Задачник по физике

12. ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

12.1. Средняя длина свободного пробега молекул азота при нормальных условиях λ1 = 8,6·10 6 м. Вычислить среднюю длину свободного пробега λ2 при температуре t = 0°С и давлении p2 = 0,001 мм рт. ст.

12.2. Воздух нагревается в открытой колбе от t1 = 7°С до t2 = 35°С. Найти среднюю длину свободного пробега его молекул λ2 после нагревания,

если до нагревания эта длина равнялась λ1 = 9,5·10 6 м.

12.3.В вакуумной технике называют вакуумом такое разрежение газа, при котором средняя длина свободного пробега молекул равна или больше линейных размеров того сосуда, в котором находится этот газ. Какому давлению соответствует такое состояние газа, если размеры сосуда = 20 см,

аэффективный диаметр молекул газа d = 3·10 8 см? Температура t = 0°С.

12.4.Вычислить среднее время свободного пробега τ молекул кислорода при давлении p = 2 мм рт. ст. и при температуре t = 27°С. Эффективный

диаметр молекул кислорода d = 2,9·10 8 см.

12.5. Сколько столкновений испытывает в среднем каждая молекула азота (N2) за одну секунду при нормальных условиях? Эффективный диаметр молекул азота d = 3,1·10 8 см.

12.6.Водяной пар диффундирует из пространства над широким сосудом

степлой водой, где его плотность ρ1 = 25 г/м3, в окружающий его объем воздуха. На расстоянии = 1 м пар конденсируется на холодном стекле, около

которого плотность насыщенного пара ρ2 = 7,5 г/м3. Принимая процесс диффузии пара в воздух установившимся и полагая, что среднее значение коэффициента диффузии D = 2,4·10 5 м2/с, вычислить, в течение какого времени на поверхности S = 1 дм2 стекла осаждается m = 0,2 мг влаги.

12.7. Поезд метро движется в тоннеле со скоростью = 60 км/ч. Найти силу трения на каждый квадратный метр крыши поезда. Сила трения возникает вследствие различия скоростей в слоях воздуха в направлении, перпендикулярном плоскости крыши, при отсутствии вихревых движений воздуха. Расстояние от крыши поезда до поверхности тоннеля = 1 м. Коэффициент внутреннего трения воздуха η = 1,8·10 5 кг/м·с.

Указание. Сила трения вычисляется по закону Ньютона для внутреннего трения. Градиент скорости можно оценить, если считать, что слой воздуха, примыкающий к крыше поезда, движется со скоростью , а слой примыкающий к потолку тоннеля, имеет скорость, равную нулю.

12.8. Над диском, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр инерции, подвешен второй такой же диск. Найти момент силы трения М, действующий на верхний диск, если нижний диск вращается с угловой скоростью . Известны радиусы дисков R, расстояние между дисками d, коэффициент вязкости воздуха .

- 41 -

12.9. Две плиты (одна железная толщиной d1 = 5 см и другая медная толщиной d2 = 10 см) положены друг на друга. Найти температуру в месте соприкосновения плит, если поддерживаются постоянными температуры наружных поверхностей: железной плиты t1 = 100°С, а медной t2 = 20°С. Коэффициенты теплопроводности железа и меди соответственно равны χ1 = 58,6 Вт/(м·К) и χ2 = 385 Вт/(м·К).

12.10. Коэффициент диффузии водорода (Н2) при нормальных условиях равен D = 1,31·10 4 м2/с. Чему равен при этих условиях коэффициент внутреннего трения водорода?

12.11.Коэффициент внутреннего трения кислорода (О2) при

нормальных условиях η = 1,87·10 5 кг/м·с. Найти среднюю длину свободного пробега молекул кислорода при этих условиях.

12.12.	Принимая коэффициент теплопроводности азота (N2) при	t =
0°С равным	χ = 0,13 Вт/(м·К), найти эффективный диаметр его молекул.

12.13. При температуре t1 = 0°С коэффициент внутреннего трения водорода η1 = 8,5·10 6 кг/м·с. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы его коэффициент внутреннего трения стал η2 = 19,2·10 6 кг/с·м?

12.14. Найти предельное значение давления, ниже которого теплопроводность газа, заключенного между стенками дьюаровского сосуда, начинает зависеть от давления. Расстояние между стенками = 5 мм. Эффективный диаметр молекул газа d = 3·10 8 см, температура газа t = 20°С.

