§5 Доверительный интервал для неизвестной вероятности успеха.

Рассмотрим следующую задачу: дана случайная величина с вероятностями 0 и 1, qиpсоответственно, ноp+q= 1 (1 - успех, 0 – неуспех) Вероятность успехаp- неизвестна и требуется построить для нее доверительный интервал по выборке. ВыборкаV=nсостоит из нулей и единиц, поэтому можно сказать, что к единиц в выборке (успехов). Мы знаем, что несмещенная оценка вероятности успеха дается равенством:

(1) P^*=k/n

Мы знаем, что дисперсия этой случайной величины:

(*) D_ξ=P(1 –P) - Теория вероятности распределения Бернулли

В §3 мы говорили, что доверительные интервалы для нормального распределения можно использовать и для других как приближенный.

Для рассматриваемого распределения

(**)M_ξ=P

(***)

учитывая, что генеральное среднее а = M_ξиз (3.5) из(*) (**) (***)получаем ≈ доверительный интервал для неизвестной вероятности успеха:

(2)

где γ = 1 – α - уровень доверия

Пример:при социологическом обследовании студентов 2-го курса, что из 100 студентов 15 никогда не употребляли спиртных напитков, надо построить доверительный интервал для доли студентов непьющих для уровня доверия 0,95

Решение:находимk= 15,n= 100,γ= 0,95,α= 0,05, по таблице:U_0,975≈ 1,96

из (2)получаем:

В (2)- вероятность успехаPнеизвестна, тоP->P^*из (1)(как мы и сделали в примере). Окончательно получаем

Теорема 1

(3)

является приближенным доверительным интервалом для неизвестной вероятности успеха Pпри уровне доверия γ = 1- α

n- число испытаний

k- число успехов

U- квантиль стандартного нормального распределения.

III Математическая статистика.

Глава I Оценки параметров.

§1 Основные понятия.

До сих пор мы предполагали, что исследуется случайная величина с известным законом распределения, однако в большинстве реальных ситуаций исследование случайной величины или процесс точно не известны и требуется оценить закон распределения по экспериментальным данным, кроме того, часто возникает задача определения взаимосвязи между случайными характеристиками или явлениями, это - также задача математической статистики.

Примеры задач математической статистики:

1) выяснить, существует ли связь между компьютером и остротой зрения

2) определение среднего времени работы электролампы, это тоже определяется по реальным данным и т.д.

Таких реальных задач очень много, их решение основывается на очень больших данных и конечно при этом используются компьютеры и современные статистические пакеты.

В математической статистике используется терминология несколько отличная от теории вероятности.

Например:закон распределения исследуемой случайной величины называется генеральной совокупностью.

Например:пусть есть склад с 10⁷электролампами. Необходимо ценитьtслужбы некоторой из ламп в статистике, используется другой подход - из всех ламп случайно отбирают небольшую часть называемуювыборочной совокупностьюиливыборкойи по ней оценивают интересующие характеристики, все множество ламп - это как бы генеральная совокупность. Время работы = случайная величинаξс точки зрения теории вероятности или генеральная совокупность. Выборочное значение обычно обозначают черезx₁,x₂, …x_n, n -называетсяобъемом выборки, каждоеx_i- это (с одной стороны) реальное число, полученное при измерении, с другой стороны - это случайная величина до тех пор, пока измерение не произведено, подчиняющаяся тому же распределению, что и исследуемая.