1 Методические указания

1.1 Методика проектирования рекурсивных цифровых фильтров по аналоговым прототипам

Проектирование ЦФ может осуществляться как методами математического, так методами эвристического синтеза. Математический синтез успешно используется для проектирования нерекурсивных ЦФ при линейном представлении аппроксимирующей функции. При этом аппроксимационная задача является линейной. Для линейных задач разработаны эффективные процедуры решения (по крайней мере, численные). Для рекурсивных ЦФ аппроксимационная задача является нелинейной, поэтому в каждом конкретном случае требуется разработка своего алгоритма решения. По этой причине при проектировании рекурсивных ЦФ используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам [1, 7]. На рисунке показаны этапы проектирования.

1-й этап — синтез аналогового нормированного ФНЧ-прототипа. В результате его выполнения получают передаточную функцию . Нормирование заключается в том, что используется «безразмерная» частота, где— верхняя граничная частота полосы пропускания (частота среза). Для синтеза необходимо задать максимальное затухание в полосе пропускания, минимальное затухание в полосе задерживанияи нижнюю граничную частоту полосы задерживания. На практике обычно используют ФНЧ прототипы с характеристиками Баттерворта, Чебышева 1, Чебышева 2 и эллиптические (Кауэра). Методики синтеза этих ФНЧ-прото-типов описаны в [1, 7]. Передаточная функцияможет быть представлена в различных формах: дробно-рациональной, нуль-полюсной, в виде суммы простых дробей, в каскадной и др.

Описанные в [1] методы синтеза передаточных функций аналоговых нормированных ФНЧ-прототипов Баттерворта, Чебышева и эллиптических позволяют представить в обобщённой форме, соответствующей каскадной форме реализации в виде соединения блоков первого и второго порядка:

, (1)

где коэффициенты ,,,для различных типов аналоговых нормированных ФНЧ-прототипов определяются согласно таблице 1.

Таблица 1

Коэффи-циент в (1)	Порядок фильтра	Тип аналогового нормированного ФНЧ-прототипа
		Баттер-ворта	Чебышева типа 1	Чебышева типа 2	эллипти-ческий
	нечётн.	1	1	1	1
	чётн.	0	0	0	0
	нечётн.	1
	чётн.	1	1	1	1
	нечётн.	0	0	1	1
	чётн.	0	0	1	1
	нечётн.	1	1
	чётн.	1	1
Примечание:

2-й этап — денормирование частоты в аналоговой области. В результате получают передаточную функцию аналогового фильтра, частоты среза которого соответствуют заданным. Операция денормирования соответствует отображению комплекснойS-плоскости в комплексную P-плоскость. При этом используется следующая замена аргумента:

. (2)

Выражения для функций сведены в таблицу 2.

Таблица 2

Тип аналогового фильтра	Формула замены оператора
ФНЧ
ФВЧ
Полосовой фильтр (ПФ)
Режекторный фильтр РФ)
Примечание: — частота среза;— центральная частота;— ширина полосы пропускания

В результате денормирования частоты по формулам таблицы 3 из передаточной функции дробно-рационального видаполучаются передаточные функциитакже дробно-рационального вида:

• для ФНЧ и ФВЧ

; (3)

• для полосового и режекторного фильтров

. (4)

Коэффициенты передаточ-ной функции (3) сведены в таблицу 3, а коэффициентыпередаточной функции (4) — в таблицу 4.

Таблица 3

Коэффициенты в (2)	Фильтр нижних частот		Фильтр верхних частот
	нечётн.	чётн.	нечётн.	чётн.
	0			0
			0
				0
		1		1
Примечание: — порядок ФНЧ-прототипа;

Таблица 4

Коэффициенты в (3)	Полосовой фильтр		Режекторный фильтр
	нечётн.	чётн.	нечётн.	чётн.
	0			0
		0	0
	0

Продолжение таблицы 4
				0
		0
		1		1
Примечание: — порядок ФНЧ-прототипа;

3-й этап — дискретизация — в результате выполнения которого получают передаточную функцию ЦФ . Операция дискретизации соответствует отображению комплекснойP-плоскости в комплексную Z-плоскость. При этом мнимая ось P-плоскости должна отображаться в единичную окружность Z-плоскости, а левая полуплоскость P-плоскости — во внутреннюю часть круга единичного радиуса Z-плоскости. Выполнение этих требований гарантирует сохранение селективных свойств и устойчивости фильтра при дискретизации. При этом

. (5)

Наиболее часто при дискретизации используют билинейное преобразование:

, (6)

где — частота дискретизации.

Однако при билинейном преобразовании происходит деформация частотной шкалы, описываемая выражением

, (7)

где — «аналоговая», а— «цифровая» частота. Эта деформация должна учитываться на этапе синтеза ФНЧ-прототипа при задании частоты.

Билинейное преобразование передаточной функции аналогового филь-тра в форме (3) приводит к передаточной функции дискретного фильтра

, (8)

а в форме (4) — к дискретной передаточной функции

. (9)

Коэффициенты передаточной функции (8), выраженные через коэффициенты передаточной функции (3), сведены в таблицу 5, а передаточной функции (9), выраженные через коэффициенты передаточной функции (4) — в таблицу 6.

Таблица 5

Коэффициенты в (8)	Выражения для коэффициентов дискретного фильтра
	нечётн.	чётн.
		0
		0
Примечание: — порядок ФНЧ-прототипа;

Таблица 6

Коэффициенты в (9)	Выражения для коэффициентов дискретного фильтра
	нечётн.	чётн.
		0
		0
		0
		0

Продолжение таблицы 6
Примечание: — порядок ФНЧ-прототипа;

Возможно также объединение этапов денормирования и дискретизации:

. (10)

При этом получается двухэтапная процедура синтеза. Если для дискретизации используется билинейное преобразование, то процедура (10) называется обобщённым билинейным преобразованием [1].

Формулы обобщённого билинейного преобразования приведены в таблице 7.

Таблица 7

Тип цифрового фильтра	Формула замены оператора
ФНЧ	, где
ФВЧ	, где
Полосовой фильтр (ПФ)	, где ;
Режекторный фильтр (РФ)	, где ;
Примечание: и— параметры преобразования, определяемые нормированными граничными частотами полос пропускания ЦФ:

Применение формул обобщённого билинейного преобразования таблица 8 к передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ-прототипа (1) приводит к дискретным передаточным функциям вида (8) и (9).

Коэффициенты блоков передаточных функций (8) и (9), выраженные через коэффициенты передаточной функции (1) с помощью формул обобщённого билинейного преобразования таблица 7 сведены в таблицу 8.

Таблица 8

Тип фильтра	Передаточные функции блоков и	Выражения для коэффициентов цифрового фильтра
ФНЧ		нечётн. ; ; , где
		чётн. ; ;
		; ; ; ; , где
ФВЧ		нечётн. ; ; , где
		чётн. ; ;
		; ; ; ; , где

Продолжение таблицы 8
Полосовой фильтр		нечётн. ; ; ; ; , где
		чётн. ; ;
		; ; ; ; ; ; ; ; , где
Режек-торный фильтр		нечётн. ; ; ; ; , где
		чётн. ; ;
		; ; ; ; ; ; ; ; , где
Примечание: — порядок ФНЧ-прототипа

АЧХ цифровых фильтров описываются выражениями:

• для ЦФ с передаточной функцией (8)

(11)

• для ЦФ с передаточной функцией (9)

(12)