1.1.4. Периодические последовательности

Другой важный класс двумерных последовательностей составляют периодические дискретные сигналы. Двумерную периодическую последовательность, как и ее одномерный аналог, можно рассматривать как сигнал, регулярно повторяющийся в пространстве. Однако, если учесть, что двумерный сигнал должен повторяться сразу в двух направлениях, формальное определение периодической двумерной последовательности оказывается сложнее определения периодической одномерной последовательности. Формулировку общего определения начнем с частного случая.

Рассмотрим двумерную последовательность , удовлетворяющую следующим условиям:,.                (1.15б)

Эта последовательность обладает двойной периодичностью; ее значения повторяются, если переменная увеличивается наили если переменнаяувеличивается на. На рис. 1.6 приведено изображение такой последовательности. Величиныи, представляющие минимальные положительные целые числа, для которых справедливы выражения (1.15), назовем горизонтальным и вертикальным интервалами периодичности последовательности.

Рис. 1.6. Двумерная периодическая последовательность с .

Из всех отсчетов только отсчетов последовательностиоказываются независимыми; остальные отсчеты определяются условиями периодичности. Будем называть периодом последовательностилюбую связную область плоскости, содержащую точноотсчетов, если значения этих отсчетов независимы. Часто наиболее удобной формой периода является прямоугольник, однако это не единственная возможность. Например, область, заштрихованную на рис. 1.7, также можно рассматривать как один период периодической последовательности.

Рис. 1.7. Двумерная периодическая последовательность с периодом неправильной формы.

Теперь рассмотрим двумерную последовательность , которая удовлетворяет более общим условиям периодичности:,,                (1.16б)

причем .       Упорядоченные парыиможно рассматривать как векторыи, представляющие собой смещения от любого отсчета к соответствующим отсчетам двух других периодов (штрих обозначает операцию транспонирования, преобразующую упорядоченную пару в вектор-столбец). Один период такой последовательности заключен в области, имеющей форму параллелограмма, смежные стороны которого образованы векторамии. Читателю предлагается доказать, что число отсчетов в этой области равно. На рис. 1.8 представлена двумерная периодическая последовательность си.

Рис. 1.8. Периодическая последовательность с векторами периодичности и.

Понятие периодичности легко обобщается на случай -мерных сигналов. Для простоты обозначим черезупорядоченную группу изцелочисленных переменных. Тогдапредставляет собой-мерную периодическую последовательность при условии, что существуюттаких линейно независимых-мерных целочисленных векторов, что,.                 (1.18)

Векторы называются векторами периодичности, их можно использовать в качестве столбцов матрицыразмерностью, называемой матрицей периодичности:.                                  (1.19)

Требование линейной независимости векторов периодичности эквивалентно требованию наличия у матрицы ненулевого определителя. В частном случае, когда- диагональная матрица, можно сказать, что последовательностьпрямоугольно периодична. Именно этот частный случай был рассмотрен выше.

Если периодична с матрицей периодичности, то для любого целочисленного вектора.                                         (1.20)

Отсюда следует, что если - некоторая целочисленная матрица, тотакже будет матрицей периодичности для. Таким образом, любая периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности. Между прочим, можно отметить, что абсолютное значение определителя матрицы периодичности дает число отсчетов последовательности, содержащееся в одном периоде. Это обстоятельство будет использовано в гл. 2, в которой рассматривается-мерное дискретное преобразование Фурье.

3. Области маскировки сигналов узкополосной шумовой помехой

Полезно: Мамчев основы цифрового ТВ, стр 126, эффект маскирования

Катунин аудиовизуальные средства информации стр 411 эффект маскировки – лапа!

Эффект маскировки

В определённых случаях один звук может быть скрыт другим звуком. Например, разговор рядом с железнодорожными путями может быть совершенно невозможен, если мимо проезжает поезд. Этот эффект называется маскировкой. Говорят, что слабый звук маскируется, если он становится неразличимым в присутствии более громкого звука.

