению. Данная классификация является открытой системой, т.к. может быть неограниченно расширена путём введения новых классификационных признаков. Жирным курсивом выделены понятия, не получившие пока общепринятого и/или стандартизованного статуса.

Рис. 1. Классификация типов моделирования

При "ручном" (немашинном) моделирование вычислительные устройства могут применяться, но их влияние на точность и скорость расчётов несущественно. Модели для ручного и машинного моделирования могут существенно различаться. На практике, немашинное проектирование обычно проще, но менее точное и предшествует компьютерному. Совпадение результатов немашинного и машинного проектирования в некоторых характерных точках является одним из признаков адекватности моделирования (смотри ниже).

Физическое моделирование ("макетирование") предполагает использование макетов объектов и непрерывно вытесняется компьютерным моделированием. Макеты могут изготавливаться под каждый новый объект, но могут использоваться и стандартизованные макеты (evaluation boards).

Расчётное (математическое) моделирование делится на имитационное моделирование (воспроизводит функционирование объекта во времени), и аналитическое моделирование (называемое также математическим, функциональным). При аналитическом моделировании выходные переменные объекта связаны с входными посредством математических уравнений. В литературе на английском языке используются термины ''simulation'' и ''modelling'' (в американском языке пишется ''modeling''). Первый термин соответствует имитационному моделированию, а второй – аналитическому моделированию, хотя может применяться и для определения любого моделирования.

Моделирование по измеренным значениям параметров применяется для уникальных объектов, в метрологии и при научных исследованиях. Его изучает, в частности, специальная наука – "Теория планирования эксперимента".

При моделировании разрабатываемых серийных изделий в области измерительной техники, радиотехники и т.д. используются преимущественно паспортные данные элементов моделируемого объекта. В спецификациях таких элементов, как диоды, интегральные схемы и т.д., одни параметры характеризуются только своими типовыми значениями; другие - только предельными с нижними, верхними или обеими границами; третьи - как предельными, так и типовыми значениями.

Моделирование по типовым значениям обычно не рассматривается в измерительной технике. Однако библиотека параметров полупроводниковых приборов для программы PSpice в работе [2] содержит только типовые данные. Моделирование по типовым значениям имеет свои достоинства. Во-первых, типовые значения приводятся в справочниках по радиоэлементам для гораздо большего числа параметров. Во-вторых, моделирование по типовым значениям должно соответствовать усреднённым экспериментальным показателям для сравнительно небольшого числа опытных образцов, т.е. сравнительно просто проверяется на практике. Наконец, моделирование по типовым значениям может помочь найти функциональные зависимости, которые могут использоваться для последующих расчётов по предельным значениям. Однако только моделирование по предельным значениям может дать обоснованный ответ на вопрос о целесообразности дальнейшего проектирования объекта. При этом может использоваться вероятностный подход с определённой доверительной вероятностью P или метод наихудшего случая, которому в [3] предложено приписать P = 1. В метрологии законы распределения систематических составляющих общей погрешности принято считать равномерными, а для доверительной вероятности рекомендуется обычно использовать P = 0,95 [3]. В радиоэлектронике законы распределения составляющих общей погрешности при отсутствии специальных указаний принято считать нормальными, а для доверительной вероятности обычно рекомендуется использовать P = 0,99 [4]. При расчётах погрешностей измерения параметров интегральных схем рекомендуется использовать P = 0,997 [5].

В общем случае моделирование состоит из трёх этапов: выбор модели и определение значений её параметров, выбор метода расчёта и его применение, представление результатов расчёта.

Как и моделирование, модели могут быть разделены по разным классификационным признакам [6, 7, 8]. В зависимости от уровня сигнала различают глобальные, локальные и малосигнальные модели. По частотным свойствам можно выделить статические и динамические модели. В зависимости от степени использования физических свойств объекта при моделировании, модели делятся на формальные ("чёрный ящик"), физические ("белый ящик") и модели типа "серый ящик". В первом случае физическая природа объекта практически не учитывается, во втором – является определяющей, а в третьем – учитывается при составлении уравнений, параметры которых находятся при подходе к объекту с позиций "чёрного ящика".

Методы расчёта электронных схем весьма разнообразны [7] и составляют содержание важной научной специальности "математическое моделирование". При использовании универсальных программ анализа типа P-CAD, PSpice [2] и др. инженер в значительной степени освобождается от математических проблем расчётов схем. В большинстве случаев метод расчёта становится для него своего рода "чёрным ящиком", свойства которого он может оценить при реализации соответствующих тестов, а во многих случаях может их учитывать только путём следования определённым инструкциям.

