Пример выполнения типового расчета по теме Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти неопределенные интегралы.

А) ; Б); В).

Решение. При нахождении данных интегралов используем формулу .

А)

Б)

В)

Пример 2. Найти .

Решение. Пусть . Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

.

Пример 3. Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей: А) ; Б).

Решение. А)

.

Б) Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

.

Отсюда следует

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В и С используем метод отдельных значений аргумента.

Положим , тогда, т.е.;

положим , тогда, так как, то;

положим , тогда, так каки, то. Следовательно,

.

Поэтому

Пример 4. Найти .

Решение.

Пример 5. Найти .

Решение. Положим . Отсюда.

Следовательно,

Пример 6 . Найти .

Решение.

Пример 7. Найти .

Решение. Положим ,. Тогда

Пример выполнения типового расчета по теме Определенный интеграл

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке и

,

где - какая-нибудь первообразная дляна отрезке. Указанная формула называется формулой Ньютона-Лейбница. При нахождении первообразной используются те же методы интегрирования как и для неопределенных интегралов.

Следовательно,

Пример 2. Найти .

Решение. Здесь подынтегральная функция непрерывна на

всей оси Ox.

Поэтому (по определению) .

Вычислив интеграл , найдем

.

Следовательно,

.

(По правилу Лопиталя .)

Таким образом, интеграл существует (сходится) и равен единице.

Пример 3. Найти .

Решение. Здесь подынтегральная функция обращается в бесконечность между пределами интегрирования (при).

Следовательно (по определению),

,

где  и  принимают положительные значения. Эти пределы не существуют (как обычно говорят, «равны »).

Таким образом, интеграл не существует (расходится).

Пример 4. Исследовать, сходится ли интеграл

.

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x=0. Очевидно, что при x0

.

Так как несобственный интеграл

,

т.е. сходится, то сходится и исходный интеграл.

Пример 5. Треугольная пластинка с основанием a=3 м и высотой H=2 м погружена вертикально вершиной вниз в жидкость так, что основание параллельно поверхности жидкости и находится на расстоянии d=1 м от поверхности. Плотность жидкости =0,9 т/м³. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки.

Решение. Для определения силы давления жидкости воспользуемся законом Паскаля, согласно которому давление p жидкости на площадку S, погруженную на глубину h:

,

где  - плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

Рис. 1.

Прямыми, параллельными поверхностями жидкости, разобьем треугольник на элементарные полоски шириной dy (рис. 1), отстоящие от поверхности жидкости на расстояние y+d. Из подобия треугольников ABC и A₁B₁C₁ имеем:

,

т.е. площадь вырезанной полоски

,

а давление на каждую из сторон полоски треугольной пластины

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем

.