лекция 3

ЛЕКЦИЯ 3. Напряжённое состояние в точке. Тензор напряжений. Напряжения на наклонных площадках. Главные площадки и главные напряжения. Виды напряжённых состояний

Напряжённое состояние в точке характеризуется тремя нормальными и шестью касательными напряжениями, действующими на гранях бесконечно малого параллелепипеда, мысленно вырезанного в окрестности исследуемой точки (рис. 3.1). На каждой грани действует свое напряжение, на рисунке оно представлено тремя составляющими векторами полного напряжения, одним нормальным и двумя касательными . Нормальные напряжения направлены по нормали (перпендикулярно) к площадке, отсюда и их название, а касательные лежат на площадке, то есть касаются ее.

Рис. 3.1. Напряженное состояние элементарного параллелепипеда

Индексы напряжений указывают на их ориентацию в пространстве, относительно принятой системы координат. Принято считать, что нормальные напряжения при растяжении положительны, при сжатии – отрицательны. Для касательных напряжений принято следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном (отрицательном) направлении соответствующей оси, касательное напряжение положительно, если оно также направлено в положительном (отрицательном) направлении координатной оси.

Этот параллелепипед можно по разному ориентировать в пространстве, при этом на наклонных гранях будут новые значения нормальных и касательных напряжений, нахождение которых сводится к анализу напряжённого состояния в точке.

Напряженное состояние в точке определяет тензор второго ранга, состоящий из девяти компонент напряжений. Компоненты, составляющие тензор, подчиняются определенным формулам преобразования при повороте координатных осей. Тензор можно записать в виде матрицы 3.1.

Независимыми являются только шесть компонент тензора напряжений, так как, по закону парности касательных напряжений (3.2).

, , . (3.2)

С учетом закона парности напряжений этот тензор является симметричным, то есть элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

Под действием напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, он деформируется, то есть изменяются его размеры и форма. В данном случае под изменением объема подразумевается такой вид деформирования, при котором соотношения между длинами ребер параллелепипеда не изменяются и прямые углы между гранями не искажаются. Выделим из тензора напряжений те напряжения, которые вызывают только изменения объема параллелепипеда. Очевидно, что это будет происходить в том случае, когда ко всем граням параллелепипеда приложены одинаковые нормальные напряжения , а касательные напряжения отсутствуют. Во всех остальных случаях будет происходить также изменение формы. Тензор напряжений, соответствующий такому напряженному состоянию называется шаровым тензором (3.3).

Одинаковые нормальные напряжения равны среднему напряжению в данной точке тела (3.4). (3.4).

Разность между тензором напряжений и шаровым тензором есть девиатор напряжений (3.5).

.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы шарового тензора и тензора – девиатора D (3.6).

= + D. (3.6)

Компоненты шарового тензора приводят к изменению объема, а компоненты девиатора напряжений определяют изменение формы параллелепипеда.

Сумма нормальных напряжений по любым трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через точку, представляет собой инвариант тензора напряжений, то есть величину, не изменяющуюся при повороте координатных осей, например при переходе, от осей X, Y, Z к X, Y, Z справедливо равенство

. (3.7)

Существуют и другие инварианты тензора напряжений.

Напряжения на наклонных площадках. Напряжения на площадке повернутой на угол α относительно исходной площадки можно определить по следующим зависимостям:

(3.8)

Полное напряжение на наклонной площадке находят как

(3.9)

Главные площадки и главные напряжения. При повороте координатных осей меняется значение нормального напряжения на соответствующей площадке.

Главные площадки – площадки, на которых касательные напряжения обращаются в ноль, а нормальные принимают экстремальные значения.

Главные напряжения - напряжения на главных площадках.

Площадка сдвига – площадка, на которой касательные напряжения принимают экстремальные значения.

Площадка чистого сдвига – площадка, на которой касательные напряжения принимают экстремальные значения, а нормальные отсутствуют.

Угол между главной площадкой и площадкой сдвига составляет 45°.

Угол α₀ между исходной и главной площадкой определяется с помощью формулы:

. (3.10)

Определить главные напряжения можно с помощью зависимости

. (3.11)

Касательные напряжения на площадке сдвига определяют по зависимости:

. (3.12)

Виды напряжённых состояний. Критерием, определяющим тип напряжённого состояния, является количество главных напряжений, отличных от нуля.

1. Объёмное (трёхосное) напряжённое состояние

2. Плоское (двухосное) напряжённое состояние одно из трёх главных напряжений равно нулю, а два отличны от нуля.

3. Линейное (одноосное) напряжённое состояние два из трёх главных напряжений равны нулю, а одно отлично от нуля.

3