МАСКИРОВКА ЗВУКА - явление, заключающееся в ухудшении слышимости одного звука (сигнала) в присутствии др. звуков (помех).

несколько видов маскировки: одновре́менное (моноуральное) маскирование; вре́менное (неодновременное) маскирование

Одновременная маскировка

Любые два звука при одновременном прослушивании оказывают влияние на восприятие относительной громкости между ними. Более громкий звук снижает восприятие более слабого, вплоть до исчезновения его слышимости. Чем ближе частота маскируемого звука к частоте маскирующего, тем сильнее он будет скрываться. Эффект маскировки не одинаков при смещении маскируемого звука ниже или выше по частоте относительно маскирующего. Более низкочастотный звук сильнее маскирует высокочастотный. При этом важно отметить, что высокочастотный звук не может маскировать низкочастотный звук.

Вре́менная маскировка

Это явление похоже на частотную маскировку, но здесь происходит маскировка во времени. При прекращении подачи маскирующего звука маскируемый некоторое время продолжает быть неслышимым. В обычных условиях эффект от временной маскировки длится значительно меньше. Время маскировки зависит от частоты и амплитуды сигнала и может достигать 100 мс.

В случае, когда маскирующий тон появляется по времени позже маскируемого, эффект называют пост-маскировкой. Когда маскирующий тон появляется раньше маскируемого (возможен и такой случай), эффект называют пре-маскировкой.

рисунок: Частотная зависимость уровня маскирующего сигнала L_M, необходимого для маскировки тонального сигнала с частотой 1 кГц и уровнем 20 дБ: 1- при одновременной маскировке; 2- при прямой последовательной маскировке.

При одноврем. маскировке тонального сигнала шумовым, спектр к-рого ограничен полосой с центр, частотой, соответствующей сигналу, расширение спектра маскера при постоянной интегральной энергии до нек-рого значения ширины полосы не влияет на величину M. з. Расширение же вне этой полосы, называемой критической, приводит к снижению M. з.

Постстимульное утомление

Нередко после воздействия громких звуков высокой интенсивности у человека резко снижается слуховая чувствительность. Восстановление обычных порогов может продолжаться до 16 часов. Этот процесс называется «временный сдвиг порога слуховой чувствительности» или «постстимульное утомление». Сдвиг порога начинает появляться при уровне звукового давления выше 75 дБ и соответственно увеличивается при повышении уровня сигнала. Причём наибольшее влияние на сдвиг порога чувствительности оказывают высокочастотные составляющие сигнала.

Фантомы

Иногда человек может слышать звуки в низкочастотной области, хотя в реальности звуков такой частоты не было. Так происходит из-за того, что колебания базилярной мембраны в ухе не являются линейными и в ней могут возникать колебания с разностной частотой между двумя более высокочастотными.

Этот эффект используется в некоторых коммерческих звуковых системах, чтобы расширить область воспроизводимых низких частот, если невозможно адекватно воспроизвести такие частоты напрямую, например в наушниках. При долгом прослушивании это может быть вредно для слуха.

Если сигнал и помеха широкополосны, то величина одновременной M. з. в большом динамич. диапазоне пропорциональна уровню интенсивности помехи. Если сигнал и маскер - тоны одинаковой частоты, то M. з. растёт медленнее уровня маскера. При различии спектрального состава сигнала и помехи M. з. определяется гл. обр. составляющими помехи, близкими по спектру к сигналу. Для выявления частотной избирательности слуха в качестве сигнала и маскера используют чистые тоны или очень узкополосные шумы. Зависимость от частоты уровня маскера, необходимого для маскировки слабого сигнала фиксиров. частоты и уровня, характеризует частотную настройку слуховой системы в области частоты сигнала (рис.). В режиме прямой последо-ват. маскировки частотная избирательность повышается, что объясняется проявлением нелинейных свойств улитки уха.

