1.2 Перенаряжения при неполнофазных режимах

Рассмотрим короткую трехфазную линию в системе с заземленной нейтралью, обладающей фазными и междуфазными емкостями. На конце линии в каждой фазе включены реакторы. Предполагается, что эти реакторы обеспечивают высокую степень компенсации емкостного тока (не путать с реактором в нейтрали). Будем считать, что достигнута известная перекомпенсация, т.е.

	1	ωСф или 1 ω2СфLрф .
	ωLрф

Сначала рассмотрим случай, когда отказала при включении одна фаза выключателя, например, фаза «А» (рис.1.9). На рис.1.9 EA,B,C - система ЭДС

источника, U A - напряжение фазы «А», которую надо определить. Остальные обозначения ясны из рисунка. При этом фаза «А» осталась неподключенной к трехфазному источнику ЭДС, т.е. имеет место неполнофазный режим. Напряжение на фазе «А» - это напряжение на соответствующей фазной емкости и параллельной этой емкости индуктивности реактора Lрф .

Напряжение на этой фазе найдем , используя метод эквивалентного генератора тока. Нами было выяснено при рассмотрении метода эквивалентного генератора тока, что напряжение на выделенном элементе может быть определено если известны ток при закорачивании выводов выделенного элемента и входная проводимость внешнего пассивного двухполюсника относительно выводов этого элемента. Напряжение на невключенной фазе «А» равно:

	U A = YA +YВХ					(1.2.1)
		Iк.з.
	Проводимость фазы «А»:
	YA = jωСф +			1		(1.2.2)
			jωLрф
		Входная		проводимость внешней		схемы определяется на основании

следующих соображений. При закорачивании ЭДС источников в фазах «В» и «С» (т.е. включившихся фаз) междуфазная емкость и фазные емкости с индуктивностями реакторов оказываются закороченными (рис.1.9). Параллельно же емкости и индуктивности реактора фазы «А» оказываются подключенными две междуфазные емкости (между «В» и «А», «С» и «А»).

Эквивалентная схема имеет вид соответствующий рис.1.10, поэтому

YВХ = 2 jωCмф .

(1.2.3)

Ток КЗ при закорачивании фазы «А» - это сумма токов текущих через междуфазные емкости, включенные между «В» и «А», и «С» и «А». Поэтому:

I к. з. = jωC мф E В + jωC мф E C				= − jωC мф E A	(1.2.4)
Отсюда:
U A =	− jωCмфEA		=	ω2CмфLрфEA	= 0,5EA	2ω2CмфLрф	(1.2.5)
	2 jωCмф + jωCф +	1		1−ω2 Lрф (2Cмф + СФ )		1−ω2 Lрф (2Cмф + СФ )
		jωLрф

Опасность перенапряжений заключена в близости знаменателя к нулю. Нуль получается тогда, когда

1 =ω2 Lрф (2Cмф +СФ )

Эквивалентная схема, соответствующая формуле (1.2.5) имеет вид как на рис.1.11. При невключившихся двух фазах,например «А» и «В», эквивалентная схема

для этих фаз имеет вид как на рис.1.12.

Сравнивая с предыдущей эквивалентной схемой (рис.1.11), находим условие резонанса в виде

1−ω2 Lрф (Cмф +СФ ) = 0

(1.2.6)

Обратим внимание на то, что фазные емкости и фазные индуктивности включившихся фаз не влияют на определение напряжений на невключившейся фазе.

1.3 Установившиеся перенапряжения в электропередачах. Емкостной эффект.

Рассмотрение установившихся перенапряжений в линиях электропередач целесообразно начать с краткого вывода выражений для напряжения и тока вдоль однородной линии, характеризуемой активным сопротивлением R/ , активной проводимостью G / , индуктивностью L/ и емкостью C / на единицу длины.

На рис.1.13 показана эквивалентная схема участка линии длиной ∆x на

расстоянии x от начала линии с напряжениями		•	и	•	и токами	•	и
		U (x)		U (x + ∆x)		I (x)
•	в начале и в конце участка.
I (x + ∆x)

Из схемы (рис.1.13) вытекают следующие уравнения:

•

•

•

U (x

+ ∆x) −U (x)

= −I (x)(R/ + jωL/ )∆x ,

•

+ ∆x ) −

•

•

+ ∆x )( G /

+ jωC / )∆x .

I ( x

I ( x ) = − U ( x

и устремив ∆x к

Разделив левые и правые части записанных уравнений на ∆x

нулю получим:

•

d U (x)

•

/

/

= −I (x)(

R

+ jωL ),

(1.3.1)

dx

•

d I (x)

•

G / + jωC /

),

(1.3.2)

= −U (x)(

dx

замечая, что

•

•

U (x + ∆x)

=U (x) .

