Практическая работа №5 Основы регрессионного анализа

Цель: Научится выбирать с учетом специфики и природы анализируемых переменных форму зависимости Приобрести навыки:

- оценивать параметры модели;

-проверять гипотезу о статистической значимости параметров регрессионной модели.

Содержание работы.

I . Наибольшая плотность загрязнения снежного покрова БП-м наблюдается на территории, прилегающей к НЭЗ ( см. практ. раб.3). По мере удаления от объекта степень загрязнения уменьшается. В табл. 31 представлены данные о плотности загрязнения в зависимости от расстояния до НЭЗ. Необходимо подобрать модель, адекватно описывающую экологическую обстановку в исследуемом районе.

Таблица 31

Расстояние до объекта, км	КБП, мг/ м3	Расстояние до объекта, км	КБП, мг/ м3
0,2 0,5 1 1,5 1,5 1,7 2,5 2,5	371 207 220 120 80 110 50 45	3 3,5 5 7 8 8 9	27 33 12 15,7 4,4 2,2 1,8

Вид диаграммы (рис.6) предполагает нелинейную зависимость между рассматриваемыми переменными. В таблице 32 представлены преобразования, сводящие нелинейную регрессию к линейной ( Y ‘= F₁(Y), X ’ = F₂(X))

Для наглядности рассмотрим три модели:

а) y_x =b₀ + b₁x, (35)

б) y_x = b₀ exp( b₁x),

в) y_x = b₀ + b₁ lg x

Рис. 6

Таблица 32

№	Функция yx	X ‘	Y ’	b0	b1
1 2 3 4 5 6 7	b0 + b1x b0 x^b1 b0 + b1/x b0 exp( b1x) b0 exp( b1/x) b0 + b1 lg x b0 + b1x^2	x x 1/x x 1/x lg x x^2	y lg y y ln y ln y y y	b0^’ b0^’ exp b0^’ exp b0^’ b0^’ b0^’	b1^’ b1^’ b1^’ b1^’ b1^’ b1^’

В модели б) сделаем преобразование переменной y_x

y_x^’ = ln y_x = ln b₀ + b₁ x = b₀’ + b₁ x.

В модели в) сделаем преобразование переменной

х’=lg x.

Для определения параметров b₀ и b₁ по выборке объема n используют метод наименьших квадратов. Согласно этому методу параметры b₀, b₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений выборочных значений y_i от их значений, вычисленных по формуле (35), была минимальной, т.е.

. (36)

На основании необходимого условия экстремума функции SS_R(b₀, b₁) приравниваем к нулю ее частные производные

,

что дает для определения b₀, b₁ систему линейных уравнений, решение которой дает:

, (37)

. (38)

Расчеты по приведенным формулам для рассматриваемых моделей приведены в таблице 32.

Таблица 32

x	y	x’=lg x	y’=ln y	Модель а)		б)		в)
				x^2	xy	x^2	xy’ y^’= lny	x’^2 х’=lgx	x’y
0,2 0,5 1 1,5 1,5 1,7 2,5 2,5 3 3,5 5 7 8 8 9	371 207 220 120 80 110 50 45 27 33 12 15,7 4,4 2,2 1,8	- 0,70 - 0,30 0 0,18 0,18 0,23 0,40 0,40 0,47 0,54 0,70 0,85 0,90 0,90 0,95	5,92 5,33 5,39 4,79 4,38 4,70 3,91 3,81 3,30 3,50 2,48 2,75 1,48 0,79 0,59	0,04 0,25 1 2,25 2,25 2,89 6,25 6,25 9 12,25 25 49 64 64 81	74,2 103,5 220 180 120 187 125 125 81 115,5 60 109,9 35,2 17,6 16,2	0,04 0,25 1 2,25 2,25 2,89 6,25 6,25 9 12,25 25 49 64 64 81	1,184 2,665 5,39 7,185 6,57 7,99 9,775 9,525 9,9 12,25 12,4 19,25 11,84 6,32 1,062	0,49 0,09 0 0,032 0,032 0,053 0,16 0,16 0,221 0,292 0,49 0,723 0,81 0,81 0,903	-259,7 - 62,1 0 21,06 14,4 25,3 20 18 12,69 17,82 8,4 13,35 3,96 1,98 1,71
3,66*	86,61	0,38	3,54	21,7	104,67	21,7	8,22	0,351	-10,88

* - приведены средние значения.

Рассчитаем параметры моделей:

а) =180,19,

=-25,57;

б) =5,63,

=-0,57;

в) =167,16,

=-211,96.

Выполним обратное преобразование для коэффициента b₀’ в модели б)

b₀ = exp(b₀’ ) = exp(5.63 ) = 278,8.

Полученные уравнения имеют вид (графически вид зависимости показан на рис. 7)

а) y_x =180,19-25,57x, б) y_x = 278,8 exp( -0,57x), в) y_x = 167,16 – 211,8 lg x

Рис.7

Проведем статистический анализ уравнений регрессии.

Для того чтобы установить, соответствует ли выбранная регрессионная модель экспериментальным данным, используют основное уравнение дисперсионного анализа

SS_T = SS_D + SS_R , (38)

где

SS_T = , (40)

- общая сумма квадратов отклонений Y от средней,

SS_D = , (47)

- сумма квадратов, обусловленная регрессией,

SS_R = , (48)

- остаточная сумма квадратов.

Необходимые расчеты приведены в таблице 33.

Таблица 33

y		yx а)	yx б)	yx в)
371 207 220 120 80 110 50 45 27 33 12 15,7 4,4 2,2 1,8		175,08 167,41 154,62 141,84 141,84 136,72 116,27 116,27 103,48 90,7 52,34 1,2 -24,37 -24,37 -49,94	248,76 209,66 157,67 118,57 118,57 105,79 67,05 67,05 50,43 37,92 16,13 5,16 2,92 2,92 1,65	315,2 230,92 167,16 129,86 129,86 118,35 82,88 82,88 66,11 51,93 19,12 -11,83 -24,11 -24,11 -34,95
=86,61	SSD	81402	86093	139506
	SSR	73658	21848	17199

Последовательность проверки гипотезы о том, что линейная парная регрессия Y по X отсутствует можно представить пятью шагами. 1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: b₁ = 0,

H₁: b₁≠0.

2-й шаг. Задание уровня значимости α = 0,05. 3-й шаг. Формирование критической статистики и исследование закона ее распределения

ψ_кр =F=,

с числом степеней свободы (l-1, n-l) , где l - число коэффициентов модели (число связей)(l=2)

ψ_кр =F=,

Статистика ψ_кр имеет F-распределению Фишера с (1) и (n - 2) числом степеней свободы. 4-й шаг. Пользуясь таблицей процентных точек F-распределения Фишера, находим:

ψ_кр.в = F_100% (1)(n - 2) = F_5% (1)(15 - 2) = 4,67.

5-й шаг. Получаем расчетное значение критической статистики из выражения

а) ψ_кр ==14,4,

б) ψ_кр ==51,2 ,

в) ψ_кр ==105,4.

Условие

ψ_расч > F_5% (1)(13)

выполняется для всех моделей, следовательно, Н₀ неверна (критерий односторонний) для а), б), в). Из исследованных моделей наиболее точно данные описывает в). Однако, с физической точки зрения необходимо принять к использованию для предсказания (прогноза) значений КБП модель б). Это связано с тем, что модели а), в) дают отрицательные значения КБП.