3126 Моделирование контрольная

u[i,0]:=u[0,0]+du*i; du:=(u[i5,j6]-u[0,j6])/i5; for i:=1 to i5-1 do

u[i,j6]:=u[0,j6]+du*i; du:=(u[i5,j6]-u[i5,0])/j6; for j:=1 to j6-1 do

u[i5,j]:=u[i5,0]+du*j; for i:=1 to n do

for j:=1 to n do a[i,j]:=0;

for i:=1 to n do b[i]:=0;

for i:=1 to i5-1 do for j:=1 to j6-1 do

begin k:=(j6-1)*(i-1)+j; a[k,k]:=-4; i1:=i-1;

if i1=0 then b[k]:=b[k]-u[i1,j]

else begin m:= (j6-1)*(i1-1)+j; a[k,m]:=1; end;

i1:=i+1;

if i1=i5 then b[k]:=b[k]-u[i1,j]

else begin m:= (j6-1)*(i1-1)+j; a[k,m]:=1; end;

j1:=j-1;

if j1=0 then b[k]:=b[k]-u[i,j1]

else begin m:= (j6-1)*(i-1)+j1; a[k,m]:=1; end;

j1:=j+1;

if j1=j6 then b[k]:=b[k]-u[i,j1]

else begin m:= (j6-1)*(i-1)+j1; a[k,m]:=1; end;

end;

for k:=1 to n-1 do begin

if abs(a[k,k])< eps then

begin ShowMessage(' a[k,k]=0'+inttostr(k)); exit end; for i:=k+1 to n do

begin

if abs(a[i,k])< eps then continue; h:=a[i,k]/a[k,k];

a[i,k]:=0.0;

for j:=k+1 to n do a[i,j]:=a[i,j]-h*a[k,j];

b[i]:=b[i]-h*b[k]; end;

end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

for k:=n-1 downto 1 do begin

s:=0.0;

for j:=k+1 to n do begin

if abs(a[k,j])<eps then continue; s:=s+a[k,j]*x[j];

end; x[k]:=(b[k]-s)/a[k,k];

end;

for i:=1 to i5-1 do for j:=1 to j6-1 do

31

begin k:=(j6-1)*(i-1)+j; u[i,j]:=x[k] end; end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject); begin

windowstate:=wsmaximized;

StringGrid1.ColCount:=j6+1; StringGrid1.RowCount:=i5+1; StringGrid1.DefaultColWidth:=36; StringGrid1.DefaultRowHeight:=18; Image1.Width:=(j6+1)*j6; Image1.Height:=(i5+1)*i5; Image1.Canvas.Brush.Color:=clwhite; Button2.Enabled:=false;

end;

// Вычисление масштабирующего коэффициента цвета точек графика procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var umax:real; i,j:byte; begin

Lap( u00,u50,u06,u56,u); umin:=u[0,0]; umax:=u[0,0]; for i:=0 to i5 do

for j:=0 to j6 do begin

if u[i,j] < umin then umin:=u[i,j]; if u[i,j] > umax then umax:=u[i,j];

end;

scale:=250.0/(umax-umin); wrt_u; Button1.Enabled:=false; Button2.Enabled:=true;

end;

// Вычисление функции в пределах участков и построение картины поля procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

const im=i5*(i5+1); jm=j6*(j6+1);

var i,j,ibeg,jbeg,color:integer; it,jt,k:byte; ut:array [0..im,0..jm] of byte;

begin

for i:=0 to i5-1 do for j:=0 to j6-1 do

begin

Lap( u[i,j],u[i+1,j],u[i,j+1],u[i+1,j+1],unew); ibeg:=(i5+1)*i; jbeg:=(j6+1)*j;

for it:=0 to i5 do for jt:=0 to j6 do

ut[it+ibeg,jt+jbeg]:= round((unew[it,jt]-umin)*scale); ProgressBar1.Position:=(ibeg*100) div im;

end;

for i:=0 to im do for j:=0 to jm-1 do

begin k:=ut[i,j];

if ((k mod 25 = 0) and (ut[i,j+1] <> k)) then color:=clwhite else color:=RGB(k,0,255-k); Form1.Image1.Canvas.Pixels[j,i]:=color;

end;

Button2.Enabled:=false;

end;

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject); begin

Application.Terminate;

end;

end.

32

Задания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Математическое моделирование систем и процессов»

Контрольная работа связана с моделированием электрических цепей в различных режимах и выполняются согласно индивидуальному варианту средствами математического пакета Mathcad и пакета схемотехнического моделирования Micro-cap, при этом должны быть получены совпадающие результаты в пределах точности, обеспечиваемой системой.

Задание 1. Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Электрическая цепь представляет собой мостовую схему, содержащую шесть ветвей и четыре узла, из которых один заземлен (см. МУ №1099, работа 3, задание 1, стр.11, МУ №1448, работа 1-1, задания 1 и 2, стр. 16).

