Senikov_POE 3к

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2008

Составитель: Я.А. Щеников Рецензенты:

–генеральный директор ООО «Пантес» – Коршунов Г.И.,

–генеральный директор ООО НПФ «Торэкс» – Бруснецов К.А.

Вметодическом пособии формируются цели и задачи дисциплины «Планирование и организация эксперимента». Приводятся теоретические сведения, примеры построения планов экспериментов, рекомендуемая литература.

Пособие предназначено для студентов специальностей 220501 «Управление качеством», 220601 «Управление инновациями», 190800 «Метрология и метрологическое обеспечение», направления 220600 «Инноватика».

Подготовлено кафедрой инноватики и управления качеством и рекомендованы редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Редактор А.В. Семенчук

Компьютерная верстка Н.С. Степановой

Подписано к печати 27.04.06. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,53. Уч.-изд.л. 4,7. Тираж 100 экз. Заказ №226

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки

Отдел оперативной полиграфии ГУАП

190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2008

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Необходимость в проведении эксперимента обычно связана с решением научных или производственных задач: оптимизация качества материалов, отыскание оптимальных условий проведения процессов, нахождение математических моделей процессов, разработка наиболее рациональных конструкций оборудования и т.д.

Многие современные системы являются сложными и не поддаются теоретическому изучению в заданные сроки. В таком случае целесообразно использовать теорию планирования и организации эксперимента.

До середины XX века использовались пассивные методы исследований, основанные на поочередном варьировании отдельных независимых переменных – факторов. Резкое увеличение сложности технических и производственных систем привело к невозможности дальнейшего применения таких методов ввиду больших затрат времени и средств. На замену им пришли методы активного эксперимента, позволяющие проводить экономичные эксперименты, обеспечивающие принятие решений, близких к оптимальным. В противовес широко распространенному однофакторному эксперименту была показана целесообразность одновременного варьирования всеми факторами.

Практически одновременно возникло направление, связанное с оптимизацией процессов – планирование экстремального эксперимента. Суть его заключается в проведении последовательных небольших серий опытов таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей серии можно было выбрать условия проведения следующей серии и таким образом постепенно достигнуть области оптимума.

Применение теории планирования эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности труда и надежности полученных результатов. Важно, что теория является универсальной, пригодной во многих областях человеческой деятельности.

3

1. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА КАК РАЗДЕЛ ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА

1.1. Термины и определения теории планирования эксперимента

Эксперимент – целенаправленное воздействие на объект исследования с целью получения достоверной информации.

Эксперимент – совокупность действий, направленных на выявление свойств изучаемого объекта или его математической модели.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Математическая теория планирования эксперимента – наука о способах:

составления экономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте;

проведения эксперимента;

обработки экспериментальных данных;

использования полученных результатов для оптимизации исследуемых объектов. Опыт – простейшее действие, из которых складывается эксперимент. Объект исследования – для его описания удобно использовать понятие «чер-

ного ящика» (рис.1.1). Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования - параметры оптимизации. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия называются факторами (входы «черного ящика»).

Фактор1	Параметр оптимизации 1
Фактор2	Параметр оптимизации 2
	Объект исследования
	(”черный ящик”)
Факторk	Параметр оптимизации m

Рис.1.1. Факторы, объект исследования, параметры оптимизации

Модель - это упрощенная система, отражающая отдельные стороны явлений изучаемого объекта. Каждый изучаемый процесс или объект можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать это абсолютно полно и всесторонне. Планирование эксперимента напрямую связано с разработкой и исследованием математической модели объекта исследования (см. рис.1.2).

Главное требование к модели – достаточно точное (адекватное) описание объекта.

4

Фактор1	Параметр оптимизации 1
Фактор2	Параметр оптимизации 2
	Математическая
	модель
Факторk	Параметр оптимизации m

Рис.1.2. Факторы, математическая модель объекта исследования, параметры оптимизации

Параметр оптимизации (другие названия: отклик, зависимая переменная, критерий оптимизации, целевая функция, выход «черного ящика» и т.д.) – количе-

ственная характеристика цели эксперимента. Параметр оптимизации является откликом на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы.

Фактор (другие названия: независимая переменная, регрессор) – измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение (уровень) и влияющая на объект исследования и, как следствие, на параметр оптимизации [1,4].

1.2. Классификация экспериментов

Многие научные исследования тесно связаны с экспериментами, которые могут быть:

Физическими. Проводятся непосредственно на объекте исследования: лабораторная установка, промышленное оборудование.

Психологическими. Объект исследования – поведение живых существ: экспериментальная группа людей, лабораторные животные.

Модельными. Проводятся на модели объекта исследования: например, исследование ядерных реакций путем их моделирования на суперЭВМ.

Научные эксперименты характеризуются небольшим числом рассматриваемых факторов и, как правило, ориентированы на получение математической модели.

Промышленные эксперименты, наоборот, характеризуются большим числом факторов и направлены на выявление наиболее значимых для процесса факторов или на поиск оптимальной области.