∆x→0

Дифференцируя (1.3.1) по x и подставляя (1.3.2), находим:

•

d 2 U (x)

/

/

/

/

•

2

•

=( R

+ jωL )(

G

+ jωC

)U (x) =γ

U (x) ,

(1.3.3)

dx2

где γ 2

= (R/

+ jωL/ )(G /

+ jωC / ) = R/G /

+ jω(R/ C / + L/G / ) −ω2 L/C /

(1.3.4)

Дифференцируя (1.3.2) по х и подставляя в него (1.3.1), получим такое же

•

уравнение, но относительно I (x) :

	d	2	•			•				(1.3.5)
			I (x) =γ			2 I (x)
		dx2
			•	Решение уравнения (1.3.3), переписанное в виде
	d	2				•
		U (x)			−γ 2 U (x) = 0			,
		dx2
будем искать в соответствии с выражением
	•									(1.3.6)
U (x) = Aeγx + Be−γx ,
где A и B - неизвестные комплексы, не зависящие от x.										•
				Подставив (1.3.6) в (1.3.1) и учитывая (1.3.4), для
										I (x) получим:
	•			= (−1)(R/			+ jωL/ )−1γ (Aeγx − Be−γx ) = −Z B−1 (Aeγx − Be−γx ) ,			(1.3.7)
	I (x)
где				Z B = (		R/	+ jωL/	)1/ 2		(1.3.8)
						G / + jωC /
Для линии без потерь R/ = G / = 0 и ZB =									L/	(1.3.9)
									C /
				Теперь перейдем к рассмотрению линии длиной l, присоединенной к
источнику ЭДС								E с внутренним сопротивлением Zи		и замкнутой на конце на
сопротивление Z (рис.1.14)
Тогда на конце линии при x=l
	•				•
U (l)				− Z I (l) =0,
а в начале линии
				•		•
	E = Zи I (0) +U (0)

С учетом выражений (1.3.6) и (1.3.7) при x=0 записанное уравнение для начала линии приводится к виду:

−

Zи

(A − B) + A + B = E

Z B

или

(1.3.10)

(Z B − Zи )A + (Z B + Zи )B = EZ B

Из уравнения для конца линии имеем с учетом (1.3.6) и (1.3.7) при x=l:

Aeγl + Be−γl +

Z

(Aeγl − Be−γl ) = 0

или

ZB

(1.3.11)

(Z + ZB )eγl A +(ZB − Z )e−γl B = 0

Решая систему уравнений (1.3.10) и (1.3.11) относительно A и B , найдем:

A =

EZB (ZB −Z)e−γl

=

ZB E

q2e−2γl

,

(Z

B

−Z

и

)(Z

B

−Z)e−γl −(Z

B

+ Z

и

)(Z + Z

B

)eγl

Z

B

+ Z

и

1−q q

2

e−2γl

1

и

аналогичное

выражение

для

B :

B =

− EZ B (Z B − Z )e−γl

=

Z B E

1

,

(Z

B

− Z

и

)(Z

B

− Z )e−γl − (Z

B

+ Z

и

)(Z + Z

B

)eγl

(Z

B

+ Z

и

)

1− q q

2

e−2γl

1

где q1 и q2

равны:

q	=	Zи − Z B	и q	2	=	Z − Z B
1		Zи + Z B				Z + Z B

Подставляя полученные для получим для напряжения U (x)

(1.3.12)

Aи B выражения в уравнения (1.3.6) и (1.3.7),

итока I (x) для схемы (рис.1.14), где x

отсчитывается от начала к концу линии, следующие окончательные выражения:

U (x) =

Z B E q2eγx e−2γl + e−γx

,

(1.3.13)

(Z

B

+ Z

и

)

1− q q

2

e−2γl

1

E

q2eγx e−2γl − e−γx

I (x) = −

,

(1.3.14)

(Z

B

+ Z

и

)

1− q q

e−2γl

1

2

причем в согласии с (1.3.12) q1 и

q2 являются коэффициентами отражения от

начала и конца линии.

При

Zи = Z B − q1 = 0 ,

при

Z = ZB −q2

= 0. При Z →∞, что отвечает в пределе

разомкнутой на конце линии, q2

→1, а при Z = 0 , т.е. для короткозамкнутой линии

q2 = −1. При Zи = 0 − q1 = −1.

