§2. Классическое определение вероятности.

1. Из шести карточек с буквами «Л», «И», «Т», «Е», «Р», «А» выбирают наугад в определенном порядке четыре. Найдите вероятность того, что при этом получится слово «ТИРЕ».

Ответ: Р=1/0,0028.

2. В урне пять белых и четыре черных шара. Из урны в случайном порядке извлекают все находящиеся в ней шары. Найдите вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

Ответ: Р=5/9≈0,56.

3. Кодовые комбинации содержат пять различных цифр от 1 до 5. Какова вероятность того, что цифры в случайным образом выбранной кодовой комбинации образуют последовательность 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: Р=1/5!≈0,0083.

4. В шкафу находятся 10 пар ботинок. Из них наудачу выбирают четыре ботинка. Найдите вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные. Ответ: Р=0,69.

5. Колоду из 52 карт случайным образом делят пополам. Найдите вероятность того, что в каждой половине будет по два «туза».

Ответ: Р=0,39.

§3. Геометрическая вероятность.

1. Стержень длиной ℓ ломают на три части, причем точки разлома выбирают наудачу. Найдите вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник.

Ответ: Р=1/4=0,25.

2. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросают монету радиуса r, r < a/2. Найдите вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата.

Ответ: Р=.

3. Два приятеля условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи приятелей, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

Ответ: Р=11/36≈0,31.

4. В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Сигналы искажаются, если разность между моментами их поступления меньше τ. Найдите вероятность того, что сигналы будут искажены.

Ответ: Р=.

§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: А – на трех костях выпадут разные числа очков, В – хотя бы на одной из костей выпадет «шестерка». Вычислите Р(А\В) и Р(В\А).

Ответ: Р(А\В)=60/91, Р(В\А)=1/2.

2. Обнаружение воздушной цели проводится независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность обнаружения цели первой станцией равна 0,7, второй – 0,8. Найдите вероятность того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией.

Ответ: Р=0,94.

3. Система состоит из четырех узлов (рис. 2). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

Рис. 2

Ответ: Р= р₁[1-(1 – р₂)(1 – р₃)] р₄.

4. Система состоит из четырех узлов (рис. 3). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁=0,7, р₂=0,6, р₃=0,8, р₄=0,9. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

Рис. 3

Ответ: Р≈0,99.

§5. Формулы полной вероятности и Байеса.

1. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект, если он есть, и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан негодным. Найдите вероятность того, что проверяемый транзистор будет признан негодным.

Ответ: Р=0,122.

2. В первой урне лежат 10 шаров, из них 8 белых, во второй – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару, а затем из этих двух наудачу берется один шар. Найдите вероятность того, что это будет белый шар.

Ответ: Р=0,94.

3. В поступивших на склад трех партиях деталей годные составляют 89%, 92% и 97% соответственно, а количества деталей в партиях относятся как 1:2:3.

а) Найдите вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется негодной.

б) Случайно выбранная деталь оказалась негодной. Найдите вероятность того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям.

Ответ: а) Р(А)=0,06; б) Р(Н₁\А)≈0,31; Р(Н₂\А)≈0,44; Р(Н₃\А)≈0,25.

4. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найдите вероятность того, что в цель попал первый стрелок.

Ответ: Р=6/7≈0,857.

5. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Определите вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступили 30 телевизоров с первого завода, 20 – со второго и 50 – с третьего.

Ответ: Р=0,895.