Активный эксперимент – эксперимент, при котором происходит активное вмешательство в его ход путем принудительной установки в опытах нужных значений факторов. Подобные эксперименты чаще проводятся в научных исследованиях.

5

Позволяют заметно уменьшить количество опытов, требуемое для получения математической модели.

Пассивный эксперимент – эксперимент, при котором проводятся только наблюдение значений факторов и регистрация соответствующих этим значениям уровней параметра оптимизации. Используется, как правило, на производстве для поиска оптимальных условий, если вмешательство в технологический процесс может привести к значительным материальным потерям.

Экстремальный эксперимент. Одним из важнейших применений теории планирования эксперимента является определение уравнения связи выходного параметра качества изделия с параметрами этого изделия или технологического процесса – факторами, что необходимо для нахождения оптимальных условия его реализации. Процесс их решения называется процессом оптимизации.

Таким образом, эксперименты используются для: поиска оптимальных условий – задача оптимизации, робастного проектирования, построения интерполяционных формул, выбора существенных факторов, оценки и уточнение констант теоретических моделей, выбора наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследования диаграмм состав – свойство и т.д.

1.3. Основные требования к эксперименту

Управляемость. Процедура планирования эксперимента подразумевает активное вмешательство в работу объекта исследования. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. На практике, в процессе эксперимента, на объект воздействуют как управляемые, так и неуправляемые факторы

– т.н. «шум» эксперимента.

Воспроизводимость. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если повторить некоторые опыты через неравные промежутки времени и сравнить результаты измерений, то разброс их значений характеризует воспроизводимость эксперимента. Если разброс не превышает некоторой заданной величины, то эксперимент удовлетворяет требованию воспроизводимости.

Если хотя бы одно из основных требований не соблюдается, приходится переходить к другим методам исследования.

1.4. Другие требования к эксперименту

Еще одним важнейшим требованием к эксперименту является получение максимума полезной информации об исследуемом объекте при минимально возможном числе опытов. На практике полностью удовлетворить это требование не удается изза наличия ограничения на число опытов N:

6

С=f(N), T=f(N), N=f(k,p),

где: С – стоимость проведения эксперимента, T – время проведения эксперимента, k – количество рассматриваемых факторов, p – количество значений, которое принимает фактор в эксперименте – уровней.

Очевидно, что имеет место противоречие: требование получения максимума полезной информации влечет за собой рост материальных и временных затрат. Разрешить это противоречие возможно только при условии внимательного подхода к подготовке и организации проведения эксперимента. Эффективный эксперимент должен удовлетворять следующим требованиям:

минимум общего числа опытов, но не в ущерб точности получаемой модели;

одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – план эксперимента;

использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

наличие четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов, а также в случае их неудачи.

1.5. Основные этапы подготовки измерительного эксперимента

Любое экспериментальное исследование содержит три этапа:

постановка задачи,

планирование и проведение эксперимента,

анализ и интерпретация результатов.

Обоснование цели эксперимента. Эксперименты, направленные на нахождение математической модели, могут преследовать следующие цели: минимизация расхода материалов при сохранении качества; замена дорогостоящих или дефицитных материалов на более дешевые и распространенные; сокращение времени обработки; перевод режимов в некритические зоны, снижение трудоемкости; улучшение надежности, количества, однородности продукции; увеличение надежности и быстродействия управления; увеличение эффективности контроля качества; создание условий для автоматизации процесса управления. Эксперименты, направленные на решение задачи оптимизации могут преследовать следующие цели: выбор оптимального состава многокомпонентных смесей и сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на получение продукции, робастное проектирование процессов.

Выбор предварительной модели объекта исследования. Привлекается вся имеющаяся в распоряжении информация: литература, отчеты о НИР, опыт специалистов. Возможно проведение предварительных измерений для уточнения модели и выбора средства измерения, не реагирующего на мешающие факторы.

Обоснование необходимой точности эксперимента. Учитываются цель экс-

перимента и ряд ограничений: технические возможности, материальные и времен-

7

ные затраты и т.п. Принимается вариант, в наибольшей степени удовлетворяющий требованиям удобства, простоты при соблюдении необходимой точности.

Разработка методики проведения эксперимента. Совокупность действий с использованием различных способов и измерительных, вычислительных, вспомогательных средств, обеспечивающих измерения с необходимой точностью:

выбор вида измерений: прямые, косвенные, совместные или совокупные,

выбор метода измерений: непосредственной оценки, сравнения с мерой и т.д.,

выбор одноили многократных измерений.

Врезультате данного этапа подготовки эксперимента разрабатываются: схема измерений, план проведения эксперимента, методика обработки результатов измерений, методика оценки погрешности полученного результата измерения.