Человеческое ухо способно воспринять звуки с частотой от 20 до 22000 Гц, но его чувствительность не является одинаковой в этом интервале. Она зависит от частоты звука. Эксперименты указывают на то, что в тихой окружающей обстановке чувствительность уха максимальна при частотах от 2 до 4 кГц. На рис. 6.4а показан порог слышимости для тихого окружения.

Для эффективного сжатия звука применяются два свойства органов слуха человека. Эти свойства называются частотное маскирование и временное маскирование.

Частотное маскирование (его еще называют слуховое маскирование) происходит тогда, когда нормально слышимый звук накрывается другим громким звуком с близкой частотой. Толстая стрелка на рис. 6.4b обозначает громкий источник звука с частотой 800 Гц. Этот звук приподнимает порог слышимости в своей окрестности (пунктирная линия). В результате звук, обозначенный тоненькой стрелкой в точке «х» и имеющий нормальную громкость выше своего порога чувствительности, становится неслышимым; он маскируется более громким звуком. Хороший метод сжатия звука должен использовать это свойство слуха и удалять сигналы, соответствующие звуку «х», поскольку они все равно не будут услышаны человеком. Это один возможный путь сжатия с потерями.

Частотное маскирование (область под пунктирной линией на рис. 6.4b) зависит от частоты сигнала. Оно варьируется от 100 Гц для низких слышимых частот до более, чем 4 кГц высоких частот. Следовательно, область слышимых частот можно разделить на несколько критических полос, которые обозначают падение чувствительности уха (не путать со снижением мощности разрешения) для более высоких частот.

Рис. 6.4. Порог и маскирование звука.

Можно считать критические полосы еще одной характеристикой звука, подобной его частоте. Однако, в отличие от частоты, которая абсолютна и не зависит от органов слуха, критические полосы определяются в соответствии со слуховым восприятием.

Критические полосы можно описать следующим образом: из-за ограниченности слухового восприятия звуковых частот порог слышимости частоты приподнимается соседним звуком, если звук находится в критической полосе. Это свойство открывает путь для разработки практического алгоритма сжатия аудиоданных с потерями. Звук необходимо преобразовать в частотную область, а получившиеся величины (частотный спектр) следует разделить на подполосы, которые максимально приближают критические полосы. Если это сделано, то сигналы каждой из подполос нужно квантовать так, что шум квантования (разность между исходным звуковым сэмплом и его квантованными значениями) был неслышимым.

Еще один возможный взгляд на концепцию критической полосы состоит в том, что органы слуха человека можно представить себе как своего рода фильтр, который пропускает только частоты из некоторой области (полосы пропускания) от 20 до 20000 Гц. В качестве модели ухо- мозг мы рассматриваем некоторое семейство фильтров, каждый из которых имеет свою полосу пропускания. Эти полосы называются критическими. Они пересекаются и имеют разную ширину.

В области низких слышимых частот ширина критической полосы менее 100 Гц, в районе 2 кГц она равна 300 Гц и возрастает до 4 кГц в области высших воспринимаемых частот

Ширина критической полосы называется ее размером. Для измерения этой величины вводится новая единица «барк» («Bark» от H.G.Barkhausen). Один барк равен ширине (в герцах) одной критической полосы. Эта единица определяется по формуле:

На рисунке в Мамчев, основы цифр ТВ стр 127, рис 2.8 показаны несколько критических полос которые помещены над кривой порогов слышимости.

Рис. 6.6. Порог и маскирование звука.

Временное маскирование происходит, когда громкому звуку частотыпо времени предшествует или за ним следует более слабый звукблизкой частоты. Если интервал времени между этими звуками не велик, то звукбудет не слышен. Рис. 6.6 иллюстрирует пример временного маскирования. Порог временного маскирования от громкого звука в момент времени 0 идет вверх сначала круто, а потом полого. Более слабый звук в 30 дБ не будет слышен, если он раздастся за 10 мсек до или после громкого звука, но будет различим, если временной интервал между ними будет больше 20 мсек.