Коэффициент γ , называемый коэффициентом распространения и

определяемый по (1.3.4), может быть представлен в виде

γ =α + jβ ,

(1.3.15)

где

α - коэффициент затухания,

β

- коэффициент фазы.

При R/

= G /

= 0 из (1.3.4) находим, что α = 0, а β =ω

L/C / .

Если G / = 0 , а R/ ≠ 0 , то

γ G′=0

= (α + jβ) G′=0 =

′ ′

2 2

′ ′

= jω

′ ′

1− j

R′

jω

′ ′

(1− j

R′

) =

jωR C

+ j ω

L C

L C

ωL′

L C

2ωL′

(1.3.16)

1 R′

′ ′

= 2

L′

+ jω

L C

C′

R′

при условии, что

1.

ωL′

В этом случае

1

R′

и β =ω

′ ′

(1.3.17)

α = 2

L′C′

L C

При R/ = G / = 0 для ZB

имеем формулу (1.3.9). Выражение для ZB при

R/ ≠ 0 , можно представить в следующем виде:

ZB =

R′+ jωL′ = − j R′

+

L′ =

L′ 1−

j R′

L′ (1− j

R′

) =

L′ (1− j

α ) ,

jωC′

C′

C′

C′

ωL′

C′

2ωL′

C′

β

где α и β определяются на основании (1.3.17).

Для разомкнутой на конце линии q2

=1, и из (1.3.13) находим:

ZB E

2e−γl

U (l) =

,

Z

и

+ Z

B

1− q e−2γl

1

U (0) =

Z B E

1+ e−2γl

Z

и

+ Z

B

1− q e−2γl

1

G / = 0 , но

(1.3.18)

(1.3.19)

(1.3.20)

Отметим, что при Zи = 0 и, следовательно, q1 = −1, из (1.3.20) имеем

U (0) = E

В общем случае U (0) является функцией длины l.

Из уравнений (1.3.19) и (1.3.20) легко установить связь между U (0) и U (l)

для разомкнутой на конце линии:

U (0) =U (l)chγl =U (l)ch[(α + jβ)l]

(1.3.21)

Для I (0)

из выражения (1.3.14) при разомкнутой на конце линии ( I (l) = 0) с учетом

(1.3.19) найдем:

I (0) =

E

1−e−2γl

=

U (l)

sh[(α + jβ)l]

(1.3.22)

(Z

B

+ Z

н

) 1−q e−2γl

Z

B

1

Введем

в рассмотрение коэффициент передачи

К, как отношение

напряжений на конце U (l) и в начале линии U (0) . Для разомкнутой линии имеем:

K =	U (l )	=	{ch [(α +	jβ )]}−1 1	[(1 + αl )e jβl	+ (1 − αl )e − jβl ] −1	=
	U (0)			2
		α	−1				(1.3.23)
= cos βl + j		β	βl sin βl

По (1.3.23) можно построить зависимость K от длины l для конкретной линии. Выражение (1.3.23) выявляет резонансные свойства линии. Резонанс для

линии без потерь (α = 0)	наступает при		βl =	π	2 или при ω		′ ′	π	2	. При f=50 Гц
							L С l =
для воздушной линии,	когда V =	1	3 10		8	м/c , резонанс наступает при длине
		′ ′
		L C
1,5 103 км.

Коэффициент передачи в действительности всегда ограничен. Из (1.3.23)

при βl =π

2

и при учете (1.3.17) вытекает

1

4 ωL′

4

K

=

=

=

Q ,

(1.3.24)

α

π R′

π 2

π

β

где Q = ωRL′′ - добротность линии.

Если положить Q=12.5, то K ≈16

Таким образом, перенапряжения на промышленной частоте в установившемся режиме на конце линии длиной l=1500 км при добротности Q=12.5 могут достигать кратности, равной модулю коэффициента передачи, т.е. в данном случае 16. В этом и состоит явление, называемое емкостным эффектом.

К числу важных параметров линии относится ее входное сопротивление, которое может быть получено из выражений (1.3.21) и (1.3.22).

Имеем для разомкнутой линии без потерь:

		U (0)			ch[(α + jβ)l]		L′	(1.3.25)
	ZВХ =		= ZB		α=0 sh[(α + jβ)l] α=0	= − j	C′ctgβl
		I (0)

Для небольших длин, характерных для линий с номинальным напряжением до 220 кВ, например l=100 км, βl составит

βl =ω L′C′l = 30π .