Представление результатов машинных расчётов могут быть в числах, графиках на дисплеях и т.д.

Соответствие результатов моделирования исследуемым свойствам объекта на качественном уровне описывается понятием "адекватность". В общем случае адекватность включает полноту, правильность и точность модели [9]. Применительно к моделированию большинства технических устройств адекватность обычно определяется достаточно высокой точностью расчётов.

Основная идея доклада состоит в попытке перенесения относительно разработанной науки "метрология" на моделирование. Как известно [10], метрология – это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах обеспечения требуемой точности. Если поменять объект исследования с измерения на моделирование, то предположительно можно говорить о новой науке – "моделлогии". По аналогии с метрологией, её можно определить как науку о моделировании, методах и средствах обеспечения его единства и способах обеспечения требуемой точности. Ранее описывались некоторые общие вопросы моделирования. Перейдём теперь к вопросам обеспечения точности моделирования. Количественной мерой точности измерения в метрологии принята погрешность измерения [10]. По аналогии с понятиями из метрологии, логично использовать понятие "погрешность моделирования". Основной вопрос состоит в том, что принять за истинное значение моделируемой величины. Обычно таковым считают результат, полученный с помощью измерений на реальной системе [11]. На первый взгляд, такой подход вполне логичен и соответствует замене в метрологии истинного значения на действительное [10]. Обратимся, однако, к рис. 1. Если моделирование производится по измеренным параметрам модели (проведена её идентификация), то результаты измерения могут приближаться к истинным тем ближе, чем точнее использованные приборы. Если же используются паспортные данные, то результаты измерения на одном экземпляре могут быть весьма далеки от истинных значений при использовании сколь угодно точных приборов. В этом случае возможны только статистические оценки степени расхождения результатов моделирования и экспериментальных данных. В этом случае как нигде продуктивным является понятие "неопределённость измерения". В последнее время оно доминирует в зарубежной литературе, а в отечественной метрологии целесообразность его использования продолжает оставаться дискуссионным [10, 12].

В ряде случаев точность моделирования необходимо оценивать на стадии проектирования до изготовления устройств. Поэтому экспериментальные результаты для оценки адекватности моделирования недоступны. В этом случае возможно использование результатов моделирования на более точных моделях, принимаемых в качестве эталонных. Эти модели могут потребовать гораздо большего времени моделирования, а потому используются только в некоторых опорных точках. Если такие эталонные модели недоступны, то рекомендуется, по крайней мере, провести моделирование разными методами [10]. Близость полученных при этом результатов является косвенным подтверждением адекватности моделирования. В этой связи становится ясным целесообразность использования предварительных "ручных" расчётов до моделирования на ЭВМ, о чём говорилось выше. Используются и другие приёмы оценки адекватности [10]. Например, сходимость результатов моделирования к определённым числам при увеличении числа точек выборок. Соответствующие примеры буду приведены в разделе 2.2.

Количественной мерой точности измерения, как хорошо известно, является погрешность измерения. На практике используется и понятие "погрешность моделирования". Однако, если классификация и стандартизация терминов различных погрешностей измерения приводится как в научной [10], так и в учебной литературе (например, в [12]), то соответствующие работы в области моделирования развиты гораздо слабее. Попытаемся восполнить этот пробел, беря за основу устоявшуюся классификацию погрешностей измерения, которая, предположительно, хорошо известна читателю.

Точность моделирования – близость результата моделирования к истинному значению моделируемой величины.

Погрешность моделирования (ПМ) – разность между результатом моделирования и истинным значением моделируемой величины.

По месту возникновения погрешности моделирования могут быть разделены на ПМ из-за несовершенства модели, ПМ от погрешности расчёта, ПМ от погрешности отсчитывания. Последняя возникает в том случае, если результаты моделирования представляются в аналоговом виде, и обычно несущественна. ПМ из-за несовершенства модели возникает из-за погрешностей модели, но при этом не всегда равна ей, поскольку при различных условиях моделирования погрешность модели оказывает различное влияние на неё. Погрешности моделей подобны погрешностям средств измерений. Если рассматривается модель средства измерения, то погрешность его модели соответствует неточному расчёту его погрешностей. Вопрос о погрешностях моделей электронных устройств типа диода, транзистора и т.д. рассмотрен в [8]. Для экономии места на рис.2 аналогичные погрешности моделирования и модели приведены в одном прямоугольнике. Основные источники погрешностей модели: недостаточное количество параметров модели для адекватного описания реального процесса или объекта; параметры модели неточны, так как обычно являются результатами экспериментов; параметры модели выбраны некорректно. Погрешность расчёта возникает из-за несовершенства метода расчёта, из-за округлений при выполнении операций.

