4. Нормальное (Гауссово) распределение

1) Параметры

а,б, ,

2) Плотность распределения:

(14)

3) Функция распределения:

(15)

Интеграл неберущийся, т.к. невозможно построить таблицы для всех aи б, то построим таблицы так называемого стандартного, нормального распределения, когда а=0, б=1 и (15) выражается через функцию стандартного нормального распределения.

Обозначим: , т.е. функция распределения при а=0, б=1 или «стандартного».

Иногда используют так называемую функцию Лапласа:

(17)

(18) , т.к.

Практически функция распределения (15) вычисляется по формуле:

(19)

(19’)

4)Интерпретация: нормальное распределение хорошо описывает случайные реальные величины. Например: рост и вес людей, другие размеры всех живых существ, технические характеристики «одинаковых» изделий, выпускаемых станком-автоматом, рассеивание попаданий по мишени (закон стрельб), и т.д. и т.п.

Параграф 4 Многомерные случайные величины.

Определение: Пусть дано пространство элементарных исходом Ω, на котором определены nслучайных величинξ₁, ξ₂, …,ξ_n , вектор=( ξ₁, ξ₂, …,ξ_n) называетсяn-мерной случайной величиной.

Определение: Функция распределения n-мерной случайной величины даётся равенством:

(1)

Совершенно аналогично одномерному случаю.

Пункт Основные свойства многомерной функции распределения

1) (2) если(свойство монотонности)

2) (3)

3) (4) - как вероятность невозможного события

Определение: Пусть дана n-мерная случайная величина=( ξ₁, ξ₂, …,ξ_n) она называется дискретной, если каждаяξ, входящая в неё является дискретной случайной величиной. Многомерная дискретная случайная величина может быть задана законом ряда распределения

Пусть

ξ₁принимает значения

ξ₂ принимает значения

…

ξ_n принимает значения

Тогда ряд распределения – это множество значений:

В случае двумерной случайной величины используют обозначение:

, где ξ принимает значенияx₁,x₂,…,x_n, η – y₁,y₂,…,y_n.

Тогда (5’) ,

В этом случае ряд распределения можно задавать таблицей:

	y1	y2	…	ym
x1	P11	P12		P1m
x2	P21	P22
…
xn	Pn1	Pn2		Pnm

Пример: Пусть ξ – оценка по математике на вступительном экзамене, η – в первую сессию и пусть в некотором ВУЗе эта двумерная случайная величина подчиняется ряду распределения:

	2	3	4	5
x1=3	0,1	0,05	0,01	0
x2=4	0,04	0,2	0,05	0,05
x3=5	0,01	0,09	0,25	0,15

В сумме =1

Мы видим, что вероятность получить (5,5)=0,15, (3,2)=0,1, и так далее

Обозначим для двумерной случайной величины

(6)

Утверждение:

(7)

Дана n-мерная случайная величина

(полностью аналогично одномерной случайной величине)

Для непрерывной случайной величина справедливо равенство:

(9)

(10)

Эта формула справедлива для множеств Sтипа квадрат, круг, треугольник и т.п.

Особый интерес представляет двумерная случайная величина:

с плотностью распределения:P(x,y).

Утверждение2: Пусть - двумерная случайная величина с плотностью распределенияP_ξ(x,y), аP_ξ(x)и P_η(y)плотности оджномерных случайных величинξиη, тогда:

(11)

Без доказательств, очевидно.

Независимость случайных величин.

Определение: Пусть Даня случайные величины ξ₁… ξ_n, которые могут рассматриваться какn-мерная случайная величина. Они независимы если выполняется равенство:

(12) - слеваnмерная функция распределения, справа одномерные

(12) выполняется при всех x₁,…,x_n.

Поясним это определение:

Из (1) и (1.1) мы получаем:

Т.е. как для обычной независимости.

Физический смысл: независимость означает отсутствие влияния, т.е. знание значения одной или нескольких величин никак не влияет на вероятности значений других величин.

Если (12) не выполняется хотя бы для одного x₁,…,x_n, то случайные величины зависимы.

Пример: Двумерная случайная величина: рост и вес – зависимые случайные величины; месяцы рождения студента и оценка по теории вероятности независимые случайные величины!!! Для дискретных многомерных независимых величин из (12) следует равенство:

(13) слева многомерный ряд распределения, справа – одномерные

В частности для независимых двумерных случайных величин:

(13’) для любыхiиj.

Если (13) или (13’) не выполнены для хотя бы 1-го набора значений, то случайные величины зависимы.

Для многомерных непрерывных случайных величин из (12) следует

Слева – многомерная плотность распределения, права – одномерные плотности распределения.

Если (14) нарушается хотя бы для 1-го набора значений, то они зависимы.

Параграф 5. Количественные характеристики случайных величин.

Квантиль

Определение:Пусть дана непрерывная случайная величина ξ с функцией распределенияи некоторое число, квантиль порядкаQэтой случайной величины определяется как решение уравнения:

(1)

- квантиль, приQ=1/2 квантиль называется медианой

Найдём квантиль порядка 0,9:

Из (1) получаем:

Утверждение: (свойство квантиля)

(2) ,- плотность

Доказательство:

доказано

Графическая интерпретация:

Математическое ожидание или среднее

Пусть дана дискретная величина ξ с рядом распределения (x₁,P₁), (x₂,P₂),…, (x_n,P_n) её математическое ожидание определяется равенством:

(3) , пусть ξ – непрерывная случайная величина с плотностьюP(x), тогда:

Физический смысл:

- среднее значение случайной величины

Пункт 1: свойства математического ожидания:

(5) , гдеc=const, ξ – случайная величина

(6)

(7)

Для независимых случайных величин:

(8)

Докажем (8) для дискретной случайной величины: Пусть ξ принимает значения x₁,x₂,…,x_n, η –y₁,y₂,…,y_nи

и так как случайные величины не зависимы то выполняется (4.13’)(*)

(остальное самостоятельно для дискретной случайной величины)

Дисперсия

Определение:

Пусть дана случайная величина ξ её дисперсия определяется равенством: (9)

Физический смысл: Дисперсия – количественная мера степени отклонения или разброса значений случайной величина относительно среднего, чем больше дисперсия, тем больше разброс.

Утверждение:

(10)

Доказательство:

Доказано

Из (10) следует формула удобная для вечисления:

(11)

Пункт 2 (свойство дисперсии):

(12) (следует из (9) )

(13) (из физического смыла из (9) и из (10) )

(14)

Для независимых случайных величин:

(15)

Доказательство:

(12) и (13) следует из (9)

(14) и (15) легко получаются из (10)

Определение: Пусть дана случайная величина ξ. Её стандартное отклонение или среднеквадратическое отклонение даётся равенством:

(16)

Числовые характеристики важнейших случайных величин