4. Двумерный дискретный сигнал. Выделения края (перепада яркости изображения)

По этому вопросу буду дополнительно спрашивать у гарскова

http://latya.narod.ru/coavs/17.htm

При описании изображений вместо x(nT) будем пользоваться обозначе^{нием двумерного сигнала x(n}₁^{, n}₂^{) (рис. 3.2).}

Дискретизация изображения:

∆₁ – интервал дискретизации по n₁;

∆₂ – интервал дискретизации по n₂;

Если ∆₁ = ∆₂ = ∆, то сетка дискретизации имеет квадратную форму;

если ∆₁ ≠ ∆₂, но ∆₁ = const,

^∆₂ ^{= const – прямоугольная}

сетка дискретизации;

если ∆₁, ∆₂ – переменные величины, то случайная или ква- зислучайная сетка.

Представление и преобразование двумерных сигналов

_{На рис. 3.4 представлен двумерный бинарный сигнал (• – нуль, х – единица)} Такое представление используется для изображения контуров, цифр и букв. Также сигнал можно представить в виде матрицы чисел (такое представление используется, например, в телевидении), как показано на рис. 3.5. При графическом представлении двумерной последовательности отсчеты могут принимать любые значения, а не только бинарные.

Подобные представления двумерных сигналов необходимы для выбора алгоритма обработки изображения или осмысления результата обработки.

Некоторые особые двумерные последовательности

_{Двумерный единичный импульс (единичный отсчет) – ДЕИ:}

_{Двумерный линейный импульс (ДЛИ):}

_{Двумерная единичная ступенька:}

_{Двумерные экспоненциальные последовательности:}

В этом случае экспоненциальная последовательность становится комплексной гармонической последовательностью. При a = b = ½ вид экспоненциаль- ной последовательности приведен на рис. 3.6:

Последовательности называются разделимыми (сепарабельными), если они представлены в виде произведения функций каждого из переменных:

В явном виде таких последовательностей существует не столь мно- го. Однако любое двумерное множество с конечным числом ненуле-

вых отсчетов можно за-писать в виде суммы конечного числа сепарабельных последовательностей

Простейшее представление такого рода можно получить, выразив изо-

_{бражение в виде суммы отдельных строк последовательности. Для этого слк}дует принять

Сепарабельные последовательности часто используются в качестве тес- товых сигналов при оценке характеристик и при настройке экспериментальных систем.

Другим важным классом дискретных сигналов являются двумерные последовательности

конечной протяженности. Слова «конечная протяжен- ность» означают, что сигналы равны нулю вне области конечной протяжен-

ности в (n₁,n₂) – плоскости. Наиболее ярким примером последовательности конечной протяженности является является послежов последовательность, получившаяся в

результате пространственного стробирования (рис. 3.7).

Здесь мы имеем сигнал, отлич_{ный от нуля внутри области}

Область, внутри которой значения сигнала отличны от нуля, называется опорной областью сигнала.

Базовые операции, используемые в многомерных системах

Выделение краёв — это хорошо изученная область в обработке изображений. Границы и края областей сильно связаны, так как часто существует сильный перепад яркости на границах областей. Поэтому методы выделения краёв используются как основа для другого метода сегментации.

Обнаруженные края часто бывают разорванными. Но чтобы выделить объект на изображении, нужны замкнутые границы области.

Выделение границ (выделение краев) — термин в теории обработки изображения и компьютерного зрения, частично из области поиска объектов и выделения объектов, основывается на алгоритмах, которые выделяют точки цифрового изображения, в которых резко изменяется яркость или есть другие виды неоднородностей.

Основной целью обнаружения резких изменений яркости изображения является фиксация важных событий и изменений мира. Они могут отражать различные предположения о модели формирования изображения, изменения в яркости изображения могут указывать на:

• изменения глубины;

• изменения ориентации поверхностей;

• изменения в свойствах материала;

• различие в освещении сцены.