Тогда ctgβl (βl)−1 и

Z ВХ = − j	L	′		1	= − j	1 ′ ,
		′
	C		ω	′ ′		ωC l
				L C l

т.е. такую линию можно заменить сосредоточенной емкостью. При длинах l=200-300 км, приближенно:

cos βl 1− (β2l)2 sin βl βl и

ZВХ = − j

L

′ 1

−(βl)2

2 = − j

L

′

2 −ω

2

′ ′

2

′

l

).

′

′

L C l

= j(ωL l −

C

βl

C

2ω L C′l

2

′

ωC l

/

Последнее соотношение соответствует схеме замещения, принятой для линии в методических указаниях к задаче №1 [1].

Полезно

получить выражение для ZВХ в общем

случае. Пологая Zи =0,

q1 = −1 и x = 0 в выражениях (1.3.13) и (1.3.14), с учетом (1.3.12) найдем:

Z ВХ = −Z В

q2e−2γl

+1

=

Z В

Zchγl + Z Вshγl

(1.3.26)

q2e−2γl

−1

Zshγl + Z Вchγl

Для короткозамкнутой линии (Z=0):

ZВХ = ZВthγl

(1.3.27)

Выражение (1.3.19) при подстановке (1.3.12) для q1 можно переписать в

виде

1

U (l) = E

(1.3.28)

chγl +

Zи

shγl

ZB

Для линии без потерь и Zи = jωLи из выражения (1.3.28) находим:

U (l) = E

1

(1.3.29)

chβl −

ωLи

sin βl

L′C′

Введем обозначения

l

Lи

L′C′l = V =τ

, T =

L′C′ .

Тогда (1.3.29) может быть переписано в виде

U (l) = E

1

(1.3.30)

cosωτ −ωT sinωτ

Рассматривая

ω

в полученном выражении как

варьируемую величину,

можно найти корни уравнения

ctgωτ = ωT ,

и T и будут определять резонансные частоты.

которые при заданных τ

Заметим, что из (1.3.19), (1.3.20) и (1.3.23) вытекает независимость коэффициента передачи от Z и .

Реактор в начале линии. Пусть к началу линии без потерь подключен реактор поперечной компенсации с сопротивлением Xp (рис.1.14). Это означает, по существу, что ко входному сопротивлению ZВХ разомкнутой на конце линии по формуле (1.3.25) параллельно подключено индуктивное сопротивление jX p .

Тогда Z ВХ −р				будет определяться выражением:
Z ВХ −р =		− jZ Вctgβl			,	(1.3.31)
		1− qctgβl
где q =		Z B	=	L′C′
		X p		X p

Если q = tgβl ,

то сопротивление Z ВХ−р в соответствии с (1.3.31) оказывается бесконечно большим. Но при этом и X p оказывается весьма большой величиной. Поэтому

полную компенсацию на практике не осуществляют.

Отметим, что коэффициент передачи не зависит от включения реактора поперечной компенсации в начале линии.

Уменьшение емкостного тока (выражение ( 1.3.31)) благодаря включению реактора поперечной компенсации в начале линии благоприятно сказывается на работе генераторов, так как работа генераторов в режиме потребления реактивной мощности (генерирования емкостного тока), становится менее устойчивой.

Реактор в конце линии. Установка реактора в конце линии изменяет коэффициент передачи. Воспользуемся общим выражением (1.3.13), в котором для простоты положим Zи = 0 и, соответственно q1 = −1.

Тогда, полагая x=0, затем x=l, для коэффициента передачи с учетом (1.3.12) при Z = jX p , найдем:

K =

U (l)

=

e−γl + q

e

−γl

=

1+ q

2

=

jX p

(1.3.32)

2

U (0)

1+ q2e−2γl

eγl + q2e−γl

jX p chγl + Z B shγl

Для линии без потерь из (1.3.32) находим:

1		,		(1.3.33)
K =
	cos βl + q sin βl
где также, как и в (1.3.31),			q =	Z B	.
				X p
Из сопоставления (1.3.23)			при α = 0 (линия без потерь) и (1.3.33) следует, что

реактор в конце линии уменьшает коэффициент передачи. Коэффициент передачи равен единице в (1.3.33), если

	q =	Z B	=	1 − cos βl	= tg	βl
		X p		sin βl		2

Однако требуемая для этого величина X p оказывается слишком большой. Кроме того, максимальное напряжение на линии смещается к началу линии.

Реакторы могут быть установлены и в середине линии, и равномерно вдоль линии, улучшая характер распределения напряжения вдоль линии.

Вопросы для самопроверки

1.Объясните, что такое «смещение нейтрали».

2.Повторите, в чем состоит существо метода эквивалентного генератора тока.

3.Расскажите, что вы понимаете под коэффициентом передачи, добротностью линии и емкостным эффектом.