Кусайкин Д.В / Методичка

Для фильтров типа приподнятого косинуса можно вывести соотношение между требуемой полосой Wr и скоростью передачи символов Rmax без межсим-

вольной интерференции

W	1		1 r R	,	(1.6)
r	2		max
где Wr – измеряется в Герцах; Rmax			– в импульсах/с.

Из соотношения (1.6) следует, что чем больше коэффициент сглаживания,

тем меньше максимальная скорость передачи импульсов по каналу. При этом АЧХ фильтра приближается по форме к колоколообразной и легче аппрокси-

мируется. Кроме того, чем больше величина r, тем короче будут «хвосты» им-

пульсной характеристики и их амплитуды становятся меньше. Меньшие «хво-

сты» менее чувствительны к ошибкам синхронизации и, следовательно, сни-

жают требования к этим системам.

Фильтры, описываемые уравнениями (1.3), (1.5), могут быть реализованы только приблизительно. Реальные фильтры имеют импульсные отклики конеч-

ной длительности и должны давать нулевое значение напряжения на выходе до момента подачи входного воздействия. Фильтры, для которых не выполняются эти условия, называют причинными.

Для реально реализуемых фильтров время начала появления отклика на выходе фильтра должно быть больше времени задержки сигнала в этом фильт-

ре. «Хвост» выходного отклика, предшествующий основному лепестку этого отклика, называется его предтечей и измеряется в количестве временных ин-

тервалов между нулями импульсной характеристики. Полная длительность им-

пульсной характеристики, выраженная в количестве этих интервалов, называ-

ется временем поддержки импульса. Эти параметры характеризуют интерфе-

ренционные явления в канале передачи.

11

1.2.4. Методы выравнивания межсимвольных искажений

На практике широко используются методы уменьшения межсимвольных искажений, называемые выравниванием. Выравнивание может быть разбито на две категории. Первая – подстройка приемника под принимаемый сигнал и вто-

рая категория – выравнивающие фильтры.

Подстройка приемника под принятый сигнал

При использовании этого метода искаженные выборки сигнала не изме-

няются и не проходят процесс непосредственной компенсации эффектов воз-

действия помех. Вместо этого приемник перенастраивается так, чтобы эффек-

тивно работать с искаженными выборками. Для этого в приемнике оценивается импульсная характеристика канала, которая используется для обработки приня-

тых выборок сигнала с целью оценки битов сообщения. Такой способ выравни-

вания используется в системах множественного доступа GSM, например, в со-

товых телефонах. На рис. 1.5 показан кадр этой системы длительностью 4,6 мс.

Он состоит из 8 слотов (временных интервалов), каждый из которых присвоен активному клиенту. В центре каждого слота располагается 26-битовая последо-

вательность, называемая настроечной. По обе стороны этой последовательно-

сти расположены пакеты передаваемых данных. Задача настроечной последо-

вательности – помочь приемнику в адаптивном определении импульсной ха-

рактеристики канала за время одного слота. Следовательно, этот метод будет эффективным, если время изменения характеристик канала относительно вели-

ко по сравнению со временем передачи одного слота (0,577 мс). Последнее по-

зволяет использовать систему GSM на транспорте в городских условиях.

12

Рис. 1.5. Кадр GSM и временной слот этого кадра

На рис. 1.6 изображена структура приемника GSM. Приемник позволяет оценить импульсную характеристику канала, сформировать опорные эталонные сигналы, сопоставить их с принятой последовательностью битов и, используя алгоритм Витерби, вынести решение о переданной последовательности битов.

Рис. 1.6. Структура приемника GSM

Принятый сигнал Sr n описывается, как свертка переданного сигнала

St n и импульсной характеристики канала hc n , т. е.

N	n hc k n St n * hc n .
Sr k St		(1.7)

n 0

Запись St n * hc n означает операцию свертки. В приемнике из Sr n из-

влекается часть принятого слота rr n , являющейся настроечной частью Sr n ,

и отсылается на блок оценки hc n , представляющий собой фильтр, который со-

13

гласован с переданным сигналом St n . Этот согласованный фильтр выдает

ˆ

оценку импульсной характеристики канала, обозначаемой как hc n . Далее сформированная импульсная функция канала усекается по времени. Длитель-

ˆ

ность усеченной функции hc t обозначим через Ty , она определяется априор-

ными сведениями об инерционных свойствах канала и его многолучевости. В

системе GSM принята Ty 15 20 мкс, что соответствует передаче информации

в городе. При длительности одного бита передаваемого сообщения 3,7 мкс Ty

составляет от 4 до 6 битовых интервалов. В каждом таком интервале формиро-

ватель опорных сигналов генерирует опорные сигналы, представляющие собой все возможные бинарные двоичные последовательности с длительностью одно-

го бита 3,7 мкс. Их число составит 26 . Сформированные последовательности

S0 t сворачиваются с оценкой импульсной характеристики канала	ˆ	t и по-
	hc
ступают на блок вычисления метрики.

