П. 4 Интервальное оценивание параметров

Точечные оценки неизвестного параметра θ хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой точностью они дают оцениваемый параметр. Для выборок небольшого объёма вопрос о точности оценок очень существенен, так как между θ и может быть большое расхождение в этом случае. Кроме того, при решении практических задач часто требуется определить и надёжность этих оценок. Тогда и возникает задача о приближении параметраθ не одним числом, а целым интервалом .

Задачу о нахождении интервала , внутри которого с вероятностьюр находится точное значение оцениваемого параметра θ называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным.

Для её решения заранее выбирают число ,, называемое коэффициентом доверия (или уровнем значимости), и находят два других числаθ₁ и θ₂, зависящих от оценки θ, так что

. (12)

Число называетсядоверительной вероятностью (или надёжностью), с которой оцениваемый параметр θ покрывается интервалом . В связи с этим говорят, что доверительный интервалнакрывает оцениваемый параметр с вероятностьюили вслучаев. Границыθ₁ и θ₂ доверительного интервала называютдоверительными. От доверительных интервалов, основанных на всех возможных выборках объёма n, ожидается, что их содержит истинное значениеθ.

Величина выбирается заранее, её выбор зависит от конкретно решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надёжности самолёта, очевидно, должна быть выше степени доверия покупателя к надёжности телевизора, лампочки, игрушки… На практике обычно выбирают значения=0,1; 0,05; 0,001, что соответствует 90-, 95- и 99%-ным доверительным интервалам соответственно.

В прикладных статистических задачах длина доверительного интервала играет важную роль: чем меньше его длина, тем точнее оценка. Если длина этого интервала велика, то ценность такой оценки незначительна.

Выведем формулу для вероятности попадания случайной величины, распределённой по нормальному закону в данный интервал. Поскольку плотность распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины есть

,

а вероятность попадания случайной величины в интервал равна, то искомая вероятность

.

Введём замену . Отсюда, следовательно. Получим:

, (13)

где Ф – функция Лапласа.

В частности, если интеграл симметричен относительно математического ожиданияm, т.е. и, то формула (13) в силу нечётности функцииприводится к виду

. (14)

П.5. Доверительный интервал для математического ожидании при известной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности.

Пусть независимые случайные величины X_i, , распределены по нормальному закону, причём дисперсияизвестна. Найдём доверительный интервал, который с заданной надёжностью γ покрывает параметрm (т.е. математическое ожидание).

Как известно (см. параграф 3.3 (текущий параграф), п.2., Теорема 1.), наилучшей оценкой математического ожидания m является выборочное среднее , имеющее нормальное распределение. Будем рассматривать выборочное среднеекак случайную величину(изменяется от выборки к выборке). Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

,

где γ – заданная надёжность.

Пользуясь формулой (14), заменив в ней X на и σ на, получим

,

где .

Найдя из последнего равенства , можем написать

.

Приняв во внимание, что вероятность P задана и равна γ, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через)

.

Таким образом, доверительный интервал для оценки с надёжностью γ математического ожидания m нормально распределённого признака X имеет вид:

, (15)

где - точность оценки,n – объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа , при котором.