По способу выражения погрешность моделирования может быть представлена как абсолютная, относительная и приведённая. Абсолютная погрешность моделирования определяется как разность между результатом моделирования и истинным (или действительным) значением моделируемой величины. Относительная погрешность моделирования находиться как отношение абсолютной погрешности к истинному значению (в безразмерной форме, процентах, децибелах и т.д.). Допускается вместо истинного значения использовать действительное значение или даже результат моделирования, если относительная погрешность достаточно мала (например, менее 5%, что соответствует погрешности округления погрешности до двух значащих цифр). Приведённое значение погрешности моделирования равно отношению абсолютной погрешности моделирования к нормирующему значению моделируемой величины. Нормирующее значение моделирования ничем не отличается от нормирующего значения, задаваемого при введении норм на пределы допустимой погрешности измерения.

По характеру проявления ПМ могут быть разделены на систематическую, случайную и грубую погрешности. Систематическая погрешность моделирования – составляющая погрешности моделирования, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся. Систематические погрешности являются самыми типичными погрешностями моделирования. Случайная погрешность моделирования – составляющая погрешности моделирования, изменяющаяся случайным образом. Случайные погрешности могут возникать при некорректном выборе параметров модели, например, при некорректном задании шумов элементов. Грубая погрешность моделирования – погрешность моделирования, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Грубые погрешности могут возникать при неправильной установке параметров расчёта.

По зависимости от скорости изменения сигнала или его частоты погрешности моделирования могут быть разделены на статическую и динамическую. Статическая погрешность моделирования не меняется при изменении скорости или частоты входного сигнала. Динамическая погрешность моделирования возникает при изменении скорости или частоты входного сигнала. Динамическая погрешность моделирования может возникать, например, из-за применения в компьютере приближённых численных методов интегрирования.

Рис. 2. Классификация погрешностей моделирования

По зависимости от влияющих величин погрешности моделирования могут быть разделены на основную, дополнительную и ПМ в рабочих условиях. Влияющей величиной при моделировании может быть, например, число точек выборок для расчёта среднего квадратического отклонения (СКО) шума моделируемого устройства. Нормальные условиями расчёта СКО, в которых определяется основная погрешность моделирования, определяются тогда при таком числе точек выборок, когда соответствующая погрешность несущественна.

По степени зависимости от входного (выходного) сигнала погрешности моделирования могут быть разделены на аддитивную, мультипликативную и линейности. Аддитивная составляющая абсолютной погрешности моделирования не зависит от значения входного сигнала, а мультипликативная составляющая абсолютной погрешности пропорциональна величине входного сигнала. Аддитивная составляющая относительной погрешности моделирования обратно пропорциональна величине входного сигнала, а мультипликативная не зависит от него.

Различают теоретическую и законодательную метрологию [10]. Приведённые выше соображения по различным аспектам моделирования можно отнести к теоретической моделлогии (последний термин был предложен нами выше как предварительный, рабочий). Рассмотрим теперь состояние дел в области законодательной моделлогии. Работа в этой области начата недавно и ещё не получила достаточно широкого развития, особенно при моделировании измерительных устройств. Законодательно были указаны нормируемые метрологические характеристики средств измерений [3], которые позволили бы проводить оценку погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. В наших терминах наличие указанных характеристик и методик позволяло бы осуществлять моделирование погрешностей в узаконенном порядке. Хотя предложенные характеристики не были приняты в полном объёме, многие рекомендации из [3] и других стандартов используются при моделировании погрешности измерения и её доверительного интервала [12]. Оценка неопределённости измерения, о которой говорилось выше, представляет собой стандартизацию упрощенного моделирования точности измерения. Потенциально важным является стандартизация понятия верификации модели – проверки её соответствия определённым требованиям. Представление объективных данных о выполнении в результате моделирования заданных функций содержится в стандартизованном понятии "валидация". В [13] валидацию предложено на основании стандартизованных процедур переводить в оценки по шести бальной системе (отлично, очень хорошо, хорошо, удовлетворительно, плохо, очень плохо). Этот подход заслуживает, на наш взгляд, внимания, так как перекидывает мост от специалистов к потребителям.