механики-полн(часть1)

41

l =

1

.

pd2n0

2

Используя соотношение (9), получаем

.

l =

8RT /(pM)

(11)

z

Подставляя числовые значения в формулы (10) и (11), находим:

r =

28 ×10−3 кг / моль

×

2,05 ×108с−1

=

6,03×1023 моль−1

−20

2 3,14 ×8,31Дж /(моль × К) × 280К

2

×10

м

4×3,1

28

×10−3кг / моль

= 4,85×10−2кг/ м3 ,

8×8,31Дж /(моль × К) × 280К

<l>=

3,14 × 28×10−3 кг / моль

= 2.5мкм .

2,05

×108 с−1

Пример 7. Азот массой 2 кг охлаждают при постоянном давлении от 400 до 300 К. Определить изменение внутренней энергии DU, внешнюю работу А и количество выделенной теплоты Q.

Дано: m=2 кг, М=28×10-3 кг/моль; Т1=400 К; Т2=300 К.

Решение: Изменение внутренней энергии газа (считаем азот идеальным газом) найдем по формуле DU=mCv(T2-T1)/М, где m - масса газа; М - молярная масса; Сv- молярная теплоемкость при постоянном объеме; Т1 - начальная температура; Т2 - конечная температура.

Для всех двухатомных газов Сv=5/2R, где R=8,31 Дж/(моль×К) - молярная газовая

постоянная. Тогда
DU=5/2mR(Т2-Т1)/M.	(1)
Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении газа при постоянном давлении:
Q=mCp (T2-T1)/M,	(2)
где Ср - молярная теплоемкость при постоянном давлении (для всех двухатомных газов
Ср=7/2R), Дж/(моль×К).
Перепишем формулу (2) с учетом значения Cp
Q=7/2 mR (T2-T1)/M.	(3)

Работа сжатия газа при изобарном процессе А=рDV, где DV=V2-V1 - изменение объема, которое найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева. При изобарном процессе р=const:

рV1=mRT1/M,	(4)
рV2=mRT2/M .	(5)
Вычитанием выражения (4) из (5) находим
р(V2-V1)=mR(T2-T1)/ M.
Следовательно,
А=mR(T2-T1)/M.	(6)
Подставляя числовые значения в формулы (1), (3) и (6), получим
DU=5/2×2 кг×8.31 Дж/(моль×К)×(300-400)К/(28×10-3кг/моль)=-148 кДж;
Q=7/2 2 кг×8.31 Дж/(моль×К)×(300-400)К/(28×10-3кг/моль)=-207 кДж;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

42 А=2 кг×8,31 Дж/(моль×К)×(300-400)К/(28×10-3кг/моль)=-59 кДж;

Пример 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0.02 кг при температуре Т1=300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2=5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Решение: Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением:

T2	æ	V1	ö	γ−1	T2	1
	ç		÷	или				,
T	= ç V		÷		T	=
							nγ−1
1	è	2	ø		1	1

где g - отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;

n1=V2/V1.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры: T2=T1/n1γ-1.

Работа А1 газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

A1 = Mm Cv (T1 - T2 ) = Mm × 2i R(T1 - T2 ),

где Сv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, Дж/(моль×К). Работа А2

газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

A

2

=

m

RT ln

V3

,

или A

2

=

m

RT ln

1

,

M

2

V2

M

2

n2

где n2=V2/V3.

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа g=1.4, i=5

и М=2×10-3кг/моль:

300

300

T =

K =

K =157К ,

51,4−1

2

50,4

A1 =

0,02 × 5 ×8,31

(300 -157)Дж = 29,8 кДж ,

2 ×10−3 × 2

A2 =

0,02

×8,31×157 ln

1

Дж = -21 кДж .

2 ×10−3

5

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними

силами.

Пример 9. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за

один цикл работу А=1.5×105 Дж.

Температура

нагревателя Т1=400 К, температура

холодильника Т2=260 К. Найти КПД h машины, количество теплоты Q1, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.

Решение: КПД цикла Карно определяется формулой
h=(Т1 - Т2)/Т1,	(1)

где Т1 - температура нагревателя; Т2 - температура холодильника.