13.УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

13.1.Найти давление массы т = 2,2 кг углекислого газа (СО2), занимающего при температуре t = 27°С объем V = 20 л из уравнения Ван-дер-

Ваальса (p) и уравнения Клапейрона-Менделеева (p'). Для углекислого газа в уравнении Ван-дер-Ваальса а = 0,36 Н·м4/моль2 и b = 4,3·10 5 м3/моль.

13.2. Во сколько раз поправка в уравнении Ван-дер-Ваальса на объем молекул больше эффективного объема молекул азота, если для него эта поправка равна b = 3,7·10 5 м3/моль? Эффективный диаметр молекул азота d = 3,1·10 8 см.

13.3.Найти постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для углекислого газа, если его критическое давление pкр = 7,4 МПа, а критическая температура Tкр = 304 К.

13.4.В уравнении Ван-дер-Ваальса для воды постоянная а = 5,6·10 4 Н·м4/моль2. Найти внутреннее давление воды.

-42 -

13.5. В уравнении Ван-дер-Ваальса для воды постоянная b = 3,0·10 5 м3/моль. Найти критическую плотность воды.

13.6. Считая постоянную уравнения Ван-дер-Ваальса для моля кислорода а = 0,14 Н·м4/моль2, вычислить работу сил взаимного притяжения молекул кислорода массой т = 1 г при увеличении его объема от V1 = 0,5 л до

V2 = 5 л.

13.7. В ампулу объемом Vамп = 3 см3 наливается эфир, его плотность ρ = 0,71 г/см3. Ампула запаивается и эфир нагревается до критической температуры tкр = 194°С. Какой первоначальный объем должен занимать в ампуле эфир, чтобы после нагревания он пришел в критическое состояние? Критическое давление эфира pкр = 35,5 атм.

m

Указание. Vкр 3b Vамп.

13.8. Получить выражение для работы А, совершаемой молем ван-дер- ваальсовского газа при изотермическом расширении от объема V1 до объема

V2.

13.9. Моль азота расширяется адиабатически в пустоту, в результате чего объем газа увеличивается от V1 = 1 л до V2 = 10 л. Определить

приращение температуры газа, если для азота постоянная а = 0,135 Н·м4/моль2.

13.10. Найти выражение для приращения энтропии моля ван-дер- ваальсовского газа (в переменных T и V).

- 43 -

ОТВЕТЫ:

1.1.2 , 2 , 0.

1.2.а) прямая линия, выходящая из начала координат, б) линия, все точки

которой лежат на сфере радиуса r.

(м/с); б)

1,73

м/с; в) 1,57 м/с.

1.3. а) 1i 1j 1k

2

2

2

1.4. Траектория – четверть окружности;

i

j ;

0,90 .

(м/с2); б)

6м/с2.

2

1 9t2 (м/с)

a

1.5. а) 6ti 2j (м/с), a 6i

1.6. Траектория y = C (см. рис. 1.6), x B, y

0.

Y

С

X

Рис. 1.6

1.7. Траектория см. рис. 1.7, x B 2Аt , y 0; ax 2A, ay 0,

B2 S 2xmax 2A.

Y

С

X

хma

Рис. 1.7

1.8. Траектория – парабола (см. рис. 1.8), x B 2Аt , y D,

B 2Аt 2 D2

ax 2A, ay 0.

Y

BD/2

X

хma

Рис. 1.8

1.9. Траектория – окружность радиуса R: x2+y2 = R2, R, a 2R 2 / R.

1.10.t2 2 11м ,a 2t 6 м .

сс2

1.11.t 0 02 2gh g 3,4c, 02 2gh 19,9м/с.

- 44 -

1.12. t 0 / g /2 2,5с, H 02 g 2 18,7м.

2g 8

1.13. a 2 / 1 2 0,3м/с2 , 0 1 2 / 1 2 0,45м/с. 1.14. S 0,5 t02 .

1.15. а) s 0 1 exp bt ; б) 0 exp bt . b

1.16. x cx, 6м/с при х = 3 м. 1.17. x 0t 25t , y H gt2 /2 25 5t2 ,

y gx2 /2 02 H 8 10 3 x2 25,

tп		2H / g 2,2c, L 0tп 55м.
1.18. 1)	x 0 cos t, y 0 sin t gt2 /2;
2)	y		gx2	xtg ;
			2 0 cos 2
3)	tп 2 0 sin / g;			4) 0 cos 2 / g .