В идеальном случае, результатом выделения границ является набор связанных кривых, обозначающих границы объектов, граней и оттисков на поверхности, а также кривые которые отображают изменения положения поверхностей. Таким образом, применение фильтра выделения границ к изображению может существенно уменьшить количество обрабатываемых данных, из-за того, что отфильтрованная часть изображения считается менее значимой, а наиболее важные структурные свойства изображения сохраняются. Однако не всегда возможно выделить границы в картинах реального мира средней сложности. Границы выделенные из таких изображений часто имеют такие недостатки как фрагментированость (кривые границ не соединены между собой), отсутствие границ или наличие ложных, не соответствующих исследуемому объекту, границ.

Свойства границ

Границы выделенные на двумерном изображении трехмерной сцены могут быть подразделены на зависимые или не зависимые от точки обзора. Независимые от точки обзора границы обычно отражают свойства, унаследованные у объектов трехмерной сцены, такие как расцветка поверхности и её форма. Зависимые от точки обзора границы могут меняться с изменением точки обзора и отражают геометрию сцены, как, например, перекрывающиеся объекты.

Обычной границей может быть, например, граница между блоками красного и желтого цвета. С другой стороны линия может быть набором пикселей отличающегося цвета на постоянном фоне. Поэтому у линии может быть по границе с каждой стороны от неё.

Границы имеют довольно важное значение во многих приложениях обработки изображений, особенно в системах машинного зрения, которые анализируют сцены искусственных объектов при фиксированном освещении. В последние годы, однако, были последовательно (и успешно) проведены исследования методов компьютерного зрения, которые не полагаются на выделение границ как на шаг предобработки.

Простая модель границы

Хотя некоторая литература рассматривает выделение идеальных ступенчатых границ, границы на натуральном изображении обычно не такие. На них обычно влияет один или несколько следующих эффектов:

• Фокусное размытие из-за конечной глубины резкости съемки,

• Размытая полутень от неточечных источников света,

• Затенение гладких объектов,

и поэтому многие исследователи используют ступенчатый край, сглаженный функцией Гаусса (функция ошибки), в качестве простейшего приближения модели идеального края для моделирования размытых границ в прикладных задачах. Таким образом, одномерное изображение f, которое имеет строго один край в точке x = 0, может быть смоделирована как:

Здесь

Слева от границы яркость , справа —. Параметрσ называется размером размытия границы.

Подходы к выделению границ

Существует множество подходов к выделению границ, но практически все можно разделить на две категории: методы, основанные на поиске максимумов, и методы, основанные на поиске нулей. Методы, основанные на поиске максимумов, выделяют границы с помощью вычисления «силы края», обычно выражения первой производной, такого как величина градиента, и затем поиска локальных максимумов силы края, используя предполагаемое направление границы, обычно перпендикуляр к вектору градиента. Методы, основанные на поиске нулей, ищут пересечения оси абсцисс выражения второй производной, обычно нули Лапласиана или нули нелинейного дифференциального выражения, как будет описано далее. В качестве шага предобработки к выделению границ практически всегда применяется сглаживание изображения, обычно фильтром Гаусса.

Опубликованные методы выделения границ отличаются применяемыми фильтрами сглаживания и способами, как считается сила края. Хотя многие методы выделения границ основываются на вычислении градиента изображения, они отличаются типами фильтров, применяемых для вычисления градиентов в x- и y-направлении.

Выделение границ Канни

Канни изучил математическую проблему получения фильтра, оптимального по критериям выделения, локализации и минимизации нескольких откликов одного края. Он показал, что искомый фильтр является суммой четырех экспонент. Он также показал, что этот фильтр может быть хорошо приближен первой производной Гауссианы. Канни ввел понятие Non-Maximum Suppression (подавление не-максимумов), которое означает, что пикселями границ объявляются пиксели, в которых достигается локальный максимум градиента в направлении вектора градиента.

Хотя его работа была проведена на заре компьютерного зрения, детектор границ Канни до сих пор является одним из лучших детекторов. Кроме особенных частных случаев трудно найти детектор, который бы работал существенно лучше, чем детектор Канни.