С другой стороны, термический КПД выражается формулой

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

						43
					h =А/Q1,							(2)
	где А - работа, совершенная рабочим телом тепловой машины, Дж;
	Q1 - теплота, полученная от нагревателя, Дж.
Из (1) и (2) имеем						Q1=А/h=АТ1/(Т1-Т2),						(3)
Работа, совершенная рабочим телом тепловой машины, определяется разностью
полученной от нагревателя теплоты Q1 и отданной холодильнику теплоты Q2 :												А=Q1-Q2.
Отсюда Q2=Q1-А, или с учетом (3)					Q2=АТ1/(Т1-Т2) - А=АТ2/(Т1-Т2).							(4)
Подставляя числовые значения в (1), (3) и (4), находим:
				h=(400 К - 260 К)/400 К=0.35
			Q1=1.5×105 Дж×400 К/(400 К-260 К)=430 кДж,
			Q2=1.5×105 Дж×260 К/(400 К-260 К)=280 кДж.
					Таблица вариантов
Вариант						Номера задач
1		1	11		21		31		41		51	61
2		2	12		22		32		42		52	62
3		3	13		23		33		43		53	63
4		4	14		24		34		44		54	64
5		5	15		25		35		45		55	65
6		6	16		26		36		46		56	66
7		7	17		27		37		47		57	67
8		8	18		28		38		48		58	68
9		9	19		29		39		49		59	69
0		10	20		30		40		50		60	70

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

1. Определить количество вещества n и число N молекул кислорода массой m=0.5 кг.

2.Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества n=0.2 моль; 2) массой

m=1 г?

3.Вода при температуре t=4оС занимает объем V=1 см3. Определить количество

вещества n и число N молекул воды.

4.Найти молярную массу М и массу mм одной молекулы поваренной соли.

5.Определить массу mм одной молекулы углекислого газа.

6.Определить концентрацию n молекул кислорода, находящегося в сосуде

вместимостью V=2 л. Количество вещества n кислорода равно 0.2 моль.

7.Определить количество вещества n водорода, заполняющего сосуд объемом V=3 л, если концентрация молекул газа в сосуде n=2×1018 м-3.

8.В баллоне вместимостью V=3 л содержится кислород массой m=10 г. Определить концентрацию молекул газа.

9.Определить относительную молекулярную массу Мr: воды, углекислого газа, поваренной соли.

10.Определить количество вещества n и число N молекул азота массой m=0.2 кг.

11.Какую температуру Т имеет масса m=2 г азота, занимающего объем V=820 см3 при давлении р=0.2 МПа?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ν2 =2×103 м/с.

44

12.В баллоне находится газ при температуре Т1=400 К. До какой температуры Т2 надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1.5 раза?

13.Какой объем V занимает масса m=10 г кислорода при давлении р=100 кПа и температуре t=20 С?

14.В баллоне вместимостью V=15 л находится аргон под давлением р1=600 кПа и при температуре Т1=300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р2=400 кПа, а температура установилась Т2=260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

15.Баллон объемом V=12 л наполнен азотом при давлении Р=8.1 МПа и температуре t=17 С. Какая масса m азота находится в баллоне?

16.Баллон вместимостью V=20 л заполнен азотом при температуре Т=400 К. Когда

часть азота израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dр=200 кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.

17.Давление воздуха внутри плотно закрытой бутылки при температуре t1=7 С было Р1=100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке р=130 кПа?

18.Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление

р1=2 МПа, Т2=200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т=200 К. Определить установившееся в сосудах давление р.

19.Каким должен быть наименьший объем V баллона, вмещающего массу m=6.4 кг кислорода, если его стенки при температуре t=20 С выдерживают давление р=15 МПа?

20.В баллоне находилась масса m1=10 кг газа при давлении р1=10 МПа. Какую массу

Dm газа взяли из баллона, если давление стало равным р2=2.5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

21.Гелий в количестве n=1.5 моль находится при температуре Т=120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул этого газа.

22.Найти энергию Wвр. вращательного движения молекул, содержащихся в азоте массой m=1 кг при температуре t=7 С.

23.Найти внутреннюю энергию кислорода массой m=20 г при температуре t=10 С.

Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть на долю вращательного движения?

24.Найти внутреннюю энергию U двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом V=2 л под давлением р=150 кПа.

25.Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую

энергию <e> молекулы этого газа при температуре Т=300 К, если количество вещества n этого газа равно 0.5 моль.

26. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объем

V=20 л, равна W=5 кДж, а средняя квадратичная скорость его молекул Найти массу m азота в баллоне и давление р, под которым он находится.

27. Молярная внутренняя энергия Um некоторого двухатомного газа равна 6.02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию <eвр> вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

28.Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0.25 г водорода при температуре 13оС.

29.Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы неона, кислорода и водяного пара при температуре 600 К.

30.При какой температуре газа средняя кинетическая энергия <eп> поступательного движения молекулы газа равна 4.14×10-21 Дж?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

45

31.В сосуде вместимостью V=6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.

32.Удельная теплоемкость двухатомного газа Ср=14.7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу М этого газа.

33.Определить относительную молекулярную массу Мr и молярную массу М газа, если разность его удельных теплоемкостей ср-сv=2.08 кДж/(кг К).