	1.19. L 1/c, 45 .			gx2
	1.20. x 0 cos t, y H 0 sin t gt2 /2,	y			xtg +H;
			2 0	cos 2

L0 cos tп , где tп 0 sin 02 sin2 2gh g

1.21.H 1 S , h S 1 gS .

2 2 2 2

1.22. R		2 2 cos2	1					2
		1		5,9 м, angcos		2 8,5		м/с	,
		gcos 2
			4,9 м/с2.
a	gsin 2					1
1.23. 1 2 /2 1,6об/с, R							0,3м.
				1 2

1.24.2 / 800м/с.

1.25.0 B 2 рад/с, (t1) B+3C t12 10 рад/с,(t1) 6 C t1 12 рад/с2.

2.1.	= 0		Q
	N	Q
T	N
mg	mg	mg	mg
	mg

- 45 -

2.2.F 2mc j

2.3.F ma i 2mbt j , 0.

2.4.F m 2a.

2.5.N mg m 2gh / 158H

2.6. F		3		m 2	9 103 Н.
				d
ср	8

2.7. F 2S 10Н.

2.8. F 2 Shg 2mg, где m масса струи водопада.

2.9. M N . g 2 /

2.10. 1ctg .

2

2.11. а) a

F

10

м

T F 10 Н;

m

с2

m0m

б) a

m0g

0,9

м

, T

g 9 Н.

m m

с2

m m

0

0

2.12. T

F1m2

F2m1

38Н, T

F1m1

F2m2

43Н.

1

m1

m2

2

m1

m2

2.13.F F1 L F2 / L.

2.14.F T m1 m2 m3 90Н. m1 m2

2.15.F1 m g a 670 Н, F2 m g a 700Н.

2.16.F m g a 60 Н.

2.17.m 2m1m2 99кг.

m1 m2

2.18. Fтр

m	mg	0 arctg .
	/2

м

2.19. a1 g sin 1 cos 4,3 с2 ; a2 0.

2.20. F	mg	3 102 Н.

cos sin

2.21. Покой: Fтр сt; скольжение Fтр mg . 2.22. t mg/b cos sin 167 c.

2.23.	mg2		cos		.
	2b		sin2

- 46 -

2.24. a

g m2 m1 sin

8,0

м

, T

m1m2g 1 sin

1,8Н.

с2

m m

2

m m

1

1

2

2.25. a

m2 m1 sin cos

7,9

м

, T m

g a 1,9 Н.

с2

m m

2

2

1

2.26.T m1m2g sin 1 sin 2 25Н. m1 m2

2.27.m F cos sin / g sin cos .

2.28.а g cos sin / cos sin .

2.29.Fmin m2g 1 m2 /m1 .

2.30. При t t		a a			bt		; при t t		a		m2	g, a			at m2g	;
	0	1	2		m m	2		0	1		m		2		m
					1					1				2

где t0 g m2 m1 m2 . bm1

2.31.Fmax /mg 6.

2.32.x F .

2k

2.33. F .

2k

2.34.k

m m

2g2

.

min

1

2

2

2.35. T

2m1m2g

10,25Н,

a

2

m2

m1

g 0,47 м/с2.

m m

2

m m

2

1

1

2.36. a

2 2m1

m2 g

, a

2

a1

, T

3m1m2

g .

1

4m1

m2

2

4m1 m2

8m1m2

м

4m m

m m

m m

0,6 с2 .

2.37. a3 g 1

2

1

1

3

2

3

2.38. a

m2 m1 2

g

9,8 10 4

м

.

m2 m1 2

с2

a

2.39. 1) 0, T mg;2)

arctg

, T m

a2

g2

.

g

2.40. a

mgsin cos

.

m msin2

1

1

2.41. x t

m

0

1 exp

t

.

m

x

2.42. x t

0

b

b

exp

t exp

t .

2

m

m

- 47 -

	mg
2.43.		1 exp			t .
				m

2.44. Т2 T1 exp .

2.45. a	m1	m2 exp	g при m		m	2	exp .
	m1	m2 exp		1

3.1.gR 7,9 км .

с

3.2.T 2 R/g 5030c.

3.3.T 3 /G 6850 с.

3.4.T 2 L3 /GM .

3.5.

1

g

0,36c-1, F

g /4 0,12H.

