Учебная задача 2

Определение температурного коэффициента сопротивления (ТКС) полупроводника в интервале температур.

Обработка экспериментальных данных

Для практических целей важно знать, как существенно меняется сопротивление термистора при изменении температуры на один градус. С этой целью термисторы характеризуют так называемым температурным коэффициентом сопротивления (ТКС), которой по определению равен:

. (1)

Отсюда следует, что ТКС показывает, каково относительное изменение сопротивления при изменении температуры на один градус вблизи данной температуры. Известно, что ТКС полупроводника очень сильно изменяется в зависимости от температуры, поэтому необходимо рассчитать ТКС при разных температурах. Порядок действий таков.

1. Задав небольшой интервал изменения температуры (порядка 2—3 градуса), с помощью построенного по результатам опытов графика (рис. 4) оценить соответствующее изменение сопротивления ΔR вблизи всех тех температур, где проводились измерения сопротивления.

2. По формуле (1) рассчитать значения температурного коэффициента сопротивления _опыт. вблизи соответствующих температур. Выразить величины _опыт. в процентах. Результаты занести в таблицу 2.

3. Построить графическую зависимость ТКС от температуры _опыт. = f(t).

Сделать вывод о том, как изменяется ТКС при увеличении температуры и в каком диапазоне температур данный термистор имеет максимальную чувствительность.

Учебная задача 3.

Определение энергии активации процесса проводимости

Известно, что электропроводность собственных полупроводников  в первом приближении растет с температурой по экспоненциальному закону, так же как и концентрация носителей:

(2)

где ₀ – слабо зависящий от температуры множитель, равный электропроводности при очень высоких температурах, когда все электроны валентной зоны возбуждены и находятся в зоне проводимости (т.е. при Т); Е_актив – энергия активации носителей, численно равная для собственных полупроводников ширине запрещенной зоны Е_актив = Е.

Удельная электропроводность  и удельное сопротивление  величины, обратные по своему физическому смыслу (). Поскольку при нагревании электропроводность полупроводника возрастает, то его удельное сопротивление  соответственно уменьшается. Формула (2) позволяет записать закон изменения удельного сопротивления с температурой:

(3)

Выразим сопротивление термистора цилиндрической формы через его геометрические размеры: (4)

где L – длина, S – площадь сечения термистора.

Подставив (3) в формулу (4), получим выражение, позволяющее рассчитать сопротивление термистора при заданной температуре:

. (5)

В этой формуле R₀ – множитель, равный сопротивлению при очень высоких температурах (т.е. R = R₀, при Т ); Из анализа формулы (5) следует, что при увеличении температуры сопротивление полупроводника уменьшается по экспоненциальному закону, что согласуется с результатами измерений (рис. 4).

Для того чтобы выполнять расчеты по формулам (2) и (5), необходимо знать численное значение множителей ₀ либо R₀ и энергию активации носителей. Для определения этих параметров можно поступить следующим образом. Прологарифмировав уравнение (5), получим:

. (6)

Г рафик зависимости (6) в полулогарифмических координатах от обратной температуры 1/Т представляет собой прямую линию (рис. 5). Экстраполируя экспериментальные значения сопротивлений в область высоких температур, т.е. продолжая эту прямую до пересечения с осью ординат, получают точку, значение которой равно lnR₀. Потенцируя это значение, определяют величину R₀–предъэкспоненциальный множитель в формуле (5).

Построенная по результатам опытов зависимость такого вида (рис. 5) позволяет также найти энергию активации проводимости. Действительно, из графика тангенс угла наклона прямой равен:

(7)

Это же отношение из формулы (6) равно: . (8)

Приравнивая (7) и (8), получаем . (9)

Таким образом, определенные по результатам измерения электропроводности угловые коэффициенты позволяют рассчитать энергию активации собственных носителей, численно равную ширине запрещенной зоны – важнейшей характеристике собственных полупроводников .

Напомним, что у большинства собственных полупроводников значение ширины запрещенной зоны порядка одного электрон-вольта. Например, у кремния Е = 1,09 эВ, у германия Е = 0,72 эВ.

Подставив эмпирическую зависимость (5) в формулу (1) и выполнив вычисления, получим выражение, с помощью которого можно аналитически рассчитать ТКС материала полупроводника вблизи заданной температуры:

. (10)

Знак минус в этой формуле означает, что при повышении температуры сопротивление материала уменьшается.

Из анализа приведенных соотношений следует, что как само сопротивление, так и ТКС полупроводника очень сильно изменяются с температурой, поэтому эти параметры принято указывать для определенной температуры, чаще всего для 20 ^оС, например, R₂₀, ₂₀.

Обработка экспериментальных данных

1. Рассчитать значения температур по шкале Кельвина, вычислить 1/Т.

2. Вычислить значения lnR. Результаты расчетов занести в таблицу 2.

3. Построить графическую зависимость, отложив по оси ординат значения логарифма сопротивления lnR, а по оси абсцисс – значения обратной абсолютной температуры (1/Т). В этих координатах экспериментальные точки должны удовлетворительно ложиться на прямую линию (рис. 5).

4. Провести эту линию таким образом, чтобы отклонения экспериментальных значений от прямой были бы минимальными. Продолжив прямую линию до пересечения с осью ординат, определить значение lnR₀ и рассчитать коэффициент R₀.

5. Определить тангенс угла наклона прямой и в соответствии с формулой (9) рассчитать энергию активации процесса проводимости. Сравнив ΔE с литературными данными, сделать вывод о том, собственным или примесным полупроводником является материал, из которого сделан термистор.

6. В виде эмпирической формулы записать закон, согласно которому изменяется сопротивление исследованного термистора при изменении температуры: .

7. Для термистора цилиндрической формы, имеющего длину L = 10^-2 м и площадь сечения S = 3 мм² = 310^-6 м², рассчитать удельное сопротивление и электропроводность:

8. В соответствии с формулой (2) записать эмпирический закон, согласно которому изменяется проводимость материала исследованного термистора при изменении температуры: .

6. По формуле (10) рассчитать ТКС для заданных температур (например, для 20 и 50 градусов). Результаты расчетов занести в таблицу 2. Сравнить рассчитанные значения ТКС (_расчет) со значениями, определенными опытным путем. Сделать вывод о точности примененных методов.

Таблица 2.