- •Введение.
- •1.1 Случайные величины и методы их описания
- •1.1.1 Определение случайной величины и ее описание
- •1.1.2 Статистические характеристики случайных величин
- •1.1.3 Гауссовские случайные величины и их характеристики
- •1.1.4 Различные типы случайных величин
- •1.1.5. Задачи к разделу 1.1
- •1.1.6 Вопросы к разделу 1.1
- •1.2 Случайные векторы и методы их описания
- •1.2.1 Определение случайного вектора и его описание
- •1.2.2 Статистические характеристики случайных векторов
- •Определение
- •1.2.3 Гауссовские случайные векторы и их характеристики
- •1.2.4 Среднеквадратический эллипс ошибок, круговая вероятная ошибка.
- •1.2.5. Задачи к разделу 1.2
- •1.2.6 Вопросы к разделу 1.2
- •1.3 Преобразование случайных величин и векторов
- •1.3.1 Функции случайных величин
- •1.3.2 Функции случайных векторов
- •1.3.3 Линейные преобразования случайных векторов.
- •1.3.4 Определение статистических свойств длины проекции случайного двумерного вектора на заданное направление
- •1.3.5 Ортогонализация случайных величин. Связь матрицы ковариаций и среднеквадратического эллипса
- •1.3.6. Задачи к разделу 1.3
- •1.3.7 Вопросы к разделу 1.3
- •1.4 Условная плотность распределения вероятностей
- •1.4.1. Формулы Байеса. Условные математическое ожидание и матрица ковариаций
- •1.4.2 Правила нахождения параметров условной гауссовской плотности
- •1.4.3 Примеры нахождения параметров условной гауссовской плотности
- •1.4.4 Задача регрессии.
- •1.4.5 Задачи к разделу 1.4
- •1.4.6 Вопросы к разделу 1.4
- •1.5 Моделирование случайных величин и векторов и вычисление их выборочных характеристик.
- •1.5.1. Псевдослучайные последовательности, датчики случайных чисел
- •1.5.2 Метод Монте-Карло.
- •1.5.3 Выборочные статистические характеристики
- •1.5.4 Гистограмма
- •1.5.5 Моделирование случайных величин в Matlab
- •1.5.7 Вопросы к разделу 1.5
- •1.6 Задание для моделирования с использованием Matlab.
- •1.7 Заключение.
21
Введение.
Цель настоящей главы - дать краткое изложение элементов теории вероятностей в объеме, необходимом при изучении теории оценивания. Рассматриваемые по ходу представления материала примеры и задачи ориентированы на навигационные приложения.
Втеории вероятностей ключевыми являются понятие случайной величины и случайного вектора, а также используемые для описания их свойств функции и характеристики. Наиболее полное описание этих свойств может быть проведено с привлечением понятия функции плотности распределения и (или) функции распределения вероятностей.
Вместе с тем при решении широкого круга прикладных задач нередко удается ограничиться информацией лишь о первых двух моментах в виде математического ожидания и матрицы ковариаций, являющейся обобщением понятия дисперсии для векторного случая. Это обусловлено в частности, тем, что большинство алгоритмов обработки носит линейный характер по отношению к входным данным. Как следствие имеется возможность вычисления первых двух моментов для преобразованных величин и векторов с использованием только первых двух моментов для входных данных.
При построении изучаемых в дальнейшем алгоритмов оценивания важной является задача описания одного случайного вектора при фиксированном значении другого статистически связанного с ним вектора, так называемая задача регрессии. Приближенное ее решение, часто и достаточно эффективно применяемое на практике, также сводится к линейным преобразованиям. Таким образом, и здесь также можно обойтись информацией только о первых двух моментах. Отмеченные обстоятельства в первом приближении позволяют в какойто степени «забыть» о том, что математическое ожидание вводится с использованием ф.п.р.в. Оправданием этому также может служить тот факт, что при наличии экспериментальных данных известны простые, не требующие привлечения понятия ф.п.р.в. алгоритмы, по которым могут быть получены так называемые выборочные значения моментов случайных векторов и величин, в том числе и математических ожиданий и матриц ковариаций.
Втех же случаях, когда необходимо найти наиболее полное описание статистических свойств преобразованных величин в виде функции плотности распределения и функции распределения вероятностей, очевидно, что их знание требуется и для входных данных. Более того, эти функции необходимы даже при попытке найти только первые два момента для данных, полученных в результате нелинейных преобразований. При строгом решении задачи регрессии в общем случае также необходимо располагать наиболее полной априорной статистической информацией в виде совместной ф.п.р.в. случайных векторов. И здесь весьма важным является понятие условной или апостериорной ф.п.р.в., с помощью которой полностью описываются свойства одного случайного вектора при фиксированном значении другого вектора.
22
Отмеченные обстоятельства и принимаются во внимание при изложении в дальнейшем последующего материала, предполагающего два уровня его изучения. В одном из них акцент делается на усвоение методов описания случайных величин и векторов с помощью двух первых моментов, когда предполагается линейный характер преобразований. Здесь достаточно ограничиться изучением подразделов 1.1, 1.2, 1.3.3, 13.4 и 1.5. Второй – предназначен для более углубленного изучения, при котором используются ф.п.р.в. и нелинейных преобразований, и здесь дополнительно требуется усвоение всего подраздела 1.3 и подраздела 1.4.