Лекция 5. произведения векторов

Лекция 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ФОРМУЛОЙ

, (1)

ГДЕУГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, ИМЕЮЩИМИ ОБЩЕЕ НАЧАЛО.

ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (4.1) СЛЕДУЕТ, ЧТО ДЛЯ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РАВЕНСТВА

(2)

КРОМЕ ТОГО ИЗ ФОРМУЛ (1), (2) СЛЕДУЮТ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

(3)

ТЕОРЕМА 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ ДАЁТСЯ ФОРМУЛАМИ

В ПРОСТРАНСТВЕ (4)

НА ПЛОСКОСТИ (5)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДОКАЖЕМ ФОРМУЛУ (4) ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА. ФОРМУЛА (5) ДОКАЗЫВАЕТСЯ АНАЛОГИЧНО

ПУСТЬ , ТОГДА

С ПОМОЩЬЮ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОЖНО РЕШАТЬ ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ:

1) ВЫЧИСЛЯТЬ ДЛИНУ ВЕКТОРА

ИЗ ФОРМУЛЫ (1) СЛЕДУЕТ

(6)

₂₎ ВЫЧИСЛЯТЬ ПРОЕКЦИЮ ВЕКТОРА НА НАПРАВЛЕНИЕ ЗАДАВАЕМОЕ ВЕКТОРОМ

_{ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКЦИИ (ФОРМУЛА (3.9)) И СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ (4.1) ПОЛУЧАЕМ}

(7)

УГОЛ -ЭТО УГОЛ МЕЖДУ НЕНУЛЕВЫМИ ВЕКТОРАМИ .

3) ВЫЧИСЛЯТЬ УГ0Л МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И

(8)

4) ВЫЧИСЛЯТЬ РАБОТУ

ПОСТОЯННАЯ СИЛА ПРИЛОЖЕНА К ТЕЛУ И ПЕРЕМЕЩАЕТ ЕГО ВДОЛЬ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОТ ТОЧКИ К ТОЧКЕ

.В ЭТОМ СЛУЧАЕ РАБОТА ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ:

(9)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КООРДИНАТ ВЕКТОРА

ТЕОРЕМА 2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ЭТО ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ ОХ, ОУ, ОZ СООТВЕТСТВЕННО

(10)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПУСТЬ

АНАЛОГИЧНО ДОКАЗЫВАЮТСЯ, ЧТО КОРДИНАТЫ -это ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ ОУ, ОZ .

ИЗ ТЕОРЕМЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО:

1) КООРДИНАТЫ ЛЮБОГО ЕДИНИЧНОГО ВЕКТОРА ИМЕЮТ ВИД

(11)

называют направляющими косинусами вектора.

2) КООРДИНАТЫ ЛЮБОГО ВЕКТОРА ИМЕЮТ ВИД

(12)

ГДЕ и .

ПРАВИЛО 1. ВЕКТОРЫ И ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. ТРИ ВЕКТОРА НАЗОВЁМ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ НЕ ЛЕЖАТ НИ В КАКОЙ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ПЛОСКОСТИ.

Например, базисные векторы некомпланарные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. ТРИ УПОРЯДОЧЕННЫХ НЕКОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРА С ОБЩИМ НАЧАЛОМ ОБРАЗУЮТ В ТАКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРАВУЮ ТРОЙКУ ВЕКТОРОВ, ЕСЛИ КРАТЧАЙШИЙ ПОВОРОТ ВЕКТОРА К ВЕКТОРУ , НАБЛЮДАЕМЫЙ ИЗ КОНЦА ВЕКТОРА, СОВЕРШАЕТСЯ ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. ПУСТЬ ЗАДАНЫ ДВА НЕНУЛЕВЫХ ВЕКТОРА И ТОГДА ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ НАЗЫВАЕТСЯ ВЕКТОР , ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ ТРЕМЯ СВОЙСТВАМИ:

1. 

2) ВЕКТОРА ОБРАЗУЮТ ПРАВУЮ ТРОЙКУ ВЕКТОРОВ (13)

3) ДЛИНА ВЕКТОРА ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ

СЛЕДУЮЩИЕ РАВЕНСТВА ЛЕГКО ПРОВЕРИТЬ, ПОЛЬЗУЯСЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ 4.4

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ. ПРАВИЛО .

ТЕОРЕМА 3 ПУСТЬ ЗАДАНЫ ДВА ВЕКТОРА , ТОГДА КООРДИНАТЫ

ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЫЧИСЛЯЮТСЯ ПО ФОРМУЛЕ (14)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПРИ УМНОЖЕНИИ ИСПОЛЬЗУЕМ СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

(15)

Получили известную формулу вычисления определителя разложением по первой строке.

Теорема доказана.

С помощью векторного произведения можно решать следующие задачи :

1. ВЫЧИСЛЯТЬ ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА , ПОСТРОЕН0ГО НА ВЕКТОРАХ И КАК НА СТОРОНАХ . ДВУХШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ ДАЁТСЯ ФОРМУЛОЙ

(16)

_{1 ШАГ. ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ (}14) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

_{2 ШАГ. НАХОДИМ ДЛИНУ ПОЛУЧЕННОГО ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПО ФОРМУЛЕ (6).}

2. ВЫЧИСЛЯТЬ МОМЕНТ СИЛЫ , ПРИЛОЖЕНОЙ К ТОЧКЕ , ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ _.

СПРАВЕДЛИВА ФОРМУЛА

(17)

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. СМЕШАННЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ВЕКТОРОВ НАЗОВЁМ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ВЕКТОР , ТО ЕСТЬ (). БУДЕМ ОБОЗНАЧАТЬ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИМВОЛОМ

(18)

ВЫЧИСЛЕНИЕ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕМА 4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ (19)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО .

1 ШАГ. ВЫЧИСЛЯЕМ СНАЧАЛА ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПО ПРАВИЛУ (14)

2 ШАГ. УМНОЖАЯ ПОЛУЧЕННОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СКАЛЯРНО НА ВЕКТОР , ПОЛУЧАЕМ

ЗДЕСЬ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ МИНОРЫ (СМ. ГЛАВА1 ФОРМУЛА (2)).

ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

МОДУЛЬ ВЕЛИЧИНЫ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЁХ ВЕКТОРОВ РАВЕН ОБЪЁМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ПОСТРОЕННОГО НА ЭТИХ ВЕКТОРАХ КАК НА СТОРОНАХ.

(20)

ЗАМЕЧАНИЕ. ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ, ПОСТРОЕННОЙ НА ВЕКТОРАХ КАК НА СТОРОНАХ, РАВЕН (21)

ЕСЛИ

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение скалярного произведения и правила его вычисления в координатах. От чего зависит знак скалярного произведения. Как определяется проекция вектора на направление с помощью скалярного произведения?

2. Какие задачи можно решать, используя скалярное произведение?

3. Дайте определение правой тройки векторов.

4. Сформулируйте определение векторного произведения и правила его вычисления в координатах. Какие задачи можно решать, используя векторное произведение?

5. Сформулируйте правила вычисления площадей параллелепипедов и треугольников

с помощью векторного произведения.

6. Сформулируйте определение смешанного произведения и правила его вычисления в координатах. Какие задачи можно решать, используя смешанное произведение?

7. Сформулируйте правило вычисление объёмов пирамид и параллелепипедов

с помощью смешанного произведения.