Исходные данные определяются тремя последними цифрами шифра (или номера зачетной книжки) по следующим формулам:

•напряжение источника ЭДС E = 30 + Z (В);

•внутреннее сопротивление источника R0 = 40 + Y (Ом);

•сопротивления в плечах моста R1 = R4 = 99 – X (Ом), R2 = R3 = 101 + X (Ом);

•сопротивление в диагонали моста (нагрузка) R5 = 200 + 10 Y + Z (Ом).

Здесь	Z – последняя цифра, Y – предпоследняя цифра,	X – третья справа цифра
шифра.
Например, если шифр студента 05-3150, то Z = 0, Y = 5,		X = 1, и исходные данные
для данного студента будут такими:
E = 30 (В),	R0 = 45 (Ом), R1 = R4 = 98 (Ом), R2 = R3 = 102 (Ом), R5 = 250 (Ом).

Требуется найти токи во всех ветвях, напряжение в узлах относительно нулевого, провести баланс мощностей, развиваемой источником и рассеиваемой на резисторах, и построить график зависимости мощности в нагрузке от величины нагрузочного сопротивления R5.

Порядок выполнения

1.Рассчитать значения параметров электрической цепи по трем последним цифрам шифра. Привести эскиз принципиальной схемы, пронумеровать узлы (кроме нулевого), ввести обозначения для резисторов, напряжений и токов, указав стрелками выбранные направления токов. Выбрав в качестве неизвестных токи в ветвях, на основании закона Ома и законов Кирхгофа, составить систему линейных алгебраических уравнений шестого порядка, используя принятые обозначения для резисторов и токов. Записать матрицу коэффициентов левой части системы и вектор свободных членов.

2.Запустить Mathcad, присвоить параметрам схемы требуемые значения, с помощью матричной панели сформировать квадратную матрицу коэффициентов левой части системы и вектор-столбец свободных членов. Решить систему линейных алгебраических уравнений одним из возможных в системе Mathcad способом и вывести значения корней системы.

3.Вычислить мощность, развиваемую источником ЭДС и суммарную мощность, рассеиваемую всеми резисторами. Убедиться в выполнении баланса мощностей.

4.Составить Mathcad-функцию зависимости мощности в нагрузке от величины нагрузочного сопротивления R5. Построить график указанной зависимости. Определить, при каком сопротивлении нагрузки мощность в ней принимает наибольшее значение.

33

5.Запустить Micro-cap и выполнить задание 1 работы 1-1 МУ №1448 (стр. 16) при тех же значениях схемных параметров. Убедиться в совпадении результатов, полученных средствами пакетов Mathcad и Micro-cap.

6.Оформить отчет по выполненной части работы, включив в него принципиальные схемы, исходные данные, математическую модель в исходном и матричном виде, подробные комментарии, числовые результаты с указанием размерностей используемых величин, графики и выводы по всем пунктам данного задания.

Задание 2. Исследование частотных характеристик последовательного контура

Последовательный контур состоит из	емкости C, индуктивности L и
сопротивления R, а также источника гармонического сигнала с амплитудным значением

напряжения E = 1 + j·0 (В) переменной частоты. Принципиальная схема

последовательного контура изображена на стр. 22					МУ № 1099, работа 5, задание 1, и на
стр. 20	МУ № 1448, работа 2-1.
Индивидуальные варианты заданий определяются тремя последними цифрами
шифра (или номера зачетной книжки) по следующим формулам:
•	сопротивление	R = 5 + 0,1 · X (Ом);
•	индуктивность	L = (3 + 0,1 ·Y) ·10-3		(Гн);
•	емкость	C = (2 + 0,1 · Z) ·10-6		(Ф).
Здесь Z – последняя цифра, Y – предпоследняя цифра, X – третья справа цифра
шифра.
Например, если шифр студента			05-3150, то X = 1, Y = 5, Z = 0, и исходные
данные для расчета электрической цепи по этому варианту будут такими:
R = 5,1 (Ом), L = 3,5·10-3 (Гн),			C = 2 ·10-6		(Ф).

Требуется средствами пакетов Mathcad и Micro-cap провести частотный анализ последовательного контура, построить графики АЧХ и ФЧХ (фазу указать в градусах).

Определить резонансную частоту, полосу пропускания и добротность контура.

Порядок выполнения

1. Рассчитать значения параметров последовательного контура по трем последним цифрам шифра. Зарисовать принципиальную схему электрической цепи и, используя закон Ома и выражение для полного комплексного сопротивления последовательно соединенных R, L, C,

Z = R + j (ω L − ω1C ) ,

вычислить с помощью калькулятора комплексную амплитуду тока в контуре на частоте f = 2000 Гц, комплексные амплитуды напряжения на R, L и C на этой частоте, определить амплитуду и фазу тока и напряжений. Результаты вычислений занести в таблицу и построить на миллиметровой бумаге векторные диаграммы тока и напряжений на всех двухполюсниках.