1.6. Выбор средств измерения

Используемые в эксперименте средства измерений должны соответствовать принятым моделям, измеряемым величинам, целям и условиям проведения эксперимента. Каждый из вариантов прорабатывается на соответствие метрологических характеристик используемого средства измерения установленным требованиям по точности и их влиянию на результаты измерений. Среди факторов, учитываемых при выборе средств измерения следующие:

Воздействие средства измерений на объект исследования. Имеет место, когда отсутствует согласование между ними по мощности. Например, при измерении температуры маленького объекта массивным термометром возможна погрешность из-за дополнительного охлаждения объекта термометром. Мера борьбы: чем меньше мощность, потребляемая средством измерений от объекта (или выделяемая на объекте), тем меньше погрешность измерения.

Неадекватность принятой модели объекта измерения. Имеет место, когда показания средств измерений зависят от неинформативных параметров принятой модели измеряемой величины. Например: влияние на результат измерения отклонений формы кривой сигнала от синусоидальной. Мера борьбы: из возможных вариантов средств измерений использовать такой, который не реагирует на форму кривой сигнала, либо использовать для коррекции измеренных значений коэффициент формы.

Погрешности средств измерения. Точностные свойства данного экземпляра средства измерения. Меры борьбы: введение поправок, исключающих систематические погрешности, учет влияние внешних факторов, выбор предела измерений ближе к верхнему пределу, где у многих средств измерений погрешность минимальна.

Частотный диапазон выбираемых средств измерения. С одной стороны, дол-

жен быть шире частотного спектра входных сигналов, чтобы обеспечивать их неискаженное прохождение. С другой стороны, расширение частотного диапазона увеличивает вероятность прохождения помехи, следовательно, диапазон выбираемых средств измерений должен быть как можно более узким, но без ущерба для прохождения сигнала.

Другие критерии выбора средств измерения. Например, требования к быстро-

действию, к конструкции и т.п.

8

2. ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ

Выбор функции отклика (параметра оптимизации, критерия оптимизации) – важный этап работы на стадии предварительного изучения объекта исследования, т.к. правильная постановка задачи зависит от правильности выбора параметра оптимизации, являющегося функцией цели. Объект исследования может характеризоваться одним или несколькими параметрами оптимизации [1,4].

2.1. Требования, предъявляемые к параметру оптимизации

Параметр оптимизации должен:

измеряться при любой комбинации режимов технологического процесса;

задаваться числом, т.е. быть количественным (для перевода качественных факторов в количественные используются соответствующие шкалы);

выражаться одним числом, соотношений типа А:В=3:2 лучше избегать;

быть статистически эффективным, то есть измеряться с наибольшей точностью;

быть информационным, то есть всесторонне характеризовать технологический процесс;

иметь физический смысл, то есть должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса;

быть однозначным, то есть должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия;

быть однозначным в статистическом смысле (заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации, при этом обратное неверно);

должен быть универсален или полон, в частности, технологические параметры недостаточно универсальны – они не учитывают экономику;

желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым.

2.2. Задачи с несколькими параметрами оптимизации

На практике чаще всего имеется несколько параметров оптимизации, например: физические, технологические, экономические, эстетические, эргономические и др. Как правило, улучшение одного параметра ведет к ухудшению другого. Для решения данной проблемы возможны следующие варианты действий:

использование одного, наиболее важного, параметра оптимизации – другие параметры оптимизации будут служить ограничениями;

использование обобщенного параметра оптимизации, который включает в себя ряд частных параметров оптимизации: типичный пример – известное соотношение «цена/качество».

9

Для уменьшения числа частных параметров оптимизации можно использовать корреляционный анализ. Для этого между всевозможными парами параметров необходимо вычислить коэффициент парной корреляции. При высокой значимости коэффициента корреляции (близок к +1 или -1) любой из двух анализируемых параметров можно исключить из рассмотрения. Исключить можно тот параметр, который труднее измерить, или тот, физический смысл которого менее ясен. Следует помнить, что коэффициент парной корреляции имеет четкий математический смысл только при линейной зависимости между параметрами и в случае их нормального распределения.

2.3. Обобщенный параметр оптимизации

Обобщение частных параметров оптимизации в единый количественный признак связано с двумя проблемами:

проблема несогласованности размерностей частных параметров оптимизации

–решается введением для каждого частного параметра оптимизации некоторой однотипной безразмерной шкалы.

проблема выбора правила комбинирования исходных частных откликов в обобщенный показатель.

2.4. Простейшие способы построения обобщенного отклика

Способ 1. Перемножение частных параметров оптимизации.

n

Yi n yui , u 1

n

где Yi – обобщенный отклик в i-ом опыте; yui - произведение частных от-

u 1

кликов y1i, y2i,…,yni.

Для каждого частного параметра оптимизации введена простейшая шкала: 0 – брак, 1 – годный продукт. Если хотя бы один из частных откликов обратился в 0, то и обобщенный отклик будет нулем.

Недостатки этого способа: грубость и жесткость.

Способ 2. Суммирование частных откликов с учетом их веса.

Yi = N au yuiy yu0 2 ,

i 1 u0

N

где au =1и аu > 0.

u=1

10