34.Найти удельную теплоемкость Ср: а) хлористого водорода; б) неона; в) окиси азота; г) окиси углерода; д) паров ртути.

35.Трехатомный газ под давлением р=240 кПа и температуре t=20 С занимает объем V=10 л. Определить теплоемкость Ср этого газа при постоянном давлении.

36.Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях р=1.43 кг/м3. Найти удельные теплоемкости Сv и Ср этого газа.

37.Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V=5 л. Вычислить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.

38.Молярная масса некоторого газа М=0.03 кг/моль, отношение Ср/Cv=1.4. Найти удельные теплоемкости Сv и Cр этого газа.

39.Найти удельные сv и ср и молярные Сv и Ср теплоемкости азота и гелия.

40.Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса М=4×10-3 кг/моль и отношение теплоемкостей Ср/Cv=1.67.

41.Какова средняя арифметическая скорость <v> молекул кислорода при нормальных условиях, если известно, что средняя длина свободного пробега <l> молекулы кислорода при этих условиях равна 100 нм?

42.Найти среднюю длину свободного пробега l молекул углекислого газа при температуре t=100 С и давлении р=13.3 Па. Диаметр молекул углекислого газа d=0.32 нм.

43.Найти среднюю длину свободного пробега l молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d=0.3 нм.

44.Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул углекислого газа

при температуре t=100 С, если средняя длина свободного пробега l=870 мкм.

45.Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул азота при давлении р=53.33 кПа и температуре t=27 С.

46.В сосуде объемом V=0.5 л находится кислород при нормальных условиях. Найти общее число столкновений Z между молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени.

47.Во сколько раз уменьшится число столкновений z в единицу времени молекул двухатомного газа, если объем газа адиабатически увеличить в 2 раза?

48.Найти среднюю длину свободного пробега l молекул азота при давлении р=10 кПа

итемпературе t=17 С.

49.Найти длину свободного пробега l атомов гелия, если известно, что плотность гелия r=0.021 кг/м3.

50.Найти среднюю длину свободного пробега l молекул водорода при давлении р=0.133 Па и температуре t=50 С.

51. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от р1=50 кПа до р2=0.5 Мпа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление р3 газа в конце процесса.

52.Определить количество теплоты Q, которое надо сообщить кислороду объемом V=50 л при его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на Dр=0.5 Мпа.

53.Кислород массой m=200 г занимает объем V1=100 л и находится под давлением р1=200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема V2=300 л,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

46

а затем его давление возросло до р3=500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии U газа, совершенную газом работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

54. При изотермическом расширении азота при температуре азота при температуре Т=280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа работу А; 2) изменение U внутренней энергии; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азота m=0.2 кг.

55.Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества ν=0.4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит количество теплоты Q=800 Дж? Температура водорода Т=300 К.

56.Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода массой m=5 г, взятого при температуре Т=290 К, если объем газа увеличивается в три раза?

57.Какая доля ω1 количества теплоты Q, подводимого к идеальному двухатомному

газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение U внутренней энергии газа и какая доля ω2 расходуется на работу по расширению газа? Рассмотреть три случая, если газ:

1)одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.

58.Определить работу, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении

сообщить количество теплоты Q=21 кДж. Найти изменение U внутренней энергии газа.

59.Объем водорода при изотермическом расширении при температуре Т=300 К увеличился в n=3 раза. Определить работу А, совершаемую газом, и теплоту Q, полученную при этом. Масса m водорода равна 200 г.

60.Азот массой m=0.1 кг был изобарно нагрет от температуры Т1=200 К до температуры Т2=400 К. Определить работу А, совершенную газом, полученную им теплоту

Q и изменение U внутренней энергии азота.

61.Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя Т1=500 К, температура холодильника Т2=250 К. Определить термически КПД η цикла, а также работу А1 рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа А2=70 Дж.

62.Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за цикл получает от

нагревателя количество теплоты Q1=2.512 кДж. Температура нагревателя Т1=400 К, температура холодильника Т2=300 К. Найти работу А, совершаемую машиной за один цикл,

иколичество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за один цикл.

63.Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах холодильника Т2=290 К и

нагревателя Т1=400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла, если температура нагревателя возрастет до Т1/=600 К?

64. Во сколько раз увеличился коэффициент полезного действия η цикла Карно при повышении температуры нагревателя от Т1=380 К до Т1/=560 К? Температура холодильника

Т2=280 К.

65. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А=2.94 кДж и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты Q2=13.4 кДж. Найти КПД η цикла.

66.Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q1=84 кДж. Определить работу А газа, если температура Т1 нагревателя в три раза выше температуры Т2 холодильника.

67.Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А=73.5 кДж. Температура нагревателя t1=100 С, температура холодильника t2=0 С.