2. Запустить Mathcad, присвоить в программе параметрам схемы требуемые значения в соответствии с индивидуальным вариантом (частоту задавать не нужно, т.к. она указывается на оси абсцисс при построении графика). Составить функции

34

вычисления комплексной амплитуды тока в последовательном контуре и комплексной амплитуды напряжения на сопротивлении в зависимости от частоты

F1( f ) = E / (R + j (2 π f L −

F 2( f ) = F1( f ) R .

2 π 1f C )) ;

3.Считая выходным сигналом напряжение на сопротивлении R, построить графики АЧХ и ФЧХ в диапазоне частот, охватывающем резонансную кривую (от 1000

до 3000 Гц).

Указание. Для вычисления модуля комплексного числа используются вертикальные скобки на панели арифметических выражений, а для вычисления фазы – встроенная функция arg.

Фазу следует преобразовать из радиан в градусы.

4.Найти значение резонансной частоты, определить полосу пропускания и добротность Q. Найти зависимость полосы пропускания и добротности от величины сопротивления R, изменяя его в пределах от 2 до 10 Ом с шагом 2 Ома. Результаты расчетов свести в таблицу.

5.Запустить Micro-cap и выполнить работу 2-1 МУ №1448, присвоив параметрам последовательного контура значения, соответствующие индивидуальному варианту.

6.Убедиться в совпадении результатов, полученных средствами пакетов Mathcad и Micro-cap, а также соответствие результатов расчета, выполненных ручным и машинным способом.

Задание 3. Анализ переходного процесса в электрической цепи

Объектом исследования являются электрическая цепь, схема которой изображена на стр. 36 МУ № 1099, работа № 8. Расчет переходного процесса в цепи при входном воздействии в виде единичного скачка (функции Хевисайда) осуществляется вначале операторным методом средствами пакета Mathcad, математическое описание этого метода приведено на стр.38 МУ № 1099 (работа 8, задание 2), и затем средствами пакета Micro-cap. При этом рекомендуется использовать методику анализа переходного процесса на примере по работе 3-1, МУ № 1448, стр. 24. При анализе переходного процесса используются нулевые начальные условия.

Значения элементов исследуемой цепи определяются тремя последними цифрами шифра по следующим формулам:

•сопротивление R1 = 50 + X (Ом);

•сопротивление R2 = 2 + 0,1 · X (Ом);

•	индуктивность L = (1 + 0,1·Y) ·10-2 (Гн);
•	емкость C = (5 + 0,1· Z) ·10-6 (Ф).

Здесь Z – последняя цифра, Y – предпоследняя цифра, X – третья справа цифра шифра.

Например, если шифр студента 05-3150, то X = 1, Y = 5, Z = 0.

Исходные данные для расчета электрической цепи по этому варианту будут

такими:

R1 = 51 (Ом), R2 = 2,1 (Ом), L = 1,5 ·10-2 (Гн), C = 5 ·10-6 (Ф).

Требуется составить математическую модель и провести анализ переходного процесса в цепи при входном воздействии в виде единичного скачка средствами пакетов Mathcad и Micro-cap с представлением результатов в графическом виде.

35

Порядок выполнения задания

1.Рассчитать значения параметров первой схемы по трем последним цифрам шифра. Начертить принципиальную схему, ввести обозначения для мгновенных значений тока в индуктивности и напряжения на емкости. Получить математическую модель в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений временного аргумента второго порядка относительно переменных состояния (тока в индуктивности и напряжения на емкости). Перейти от оригиналов функций к их изображениям по Лапласу. При этом система обыкновенных дифференциальных уравнений преобразуется

всистему алгебраических уравнений, зависящих от комплексной переменной р. Представить полученную систему в матричном виде, составив характеристическую матрицу и вектор свободных членов.

2.Запустить Mathcad, присвоить параметрам схемы требуемые значения, сформировать операторную матрицу коэффициентов левой части A(p) и вектор свободных членов B(p) по методике, изложенной в задании 2 на стр. 38 МУ № 1099.

Указание. Изображение по Лапласу единичного скачка E(p) = 1/p.

3.	Решить систему алгебраических уравнений методом обратной матрицы:
X(p) := A(p)-1·B(p).
4.	Пользуясь модулем символьных вычислений, с помощью встроенных функций

float, simplify и collect получить из вектор-функции X(p) изображения для зависимых переменных (тока в индуктивности IL(p) и напряжения на емкости UC(p)).

5. Получить оригиналы зависимых переменных il(t) и uc(t), выполнив обратное преобразование Лапласа с помощью встроенной функции invlaplace.

Указание. Функция float задает количество цифр в изображении выводимых чисел.

6.Построить графики полученных зависимостей в функции времени и пояснить их характер.

7.Запустить Micro-cap и провести анализ переходного процесса в цепи при тех же значениях исходных данных, используя в качестве примера работу 3-1 МУ № 1448, стр. 24.

8.Сопоставить результаты моделирования, выполненные средствами Mathcad и Micro-cap, которые должны совпадать.

Оформить отчет с описанием всех этапов. Текстовая часть контрольной работы может быть выполнена путем компьютерного набора или написана от руки разборчивым почерком.

36