2 Примеры использования критерия χ2.

После появления статистики, как науки в начале века 1 статистик провел следующий эксперимент:

он зашел в часовую мастерскую и подсчитал, сколько часов показывают какое время, а полученные данные свел в следующую таблицу.

Прошло времени на циферблате	0-1	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10	10-11	11-12
Количество часов с временем из интервала	41	34	54	39	49	45	41	33	37	41	47	39

всего 500 циферблатов

Естественно предположить, что показания часов равномерно распределены от 0 до 12.

H₀= {случайная величина попадания часов подчиняется равномерному распределению [0..12]}

H₁=т.е подчиняется другому распределению.

Для проверки этой гипотезы используем критерий – χ²

1) шаг- отсутствует

2)здесь уже произведено разбиение на интервалы [y₀,y₁] = [0,1] … [y₁₁,y₁₂] = [11,12]

3) шаг- вычисляем теоретические вероятности: - для равномерного распределения на (a,b)

Найдем теоретические вероятности по (2):

Легко видеть, что все P_i= 1/12

4) шаг: проверяем условиеnP_i>5

500 * 1/12 > 5 укрупнять интервалы не требуется

5) шаг: вычисляем эмпирические частоты. По таблице: ν₁=41 ν₂= 34

6) шаг: вычисляемx²

Возьмем уровень значимости и по таблице находим:

χ²_{12-0-1; 0,95} ≈ 19,68

т.к. x²<χ², то гипотезаH₀принимается.

Пример: на телефонной станции проводился подсчет количества неправильных соединений, в течение 2000 часов. На основе полученных наблюдений была получена таблица:

Число неправильных соединений	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество часов	57	203	383	525	592	408	273	139	45	27	16

В Σ = 2600 часов.

Если процесс неправильных соединений вызван в основном случайными причинами, то исследуемая случайная величина должна подчиняться распределению Пуассона. Поэтому сначала нужно проверить эту гипотезу, и если она не выполняется, то нужно искать другие причины.

Проверим гипотезу H₀={количество неправильных соединений в час - подчиняется распределению Пуассона}, противH₁= {подчиняется другому распределению}.

У распределения Пуассона один параметр λ и он, очевидно неизвестен.

Мы знаем оценку λ^*=для распределения Пуассона.

По нашим данным находим:

= 1/2600 (0.57 + 1.203 + 2.383 + …) ≈ 3.87

2) шаг - проводим разбиение на интервалы

[y₀,y₁] = [0] [y₁,y₂] = [1] … [] = [10,∞]

aпоследнюю вероятность найдем по формуле:

Объединение классов не требуется и находим:

x²= 13,049

χ²_{11-1-1; 0,95}≈ 16,92

Мы видим, что гипотеза H₀принимается.

3 Применение критерия χ-квадрат для исследования вопроса о зависимости ил независимости признаков.

Часто возникает вопрос:

Даны две случайные величины ξ,η, обычно соответствующие каким-либо двум реальным признакам типа: возраст и успеваемость. И требуется по выборочным данным (x₁,x₂),(x₂,x₃),…(x_n,y_n) определить, является ли признаки зависимыми, или в другой интерпретации: существуют ли какие-либо факторы, влияющие одновременно на обе величины.

Более формально ставится задача о проверке статистических гипотез:

H₀= {ξиηнезависимы} против альтернативы

H₁= {ξиηзависимы}

Для проверки гипотезы требуется (использовать) тести или критерий К. Пирсона называемый χ- квадрат. Для его описания введем следующие обозначения:

Весь диапазон или интервал изменения случайной величины ξ мы разобъем на непересекающееся множество A₁,A₂…A_n, а диапазон случайно величиныηразобъем на интервалыB₁,B₂…B_k.

Пусть

(1)P_ij=P{ξєA_i,ηєB_j}

Если выполнена гипотеза H₀, то должно выполниться равенство:

(2)P_ij=P_i*P_j, гдеP_i=P{ξєA_i}P_j=P{ηєB_j}

(2)- определение независимости.

Определим:

(3)ν_ij= {число элементов в выборке таких, что:x_αєA_i,y_βєB_j. (x_α,y_β) - элемент выборки}

Определим эмпирические вероятности:

(4)

Естественно предположить, что если выполнена H₀, то по аналогии с(2)

(*)

Или:

(**)

Точный критерий базируется на следующем определении, доказанном К. Пирсоном.

Теорема.Если случайные величины ξ и η независимы, то величина:

(5)

Эта величина подчиняется распределению χ²с (r-1)(k-1) числом степеней свободы.

(неформально) H₀будет отклоняться, если величинаx²>χ²_{(r - 1) (k – 1); 1 – α}, порядок мал.

Приведем описание алгоритма проверки гипотезы H₀противH₁по критериюχ², основывающийся на этой теореме

1шаг: проведем разбиение на интервалы (A₁,A₂…A_n) (B₁,B₂…B_k) областей изменения признаков

2 шаг: вычисляем ν_i по(3),используя имеющуюся выборку.

Примечание: часто исходные данные уже сгруппированы и множества ν_iданы явно, а выборка отсутствует. Полученные данные представляют в виде таблицы:

	B1	B2	…	Bn
A1
A2
:
An

3 шаг:по полученным данным вычисляем величинуx²по(5)и проверяем гипотезу:

Если x²<χ²_{(r - 1) (k – 1); 1 – α}, то гипотезаH₀принимается при уровне значимости α, в противном случае, если выполнено противоположное неравенство, тоH₀отвергается в пользуH₁.

Задача:проверим, зависит ли успеваемость от пола студента.

	Без троек	С тройками
М	17	15	32
Ж	17	7	24
	34	22	56(=n)

Вычислим суммы по строчкам и столбикам. Переходим к третьему шагу: вычисляем x²по(5):

= 0,3 + 0, 02 + 0, 07 + 0, 625 ≈ 1

По таблице находим

χ²_{(2 – 1) ( 2 – 1); 0,95}≈ 3,8

Мы видим, что гипотеза H₀о независимости признаков, и пол и успеваемость принимается, причем, чтоx²<< табличного значения свидетельствует о полном отсутствии зависимости

Пример:Рассмотрим, зависит ли успеваемость оттого, что студент из деревни или из города.

1шаг: составим таблицу

2шаг

3шагвычисляемx², предварительно просуммировав значения по строчкам:

x²≈ 2

Здесь гипотеза H₀о независимости признаков принимается, т. к. вычисленное χ²≈ 4