2

1

R

тр.покоя

3.6. R k 0T2 / kT2

4 2m ,

.

k /m

3.7. R R0 /1 m 2

/4 2k .

3.8.

а) Tкр mgcos ; Tср

mg 3 2cos ;

2

1

б) 1 = 60°; в) tg

; 2 = 53°.

2

2

3.9. min

, min

.

5g

4g

3.10. = 54,7 .

3.11.

3,2с-1.

g h

3.12. =

= 3,4 c-1.

g a /h

3.13. max

14

м

; tg ; α = 22°

gR

с

gR

3.14.

min

g R d cos 0

16

м

;

0

arctg 22

;

arctg

15 .

с

1

v2

1

3.15.arctg 4 2 2r / g 38 .

3.16.H 5 R.

2

3.17.N1 6mg , N2 N4 3mg , N3 0.

3.18.h 2 R 20см.

3	m 2												m 2 4 3k
4.1. а) I			б) I V	2		1			1	k
		;																	.
	3					3			4
			0											3 4 2k
4.2. а) I	m 2	;	б) не изменится;						в)		I			m 2		sin2 .
	12												12

- 48 -

4.3. I m 2 m1 m2 2 .

124

4.4.I mR2 .

4

4.5. а) I mb2 ; б) I m a2 b2 .

1212

4.6.I m a2 b2 .

12

4.7.I 3 mR2 .

10

4.8.I 2 mR2.

3

4.9.I 8 R5 R15

15

4.10. a					g m m													м				4m m 2m m m m2
							1			2			3,6						; N			1	2	1 2	g 9,4Н.
				m m m														с2					m m m
							1			2													1	2
4.11.					g m1R1					m2R2					16с-2 ;							T m g R 2,0Н;
		I m R2 m R2																			1		1	1
							1		1				2	2
T2 m2 g R2 2,3Н.
4.12. t	mR2								250с.
					Fr
										4m R2
4.13. T						mg I			0									55Н;			a g T /m
													1
					I	2	4m R2 mr2
										1							mg
4.14. a				2		g 6,5					м		; T							20 Н.
											с2
	3																	3

2м

4.15.a 3 gsin 3,3 с2 .

4.16.0R .

g

4.17. M				2			mgR,					3		0R			.
				3							4			g
			2												12			2
4.18.								0		0,19c, S									0		0,33м.
			7			g									49 g
			1						R						1					2R2
4.19.								0			0,5c, S									0		0,25м.
			3			g									18
																				g

- 49 -

4.20.

mgr sin cos

t.

mr2 I

4.21. a

m1

m2 sin

g.

1

m

3

m

1

2

2

4.22. a

2m1

m2 sin

g 6,86м/с2 , T

m1m2

1 sin g .

1

m2 2m1

2m1 m2

4.23. T

mg

2,5Н;

g

98с-2 .

2

r

m I / R2

а) I m R2

F

m m

g

4.24. F

m

g

1

,

/2,

1 2

;

тр

2

m 4m

2

I / R2

1

тр

3m 8m

2

1

1

б) I m R2

, F 0.

m1 R r 2

1

тр

4.25. а) a

g 2,8м/с2;

m R r 2 mR2

I

1

1

б) a

m1 R r 2

g 7,7м/с2 .

m

1

R r 2

mR2 I

1

4.26. a

F Rcos

. При

Rcos r катушка катится в направлении силы

m

1 R

F, в противном случае – обратно.

4.27. a

mgr rsin R r cos

5,8м/с2,

arctg

R r

.

I mr2

r

4.28. a

mgr rsin R r cos

6,6м/с2 ,

arctg

R r

.

I mr2

r

5.1. p1 m

0,5кг м/с;

p2

2m

1кг м/с.

2gh

2gh

5.2. p1

m 14кг м/с;

p2

2m 20кг м/с; p3

0.

2

2m

5.3.

m

6,4кг м/с.

π

p m горизонт. m 0

mgτ/2.

5.4. а) p mgτ; б)

5.5.

p 2m 0 sinα 100кг м/с;

р

направлен

вертикально вниз;

tп р/mg 2 0 sinα/ g 2c.

5.6. u m1 1 2 m2 2 2 m1 m2 ,

угол между 1 и u α arctg m2 2 /m1 1 .

														h		g
				h			g		2		м
		4	2							250		; arctg	2					38
5.7. 2																				.
							2				с
															2

- 50 -