Примеры решения типовых задач

Пример 1.3. Частично гидрофильное твердое тело (  0) кубической формы плавает на плоской поверхности вода – воздух таким образом, что периметр смачивания проходит по ребрам верхней грани куба, как показано на рис.1.3. Такой случай плавания твердого тела называется мокрой флотацией. Максимальный размер плавающей частицы (длина ребра куба d) при прохождении периметра смачивания по ребрам куба, которые можно уподобить криволинейной поверхности с очень малым радиусом кривизны, отвечает следующему условию: угол, образованный касательной к поверхности вода – воздух и горизонтальной плоскостью, измеренный через водную фазу, должен достичь своего максимального значения, равного краевому углу смачивания .

Рис.1.3. Условие плавания гидрофильного твердого тела кубической формы

на плоской поверхности вода – воздух (мокрая флотация)

Поверхностное натяжение _гж = 73  10^3 н/м; плотность воды _ж = 1  10³ кг/м³; плотность твердого _т = 7  10³ кг/м³; краевой угол смачивания  = 45; гидростатическим давлением слоя воды высотой h на нижнюю грань твердого можно пренебречь.

Определить длину ребра куба d в миллиметрах.

Решение. Максимальный размер плавающей твердой границы находят из условия равновесия всех сил, действующих на частицу, по направлению ее отрыва от плоской поверхности вода – воздух, т.е. по вертикали.

На частицу по направлению отрыва действуют следующие силы (проекции сил):

 сила тяжести частицы Р_т = Vg_т = d ³  9,81  7  10³ = = 68,67  10³d ³ н, где V = d ³ – объем частицы;

 сила гидростатического давления на нижнюю грань частицы (без учета давления слоя воды высотой h) Р_г = Vg_ж = = d ³  9,81  10³ н;

 сила, обусловленная наличием поверхностного натяжения на границе вода  воздух, Р_ф = П_гжsin = 4d  73  10^3  sin45 = = 204,4  10^3d Н, где П = 4d – периметр смачивания.

Из условия равновесия сил, действующих по направлению отрыва частицы, Р_ф+Р_г=Р_т, находим искомое значение длины ребра частицы кубической формы:

204,4 10^3d+d ³ 9,8110³= 68,6710³d ³,

откуда

d= .

Пример 1.4. В воду вертикально погружена часть капиллярной трубки, выполненной из частично гидрофильного твердого тела (  90). Высота поднятия воды в капилляре h = 1,5 см (рис.1.4).

Определить капиллярное давление, если плотность воды кг/м³, а плотностью воздуха можно пренебречь.

Рис.1.4. Равновесное состояние капиллярного поднятия жидкости

r – радиус капилляра; R – радиус кривизны мениска в капилляре;   краевой угол

смачивания

Первый способ решения.На нулевом уровне, отвечающем плоской поверхности, давление в контактирующих фазах одинаково и равноР₀как внутри, так и снаружи капиллярной трубки. На уровнеhмениска давление со стороны водной фазыР_воднменьше, чем со стороны воздушной фазыР_возд, так как давление в фазе со стороны выпуклой поверхности раздела меньше, чем давление в фазе со стороны вогнутой поверхности раздела. Таким образом, капиллярное давлениеР=Р_воздР_водн.

На нулевом уровне (0-0) в водной фазе внутри капилляра давление Р₀должно быть уравновешено гидростатическим давлениемР_гстолба воды высотойhи давлением воды в капилляреР_воды, т.е.Р₀ =Р_г+Р_воды.

Гидростатическое давление

где m– масса воды в капилляре;S– площадь сечения капилляра.

Если плотностью воздуха пренебречь, т.е. пренебречь давлением столба воздуха высотой h, то давление на нулевом уровне в воздушной фазеР₀=Р_возд.

Окончательно получим

Р=Р_воздР_водн=Р₀Р₀+Р_г=Р_г= 147,15 Па.

Второй способ решения.Поскольку радиус кривизныRсферической поверхности, проведенный из точки пересечения касательной к этой поверхности, перпендикулярен касательной, то в соответствии с геометрическим построением (рис.1.4) сos=r/R. Подставив это выражение и уравнение (1.9) в уравнение Жюрена (1.11) и пренебрегая плотностью воздуха, получим

= =,

т.е. Па.

Пример 1.5.Вертикально установленная капиллярная трубка с внутренним диаметром 310²мкм нижним концом погружена в воду на глубинуh= 3 см, а верхним соединена с сосудом, в котором поддерживается избыточное давление. Определить, при каком давлении в сосуде будет происходить отрыв пузырька воздуха от нижнего конца капилляра. Радиус кривизныRповерхности пузырька в момент его отрыва равен радиусу капилляра. Поверхностное натяжение_гж = 72  10^3 н/м, плотность воды_ж = 110³кг/м³, а плотностью воздуха_гможно пренебречь.

Решение. Пузырек воздуха оторвется, когда давление в сосуде Р станет равным сумме гидростатического давления столба воды высотой h и капиллярного давления, действующего у поверхности пузырька:

Р=h_жg+ 2_гж/R = 3  10^2  110³ 9,81 +

+ (2 72  10^3) : (1,510^4) = 1524 Па.

Задачи

1.26-1.33. Частично гидрофильное твердое тело кубической формы в условиях равновесия плавает на плоской поверхности вода –воздух таким образом, что периметр смачивания проходит по ребрам верхней грани куба, т.е. пять граней куба (четыре боковые и одна нижняя) контактируют с водой и только одна верхняя грань – с воздухом (см. пример 1.3 решения типовых задач).

При решении задач принять следующие постоянные условия: поверхностное натяжение _гж = 73  10^3 Н/м, плотность воды_ж = 110³кг/м³, гидростатическим давлением слоя воды над верхней гранью твердой частицы (слой высотойh, см.рис.1.3) на нижнюю грань твердого тела пренебречь. Переменные условия задач и задания указаны втабл.1.2.

Таблица 1.2