Блок вычисления метрики определяет, какая из сформированных после-

довательностей точнее всего соответствует принятой последовательности.

Принцип работы этого блока таков: вычисляется расстояние Хэмминга между принятым сигналом длительностью 6 бит и каждым из сформированных опор-

ных сигналов, выбирается тот из сформированных сигналов, для которого рас-

стояние Хэмминга оказывается минимальным. Такой алгоритм оценки приня-

той последовательности называется алгоритмом Витерби.

После оценки принятой последовательности на интервале длительностью

Ty приемник переходит к оценке данных, переданных в последующем соседнем интервале. Описанный алгоритм работы приемника дает оценку переданной последовательности соответствующую критерию максимального правдоподобия.

Итак, при наличии описанного эквалайзера искаженные каналом выборки сигнала не меняют своей формы и не компенсируются прямо каким-либо мето-

14

дом. Приемник настраивается таким образом, что он становится способным к эффективной обработке искаженных фрагментов сигнала.

Выравнивающие фильтры

Другой способ уменьшения межсимвольной интерференции – это вырав-

нивание с помощью фильтров, компенсирующих искажения импульсов. Вы-

равнивание с помощью фильтров имеет несколько вариантов. Фильтры могут быть линейными устройствами (трансверсальные эквалайзеры) или нелиней-

ными, включающими элементы с обратной связью (эквалайзеры с обратной связью по решению). Кроме того, фильтры могут различаться алгоритмом ра-

боты, который может быть заданным или адаптивным.

Рассмотрим выравнивающие линейные фильтры с заданным алгоритмом работы. Для этого представим передаточную функцию системы H f в таком виде:

H f Ht f Hс f He f Hrr f ,	(1.8)
где, в отличие от выражения (1.1), принимающий фильтр	Hr f пред-

ставлен двумя фильтрами He f – фильтром эквалайзера и Hrr f – фильтром приемника. Поставим перед собой задачу определить He f при типовых огра-

ничениях: общая передаточная функция системы H f имеет вид приподнято-

го косинуса; передаточный фильтр Ht f и фильтр приемника Hrr f также должны иметь вид корня квадратного из приподнятого косинуса. Иными сло-

вами, Ht f Hrr f совместно также представляет собой фильтр с характери-

стикой типа приподнятого косинуса. Такие условия позволяют вне зависимости от конкретного вида приемного и передающего устройств спроектировать эква-

лайзер и использовать его при приеме сигналов.

Учитывая введенные выше ограничения, передаточная функция эквалай-

зера, необходимая для компенсации искажений, введенных каналом, записыва-

ется как:

H		f		1					1	e j c f .	(1.9)
	e		H	с f				H	с f

15

Итак, передаточная функция эквалайзера должна быть обратно пропор-

циональной передаточной функции канала.

Для изучения трансверсального фильтра рассмотрим одиночный импульс,

прошедший через канал рис. 1.7.

Рис. 1.7. Пример искаженного импульса на выходе канала

Импульс, изображенный на рис. 1.7, искажен каналом: боковые лепестки не проходят через нуль в моменты взятия выборок. Для получения желаемой передаточной функции всей системы типа приподнятого косинуса выравни-

вающий фильтр должен вырабатывать такой отклик, чтобы он, складываясь со значениями импульса в отчетные моменты времени, давал нулевые значения напряжения на выходе фильтра. Поскольку нас интересуют выборки выходного сигнала фильтра только в определенные моменты времени, проектирование выравнивающего фильтра несложная задача.

Трансверсальный фильтр, изображенный на рис. 1.8, – наиболее популяр-

ная структура настраиваемого выравнивающего фильтра.

16

Z(k)

Рис. 1.8. Трансверсальный фильтр

В таком эквалайзере текущее и предыдущие значения принятого сигнала

линейно взвешиваются коэффициентами эквалайзера С j , а затем суммируются для формирования выходного сигнала. Основной вклад вносит центральный отвод, вклады остальных отводов связаны с боковыми лепестками принятого сигнала. Если бы можно было создать фильтр с бесконечным числом отводов,

то можно было бы так подобрать весовые коэффициенты, чтобы импульсный отклик системы в точности соответствовал входному импульсу системы. Не смотря на то, что фильтр с бесконечным числом отводов не относится к числу реализуемых, все же можно создать реальный фильтр, достаточно хорошо ап-

проксимирующий идеальный случай.

Предположим, что существует 2N 1 отводов с весовыми коэффициен-

тами C N , C N 1 ...C0 ...CN 1 , CN . Сигнал на выходе эквалайзера	Z k находится
путем следующей свертки выборок на входе x k и коэффициентов CN :
n N
Z k x k n Cn , где	(1.10)

n N

k 2N...2N; n N...N .