Детектор Канни-Дерише был выведен из похожего математического критерия, как и детектор Канни, хотя, отталкиваясь от другой точки зрения, он привел к набору рекурсивных фильтров для сглаживания изображения вместо экспоненциальных фильтров и фильтров Гаусса.

Другие методы первого порядка

Для того, чтобы оценить величину градиента изображения или его сглаженной версии, можно применить различные операторы градиента. Простейший подход — использовать центральные разности:

соответствующие применению следующих фильтров к изображению:

Хорошо известный оператор Собеля основывается на следующих фильтрах:

Получив такие оценки, мы можем вычислить величину градиента следующим образом:

а направление градиента вычисляется так:

Другие операторы для вычисления градиента изображения были предложены Прюиттом и Робертсом

Выделение порогом и объединение

После того, как мы нашли силу границы (обычно — величину градиента), следующий шаг — применить порог, чтобы решить находится или нет граница в данной точке изображения. Чем меньше порог, тем больше границ будет находиться, но тем более восприимчивым к шуму станет результат, выделяя лишние данные изображения. Наоборот, высокий порог может пропустить слабые края или получить границу фрагментами.

Если порог применяется просто к изображению величины градиента, полученные границы будут толстыми и потребуется некоторая постобработка, делающая край тонким и точным. Если же выделить границы с помощью Non-Maximum Suppression, границы будут тонкими по определению и их можно будет соединить в полигоны процедурой соединения краев (прослеживания границы). На дискретной сетке этап подавления немаксимумов может быть реализован с помощью оценки направления градиента, используя первые производные, округление направления на значения с шагом 45 градусов и, наконец, сравнении значений градиента в полученном направлении градиента.

Традиционным подходом к решению проблемы нахождения подходящего порога являются пороги «с запозданием». Метод использует несколько порогов. Мы используем верхний порог, чтобы найти точку начала границы. После того, как мы получили стартовую точку, мы отслеживаем границу, точка за точкой, пока значение силы края выше нижнего порога. Этот алгоритм подразумевает, что границы — это скорее всего непрерывные кривые, и позволяет нам прослеживать слабые участки границ без допущения того, что все шумные точки на изображении будут помечены как края. Однако, у нас все ещё есть проблема выбора подходящих значений порогов для этого метода, так как оптимальные параметры могут меняться от изображения к изображению.

Уточнение границы

Уточнение границы — процесс, который делает границы тонкими, удаляя нежелательные ложные точки, которые появляются на границе. Эта техника применяется уже после того, как изображение было сглажено (используя медиану или фильтр Гаусса), был применен оператор границ (как один из описанных выше) для вычисления силы края и после того, как границы были очищены используя подходящие пороги. Этот метод удаляет все нежелательные точки и при аккуратном применении выдает границы толщиной в один пиксель.

Плюсы:

• резкие и тонкие границы позволяют повысить эффективность распознавания объектов

• при использовании трансформации Хафа для обнаружения прямых или эллипсов, тонкие границы дают значительно лучшие результаты

• если граница представляет собой границу некоторой области, тонкие границы позволяют вычислить такие параметры, как периметр, без какой-то сложной арифметики

Существует много популярных методов для решения этой задачи. Один из них описан далее:

1. Выбрать тип связности: 8, 6 или 4

• Предпочтительна 8-связность, при которой рассматриваются все пиксели, непосредственно окружающие текущий пиксель

Удалить точки сверху, снизу, слева и справа от точки

• Делать это следует в несколько проходов, то есть сначала удалить точки в одном направлении, затем на обработанном изображении удалить точки на другом.

• Точка удаляется в следующем случае:

1. У этой точки нет соседей сверху (в случае обработки «верхнего» направления, иначе — в соответствующем направлении)

2. Эта точка не является концом линии

3. Удаление этой точки никак не повлияет на связанность её соседей

4. ИЛИ это изолированная точка

Иначе, точка не удаляется

Предыдущий шаг можно повторять несколько раз, в зависимости от желаемого уровня «аккуратности» границы.