lekciq_14

ЛЕКЦИЯ 14. ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК. ЧИСТЫЙ ИЗГИБ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ. РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ПО РАСЧЁТНОМУ СОПРОТИВЛЕНИЮ И ПРЕДЕЛЬНОМУ СОСТОЯНИЮ

Прямой поперечный изгиб возникает в случае, когда все нагрузки приложены перпендикулярно оси стержня, лежат в одной плоскости (главной), т.е. плоскость их действия совпадает с одной из главных центральных осей инерции сечения, на рис. 14.1 YOX. Прямой поперечный изгиб относится к простому виду сопротивления, тип напряжённого состояния - плоское, т.е. два главных напряжения отличны от нуля. При таком виде деформации возникают внутренние усилия: поперечная сила и изгибающий момент (рис. 14.2).

а) б)

Рис. 14.1. а) схема нагружения соответствующая прямому поперечному изгибу; б) поперечное сечение балки

Рис. 14.2. Внутренние усилия при прямом поперечном изгибе

Частным случаем прямого поперечного изгиба является чистый изгиб, при таком сопротивлении имеются грузовые участки, в пределах которых поперечное усилие обращается в ноль, а изгибающий момент отличен от нуля, рис. 14.3. В поперечных сечениях стержней при прямом поперечном изгибе возникают нормальные и касательные напряжения. Напряжения являются функцией от внутреннего усилия, в данном случае нормальные – функцией от изгибающего момента, а касательные - от поперечной силы. Также связь между внутренними усилиями и напряжениями можно записать как

. (14.1)

Здесь А – площадь поперечного сечения, dA – площадь элементарной площадки, y – ордината площадки, рис. 14.2.

Рис. 14.3. Чистый изгиб

При прямом поперечном изгибе вводят несколько гипотез:

1) Поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и ортогональными к нейтральному слою после деформации (гипотеза плоских сечений или гипотеза Я. Бернулли). Эта гипотеза выполняется при чистом изгибе и нарушается при возникновении поперечной силы, касательных напряжений, угловой деформации.

2) Взаимное давление между продольными слоями отсутствует (гипотеза о ненадавливании волокон). Из этой гипотезы следует, что продольные волокна испытывают одноосное растяжение или сжатие, следовательно, при чистом изгибе справедлив закон Гука .

Рис. 14.4. Балка, испытывающая чистый изгиб, до и после деформации

Стержень, испытывающий изгиб, называют балкой. При изгибе одна часть волокон растягивается, другая часть – сжимается. Слой волокон, находящийся между растянутыми и сжатыми волокнами, называют нейтральным слоем, на рис. 14.4. он обозначен пунктиром. Линию пересечения его с поперечным сечением балки называют нейтральной осью.

Рис. 14.5. Элемент балки до и после деформации

Рассмотрим деформацию элемента АВCD. Удлинение волокна АВ Δl = AD^* - АD = (ρ+y)dθ-dx = ydθ, т.к. ρdθ = dx (длина нейтрального слоя не меняется). Деформация этого волокна

. (14.2)

Используя закон Гука, можно получить

. (14.3)

Подставив формулу (14.3) в (14.1) имеем

. (14.4)

Из (14.4) следует, что кривизна балки

. (14.5)

Подставив (14.3) в (14.5) получим выражение для нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях балки при чистом изгибе.

. (14.6)

Знак «-» в этой формуле позволяет определить напряжение с учётом того, растянуты волокна или сжаты.

На основе введенных гипотез при чистом изгибе получена формула для определения нормальных напряжений, которая применяется и при прямом поперечном изгибе. Нормальное напряжение можно найти с помощью линейной зависимости (14.6), в которой отношение изгибающего момента к осевому моменту инерции () в конкретном сечении является величиной постоянной, а расстояние (y) вдоль оси ординат от центра тяжести сечения до точки, в которой определяют напряжение, меняется от 0 до .

Расчет на прочность производят с помощью условий прочности. С их помощью можно решать поверочные задачи (выполнять проверку выполнения условия), определять размер поперечного сечения или подбирать допустимое значение параметра нагрузки. Условий прочности различают несколько, одно из них приведено ниже. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

, (14.7)

здесь – момент сопротивления сечения относительно оси z, R – расчетное сопротивление по нормальным напряжениям.

Расчет по предельному состоянию. При увеличении нагрузки до той, при которой возникают напряжения превышающие предел пропорциональности и предел упругости в материале развиваются пластические деформации. Рассмотрим распределение нормальных напряжений в прямоугольном поперечном сечении стержня, выполненного из упругопластического материала, подчиняющегося идеализированной диаграмме Прандтля (рис. 14.6).

Рис. 14.6. Диаграмма Прандтля

σ_max < σ_s σ_max = σ_s. σ_s σ_s

а) б) в) г)

M_z = σ_sW_s Пластический шарнир (M _lim)

Рис. 14.7. Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении

M_lim=k = σ_sW_s, (14.8)

здесь W_s = /S_c/ + /S_t/ – пластический момент сопротивления сечения, k – коэффициент запаса прочности (больше единицы), S_c – статический момент площади сжатой зоны, S_t.- статический момент пощади растянутой зоны поперечного сечения. S_c и S_t вычисляются относительно оси, которая делит сечение на две равновеликие площади. Положение этой оси определяют из условия А_c = А_t.

4