ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 3

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 3

Решение уравнения теплопроводности конечно-разностным методом

1.Постановка задачи. В области 0 x L, 0 t T решить линейное уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной:

u	A	2 u		F (x,t) ,
t		x	2
(А > 0 – константа, u(x, t) –	искомое			решение, F(x, t) – правая часть),

для которого поставлена начально-краевая задача: u(x, 0) = (x), 0 x L

1u(0, t ) + 2ux(0, t) = 1(t) , 1u(L, t) + 2ux(L, t) = 2(t), t>0

2.Метод решения Для решения использовать двухслойную

u nj 1 u nj

n 1

n

F (x j , t

n 1

) (1 )F (x j , t

n

A

u

j

(1

) u

j

)

или трехслойную

u nj 1 u nj 1

u nj 1

(1 2 )u nj u nj 1

F (x

j

,t n 1) (1 2 )F (x

j

,t n ) F (x

j

,t n 1) ,

2

u n

2u n

u n

разностную схему, здесь

u nj

A

j 1

j

j 1

h2

.

3.Выполнение задания.

Составить программу MathCAD, реализующую решение начально-краевой задачи для своего варианта (см. Таблицу)

Численно исследовать устойчивость. Для неявных схем показать безусловную устойчивость. Для явных схем найти максимальный размер шага по времени=T/M, при котором численное решение будет устойчивым.

Построить графики численных решений при N=10, 20 и 40, где N – число разбиений отрезка [0, L].

4. Оформление отчета. В отчет включить:

Постановку задачи (уравнение, начальные данные, краевые условия)

Разностную схему

Формулы для определения приближенного решения на верхнем слое шаблона

Формулы для определения первых прогоночных коэффициентов и значения приближенного решения в крайне правой точке отрезка [0,L]

Таблицу, в которой приведены параметры сетки (значения N. M), при которых

были проведены расчеты, число Куранта Ah2 и результат численного исследования устойчивости

Графики устойчивых численных решений при N=10, 20 и 40 на момент времени

Графики устойчивых численных решений на начальный, промежуточный и конечный момент времени

ВЫВОДЫ

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ

				2x /3х	Пара-		\			левое краевое условие			правое краевое условие
№	L	T	A	слойн.	метр	F(x,t)	(x)			1	2	1(t)	1	2	2 (t)
				схема	схемы
1	1	1	1	2х	=1	0	cos( x)			0	1	1+t2			t2 - 1
2	1	1	1	2х	=0.5	0	x (x+1)			1	0	t			2
3	1	1	2	3х	=1	0	sin( x)			1	0	0			t -
4	1	1	2	3х	=0.5	0	x (x - 1)			0	1	2 -t			0
5		1	3	2х	=0.75	0	x sin(x)			1	0	t3			t -
6	1	1	3	2х	=0.25	0	2 x(1 –x)			0	1	t2 - 2			t
7		1	2	3х	=0.75	0	cos( x	2	)	1	0	1 - t2	1	0	0
8		1	1	3х	=0.25	0	cos(2x)			1	0	e-4t			0
9	2	2	2	2х	=1	0	sin(x)			0	1	1			e-t/5
10		5	2	2х	=0.5	0	2cos(x)+			0	1	0			0
							3cos(2x)
11	5	1	4	3х	=1	t+1	2			0	1	0			2
12	4	2	0.5	3х	=0.5	0	x (x – 4)			0	1	t			e-4t
13	2	1	3	2х	=0.75	t - 1	x(2 – x)			1	0	t			-4+ t2
14		2	1	2х	=0.25	- t2	2cos( x 2 )			0	1	0			t
15	2	2	2	3х	=0.75	0	x (x - 2)			1	0	t			0
16	2	1	1	2х	=0.75	0	x sin(x)			0	1	t2+1			t
17		2	1	2х	=0.2	0	2cos(x)+			1	0	5+t			1
							3cos(2x)
18	1	1	2	2х	=0.8	0	sin( x)			0	1				t
19	2	2	1	3х	=0.2	0	cos( x)			1	0	1+t2			t
20	1	1	2	3х	=0.8	0	x (x+1)			0	1	t+2			2