П.6. Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента.

Пусть X₁, X₂, …, X_n – независимые нормально распределённые по закону N(0, 1) случайные величины и . Закон распределения случайной величиныназываетсяхи-квадрат распределением с n степенями свободы или - распределением Пирсона.

Случайная величина имеет плотность вероятностей

где - гамма-функция.

Математическое ожидание и дисперсия распределения соответственно равны:

, .

Определим теперь понятие р-квантильи случайной величины X.

Квантилью отвечающей вероятности р или р-квантилью называется значение x=x_p случайной величины X, при котором

,

где F(x) – функция распределения случайной величины X.

Например, квантиль есть медианаМе(X). Квантили x_p и x_1-p называются симметричными. Если распределение симметрично относительно нуля, то x_p= - x_1-p.

Для -распределения сn степенями свободы p-квантиль обозначается .

Пусть U и V – независимые случайные величины, причём U – нормально распределённая случайная величина по закону N(0, 1), а V – имеет хи-квадрат распределением сn степенями свободы. Можно показать, что случайная величина имеет плотность вероятностей

, . (16)

Распределение вероятностей случайной величины Т с плотностью (16) называется распределением Стьюдента с n степенями свободы или t распределением Стьюдента.

Графики функции (16) называются кривыми Стьюдента. При любом n они симметричны относительно оси ординат, поэтому при любом n математическое ожидание M(Т)=0. Дисперсия случайной величины Т равна . Можно показать, что приплотность вероятностей распределения Стьюдента (16) сходится к плотности вероятностей нормального распределенияN(0, 1), причём, уже при n>30 распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением.

П.7. Доверительный интервал для математического ожидании случайные величины, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии.

Пусть требуется оценить математическое ожидание генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии. Для выборкивыборочное среднееимеет нормальное распределение. Рассмотрим случайные величины:

и ,

где - выборочная дисперсия.

При этом M(U)=0 и D(U)=1 (т.е. случайная величина U распределена по нормальному закону N(0, 1)), а случайная величина имеет распределение.

Так как инезависимые случайные величины, то случайная величина

(17)

имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, которое не зависит от дисперсии генеральной совокупности.

Для распределения Стьюдента по выбранной доверительной вероятности и числу степеней свободыn-1 можно найти такое (определяется по таблице), для которого выполняется условие. Подставив вместоТ выражение (17) и разрешив полученное неравенство относительно m, получим:

.

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания m нормального закона распределения с неизвестной дисперсией имеет вид

. (18)

П.8 Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Пусть независимые случайные величины X_i, , распределены по нормальному законупри неизвестной дисперсии, надёжность γ - задана. Можно показать, что еслиM(X)=m известно, то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ имеет вид:

,

где n – объем выборки, , а

;

являются квантилями -распределения сn степенями свободы, определяемые по таблице квантилей распределения(см. приложение3).

Если M(X)=m неизвестно, то доверительный интервал для неизвестной дисперсии имеет вид:

,

где n – объем выборки, исправленная (или модифицированная) дисперсия, квантили

;

Определяются по таблице прииисоответственно.

11