Найти КПД η цикла, количество теплоты Q1, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

47

68.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 нагревателя в четыре раза (n=4) больше температуры холодильника. Какую долю ω количества теплоты, полученной за один цикл от нагревателя, газ отдаст холодильнику?

69.Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80% количества теплоты, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Машина получает от

нагревателя количество теплоты Q1=6.28 кДж. Найти КПД η цикла и работу А, совершаемую за один цикл.

70. Определить работу А2 изотермически сжатого газа, совершающего цикл Карно, КПД которого η=0.4, если работа изотермического расширения равна А1=8 Дж.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

48

Приложение

1 Основные физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная	Числовые значения
Нормальное ускорение свободного падения	9.81 м/с2
Гравитационная постоянная	6.67×10-11м3/(кг×с)2
Постоянная Авогадро	6.02×1023моль-1
Молярная газовая постоянная	8.31 Дж/(моль×К)
Постоянная Больцмана	1.38×10-23Дж/К
Объем одного моля идеального газа при	22.4×10-3м3/моль
нормальных условиях	1.60×10-19 Кл
Элементарный заряд
Масса покоя электрона	9.1×10-31 кг
Постоянная Фарадея	9.65 Кл/моль
Скорость света в вакууме	3×108 м/с
Постоянная Стефана Больцмана	5.67×10-8 Вт/(м2×К4)
Постоянная Вина в первом законе	2.89×10-3 м×К
(смещения)	1.30×10-5 Вт/(м3××К5)
Постоянная Вина во втором законе
Постоянная Планка	6.625×10-34 Дж×с
Комптоновская длина волны электрона	2.43×10-12 м
Электрическая постоянная	8.85×10-12 Ф/м
Магнитная постоянная	4p×10-7 Гн/м
Атомная единица массы	1.660×10-27 кг
2 Некоторые астрономические величины
Радиус Земли (среднее значение)	6.37×106 м
Масса Земли	5.96×1024 кг
Радиус Солнца (среднее значение)	6.95×108 м
Масса Солнца	1.98×1030 кг
Радиус Луны (среднее значение)	1.74×106 м
Масса Луны	7.33×1022 кг
Среднее расстояние между центрами Земли	3.84×108 м
и Луны	1.5×1011 м
Среднее расстояние между центрами Солнца
и Земли

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			49
		3 Плотность жидкостей r, кг/м3
Вода (при 4оС)						1×103
	Глицерин					1,26×103
	Керосин					0,8×103
	Масло					0,9×103
	Ртуть					13,6×103
	Спирт					0,8×103
4 Плотность газов (при нормальных условиях), кг/м3
		Азот				1,25
	Аргон					1,78
	Водород					0,09
	Воздух					1,29
	Гелий					0,18
	Кислород					1,43
5 Плотность r, модуль упругости (модуль Юнга) Е,
		коэффициент линейного расширения
(среднее значение) α некоторых твердых тел
Твердое тело		r,кг/м3			Е, Па		a, К-1
Алюминий		2.7×103		7.0×1010			24×10-6
Вольфрам		19.75×103		41.1×1010			4.3×10-6
Железо (сталь)		7.85×103		22.0×1010			11.9×10-6
Константан		8.9×103		21.0×1010			17.0×10-6
Лед		0.92×103		0.28×1010
Медь		8.8×103		12.98×1010			16.7×10-6
Никель		8.8×103		20.4×1010			13.4×10-6
Нихром		8.4×103		-			-
Фарфор		2.3×103		-			3×10-6

6 Скорость звука в веществе (при 15оС), м/с

Бериллий	12500
Воздух	340
Вода	1450
Воск	390

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

50

7 Подвижность ионов в электролитах, м2/(В×с)

NO3-	6.4×10-8
H+	3.26×10-7
K+	6.7×10-8
Cl-	6.8×10-8
Ag+	5.6×10-8
8 Эффективный диаметр молекулы газов d, м
Азот	3.1×10-10
Аргон	3.6×10-10
Воздух	3.0×10-10
Водород	2.3×10-10
Углекислый газ	4.0×10-10
Гелий	1.9×10-10
Кислород	2.9×10-10
9 Удельная теплота плавления l, Дж/кг
Лед	33.5×104
Свинец	2.3×104
10 Удельная теплота парообразования r, Дж/кг
Вода	22.5×105
Эфир	6.68×105
11 Удельная теплоемкость с, Дж/(кг×К)
Вода	41.9×102
Лед	21.0×102
Нихром	2.20×102
Свинец	1.26×102
12 Удельное сопротивление r, Ом×м
Вольфрам	5.5×10-8
Железо	9.8×10-8
Никелин	40.0×10-8
Нихром	110.0×10-8
Медь	1.7×10-8
Серебро	1.6×10-8

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com