Matematichesky_analiz

Математический анализ

Вопросы к экзамену.

Дифференциальное исчисление функций

вида

1. Определение производной функции в точке. Ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали.

2. Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и существованием производной.

3. Правила вычисления производной от суммы, разности, произведения, частного функций.

4. Производная сложной функции.

5. Дифференцируемые функции. Теорема о связи дифференцируемости с существованием производной.

6. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала.

7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

8. Производная обратной функции, параметрический заданной, неявной. Логарифмическая производная.

9. Таблица производных.

10. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу.

11. Правила Лопиталя. Сведение неопределенностей вида [00-00], [0 • 00], [0°], [00⁰], [1⁰⁰] к неопределенностям

[ 0] и [00]

[ 0] [00]

12. Признак монотонности функции на промежутке.

13. Необходимое условие экстремума функции в точке. Достаточные условия.

14. Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости.

15. Асимптоты функции.

16. Общая схема исследования функции.

17. Понятие функции двух и нескольких переменных. График, линии и поверхности уровня.

18. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

19. Частные производные первого и высших порядков. Частные дифференциалы, полный дифференциал. Второй дифференциал.

20. Градиент функции нескольких переменных, его геометрический смысл. Производная по направлению.

21. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Интегралы. Ряды. Дифференциальные уравнения.

1. Понятие первообразной функции. Теорема об общем виде первообразной.

2. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица интегралов.

3. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Приемы интегрирования: методы подстановки и подведения под знак дифференциала.

4. Интегрирование по частям.

5. Интегрирование рациональных дробей.

6. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Достаточное условие интегрируемости. Основные свойства определенного интеграла.

7. Теоремы об интегрировании неравенств.

8. Теоремы о среднем в интегральном исчислении.

9. Интеграл с переменным верхним пределом и его производная. Формула Ньютона-Лейбница.

10. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

11. Несобственный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур.

12. Понятие числового ряда и его сходимости. Геометрический ряд. Необходимое условие сходимости числового ряда.

13. Арифметические свойства сходящихся рядов. Теорема о сходимости остатка ряда.

14. Признаки сходимости положительных рядов (сравнения, Даламбера, Коши, интегральный).

15. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

16. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

17. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

18. Ряд Маклорена. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.

19. Дифференциальное уравнение первого порядка. Общее и частное решение.

20. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.

21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и метод их решения.

22. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.