Отсчет времени производится от k 0 , когда регистр сдвига из линии за-

держки полностью заполнен 2N отсчетами входного сигнала. До этого момен-

та время отрицательно 2N t 0 . Число «n» в выражении (1.10) использу-

ется для обозначения смещения во времени входных значений отсчетов x и как

17

идентификатор коэффициентов фильтра. Если представить входные отсчеты в

виде матрицы X ,

выходные отсчеты представить в виде вектора

Z ,

а фильтр

характеризовать набором величин, представленных в виде вектора

C , то

при

Z 2N

C

x N

0

0

0

0

t 2N

N

x N 1

x N

0

0

0

Z 0

Z

, C

C0

, и X

x N

x N

1

x N 2

x N

t 0

1 x N

Z 2N

CN

0

x N

t 2N.

0

0

0

Соотношение между Z , C и X можно записать в компактной форме

Z

X C.

(1.11)

В общем

случае

число

строк в

матрице

X равно

4N+1,

а

число

столбцов – (2N+1).

Если же матрица X является квадратной,

а число строк и столбцов со-

ответствует числу элементов вектора C , то выражение (1.11) можно

записать как

C X -1 Z.

(1.12)

Заметим, что в общем случае размер вектора

Z и число строк матрицы

X выбирают в зависимости от того, в каком множестве выборок, достаточно

удаленных от основного лепестка при

k 0 , нас интересует межсимвольная

интерференция.

В формулах (1.10) – (1.12) индекс k

выбирается так, чтобы число точек

взятия выборок равнялось 4N 1. Векторы C и Z

имеют соответственно раз-

мерность 2N 1 и 4N 1, а матрица X не является квадратной и имеет размер

4N 1 на

2N 1. В этом случае система уравнений (1.12) оказывается переоп-

ределенной, т. е. число уравнений 4N 1

превышает число неизвестных (эле-

ментов вектора C 2N 1). Такое уравнение можно решить с помощью обраще-

ния в нуль незначащих коэффициентов.

18

Обращение в нуль незначащих коэффициентов

Решение этим методом начинается с отделением N верхних и N нижних строк матрицы X . Таким образом, матрица X становится квадратной разме-

ром 2N 1 на 2N 1. Вектор Z имеет теперь также размерность 2N 1 и фор-

мула (1.12) определяет теперь детерминированную систему линейных уравне-

ний общим числом 2N 1. Весовые коэффициенты C N , C N 1 ...C0 ...CN 1 , CN

выбираются так, чтобы
	при k 0,
1
Z k
0	при остальных значениях k.

Это означает, что сигнал в N точках взятия выборок по обе стороны от

выходного импульса будет равен нулю. Требуемое число отводов 2N зависит от того, как сильно канал может «размазать» входной импульс.

Пример. На вход канала передачи подается одиночный импульс. Приня-

тый набор выборок импульса на выходе канала состоит из напряжений со зна-

чениями 0,0; 0,2; 0,9; –0,3; 0,1, как показано на рис. 1.7. Применяя метод обра-

щения в нуль незначащих коэффициентов, найти значения коэффициентов

С 1 , С0 , С1 , уменьшающих межсимвольную интерференцию так, чтобы значе-

ния выборок выходного сигнала имели значения Z 1 0, Z 0 1, Z 1 0 .

Используя эти весовые коэффициенты, вычислить значения выборок выходного сигнала в моменты k 2, 3.

Поскольку заданы значения выходного сигнала в трех точках, записываем

входную выборку в виде

	X 1			X 0		X 1
	0,2			0,9		–0,3
Составляем матрицу X :
			0,9	0,2		0
	X 0,3 0,9				0,2 .
			0,1	0,3	0,9

19

Записываем уравнение, определяющее весовые коэффициенты:

		0,9	0,2	0
				0,2
Z	X C 0,3		0,9
		0,1	0,3	0,9

C 1C0 .C1

Решая систему трех уравнений, получаем

				C 1				0,2140
				C					0,9631 .
			C
						0
				C					0,3448
						1
Значения выборок выходного импульса										Z k в соответствующие точки
взятие выборок k 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 вычисляется из уравнения
			0
		- 0,2			0
		0,9		0,2					0	0,2140
	Z	- 0,3			0,9			0,2			0,9631	.
		0,1		0,3					0,9		0,3448
			0		0,1			0,3
			0		0
									0,1
В итоге имеем:
	0,0428;											0,0071;	0,034 .
Z 0,0000;			0,0000;					1,0000;		0,0000;

1.2.5. Контрольные вопросы и задачи

1.Какие искажения сигнала с цифровой модуляцией могут возникнуть при его фор-

мировании, передаче и приеме?

2.Что такое межсимвольная интерференция сигналов?

3.Какие способы ослабления межсимвольной интерференции вы знаете?

4.Какова импульсная характеристика идеального фильтра Найквиста?

5.Расскажите о достоинствах и недостатках фильтров типа приподнятого косинуса с точки зрения уменьшения межсимвольных искажений по сравнению с идеальным фильтром Найквиста?

6.Расскажите о методе устранения межсимвольных искажений – методе подстройки приемника под принимаемый сигнал.

20