П.2. Статистическое определение вероятности события.

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.

Во многих случаях более удобным оказывается статистическое определение вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.Относительная частота (частость) появления события – это отношение числапоявлений событияв серии изопытов к числу испытаний.

Относительная частота вычисляется по формуле:

.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из испытаний, когда числосравнительно мало, относительная частотапринимает значения, которые могут сильно отличаться друг от друга. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. с увеличением числа испытаний в сериях относительная частотаколеблется около некоторого постоянного числа, причем эти отклонения тем меньше, чем дольше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания (выбросы).

Вероятностью события в статистическом смысле называется число , относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частотапри неограниченном увеличении числа опытов.

Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний. Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Поэтому, в практических задачах за вероятность события принимается относительная частотапри достаточно большом числе испытаний.

Легко убедиться, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, в соответствии со сказанным следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Естественно, наступает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было считать невозможным наступление некоторого события в единичном испытании? Ответ на него не однозначен и зависит от тех потерь, которые будут иметь место, если это событие все-таки произойдет. Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают.

П.3. Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Приведем формальное определение вероятностей для испытаний с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть областью , а под событиемможно понимать исходы, входящие в область.

Пусть на область наугад бросается «точка». Какова вероятность того, что эта точка попадет в область, являющуюся частью области?

1. Пусть отрезок , длину которого обозначим как, составляет часть отрезкадлина которого. На отрезокнаудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

• поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;

• вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка.

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством.

2. Пусть плоская фигура с площадьюсоставляет часть плоской фигуры, площадь которой. На фигурунаудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

• брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры ;

• вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры, ни от формы.

В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру определяется равенством.

3. Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема, содержащую областьобъема:.

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом.

Пусть – некоторое множество (базис), а–-алгебра его подмножеств. Функция называется мерой, на, если она удовлетворяет условиям:

• Для любого множества его мера неотрицательна:;

• Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств мера их суммы равна сумме их мер:– свойство счетной аддитивности.

Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через, а меру области– через; обозначим черезсобытие «попадание брошенной точки в область, которая содержится в области_». Вероятность события , т.е. вероятность попадания в областьточки, брошенной в область, определяется формулой:

.