ГЛАВА IV - ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

IV. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 10. Основы дифференцирования функции двух переменных

Частная производная от функции по переменной x – это предел

.

Частная производная от функции по переменной y – это предел

.

Соответствующие обозначения: и , или же и .

Производная – это скорость изменения функции при малом изменении переменной x, когда переменная y постоянна. Очевидно, – новая функция.

При поиске считаем, что y – это число, выраженное буквой (параметр). Тогда получаем функцию одной переменной , а производную от неё находим по правилам дифференцирования функции одной переменной.

Так же – это скорость изменения функции при малом изменении y и постоянном x, а при поиске составляем функцию и дифференцируем её как функцию одной переменной.

Пример 1. Частные производные от функции :

;

.

Пример 2. Найдём частные производные от функции :

;

.

В 1-м случае вынесли постоянный множитель , не зависящий от x, а во 2-м случае – множитель , не зависящий от y.

Пример 3. Для функции найдём

;

.

Полный дифференциал показывает, как примерно изменится функция, если увеличить x на величину и одновременно y – на величину (если или , то речь об уменьшении x или y).

Пример 4. Найдём полный дифференциал функции в общем виде и в точке :

а) – при получается производная степенной функции;

б) – при получается производная показательной функции.

Таким образом, в общем виде , или, если вынести общий множитель, .

Чтобы найти полный дифференциал в точке, подставив её координаты и , тогда .

Смысл результата. Пусть надо найти, например, значение функции в точке , или, что то же самое, найти величину .

Если взять точку , то . При переходе в точку N изменение аргументов составило и (разность старых и новых координат).

Полный дифференциал в точке M (не в N!)

равен приращению функции при переходе из точки в .

Поэтому . Более точно, .

Пример 5. Найдём для нескольких функций полные дифференциалы в общем виде и в конкретной точке M:

а) пусть ; , тогда

.

Дифференциал в общем виде

;

в точке M будет

.

б) пусть даны и ; тогда

.

Дифференциал в общем виде:

;

в точке:

;

в) если даны и , то

;

.

Упростим числители:

; .

В полном дифференциале вынесем общий множитель:

,

подставим координаты точки:

,

или .

Так, чтобы найти , считаем , затем и , после чего

и соответственно .

Пример 6. При помощи полного дифференциала найдём значение функции при (угол выражен в радианах).

Подберём точку как можно ближе к , чтобы в ней легко вычислялось значение . Это точка : .

Частные производные в общем виде:

, ,

а в точке будет , и .

Значит, около точки функция меняется примерно так же, как меняется переменная x. В нашем случае .

Новое значение функции .

Более точное значение почти совпадает с приближённым. Отличие вызвано тем, что , а не 1;

Ответ: .

Пример 7. При помощи полного дифференциала найдём .

Представим это число как значение функции в точке . При этом и , а для таких аргументов функцию легко посчитать: .

Итак, , , , .

Тогда при и .

Для частные производные

; .

В точке M и , тогда

(функция растёт в 2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).

Итак, .

Ответ: (более точное значение равно ).

ЧП1. Найдите частные производные для функций

1) а) ; б) ;

в) ; г) ;

2) а) ; б) ;

в) ; г) ;

3) а) ; б) ;

в) ; г) ;

4) а) ; б) ;

в) ; г) ;

5) а) ; б) ;

в) ; г) ;

6) ;

7) .

ЧП2. Найдите полные дифференциалы функций в указанной точке:

1) а) ; б) ;

в) ; г) ;

2) а) ; б) ;

в) ; г) ;

3) а) ; б) ;

в) г) .

ЧП3. Найдите при помощи полного дифференциала приближённые значения

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) .

Экстремум функции двух переменных

Точка M называется точкой минимума функции , если можно указать открытую область D (часть плоскости xOy), в которой значение – наименьшее из всех. Более строго, M – точка минимума, если существует D, что

а) (точка входит в эту область и не принадлежит её границе);

б) (в любой другой точке этой же области значение функции меньше, чем в интересующей нас точке).

При замене на условие получим определение точки максимума.

Например, – точка минимума функции , поскольку в ней , а в любой другой точке .

Схема поиска точек экстремума для функции

1) Найдём и , затем – точки , где обе производные равны 0;

2) найдём 2-е производные , т.е. соответственно ;

3) координаты точки подставим во 2-е производные. Получим числа

;

4) если, в точке экстремума нет. Если , то смотрим, каков знак A:

если , то – точка минимума,

если же , то – точка максимума;

5) если в оказалось, что , необходимы другие методы решения, выходящие за рамки пособия (разложение в ряд Тейлора);

6) таким же образом 3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных точек.

Пример 8. Найдём экстремумы функции .

1) решаем систему

(уравнения решены независимо, и подходят все сочетания координат);

2) находим 2-е производные

;

;

;

Проверяем точку , подставив и :

3) ; ; ;

4) , экстремума в нет.

Проверяем точку , подставив и :

3) ; ; ;

4) , экстремум в есть.

Поскольку , то данный экстремум – это минимум. Можно найти его значение .

Ответ: минимум при и , равный –50.

Пример 9. Исследуем на экстремум функцию .

1) Находим решаем систему

Здесь .

У 2-го уравнения 3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:

если , то ,

если , то ,

если , то .

Получаем 3 точки: ;

2) берём 2-е производные

; ; ;

проверяем точку :

3) ; ; ;

4) , в есть экстремум, а поскольку , то этот экстремум – минимум. Его значение ;

проверяем точку :

3) ; ; ;

4) , экстремума в нет.

Легко видеть, что для точки результаты те же, что и для .

Ответ: минимум, равный –2, при и , а также при и .

Замечание 1. Если в записи функции поменять все знаки, точки минимума станут точками максимума, и наоборот. При этом координаты точек не изменятся. Так, из примера 9 следует, что для получим максимум, равный 2, при и , а также при и .

Если же к функции добавить (или отнять) любое число, изменится лишь значение экстремума, но не его тип. Так, у функции окажется максимум при и , а также при и , равный 2+50=52.

ЧП4. Найдите точку экстремума функции при указанных параметрах a, b. Найдите значение функции в этой точке и определите тип экстремума:

а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;

д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.

ЧП5. Найдите точку экстремума функции при указанных параметрах a, b. Найдите значение функции, определите тип экстремума:

а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;

д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.

Замечание 2. Функции двух переменных ведут себя сложнее, чем функции одной переменной. Так, при решении задач на экстремум:

а) даже у непрерывных функций могут быть несколько точек максимума и ни одной точки минимума (или наоборот);

б) все стационарные точки могут оказаться седловыми точками, из которых функция растёт при изменении x и убывает при изменении y (или наоборот). Тем самым у функции не окажется ни максимума, ни минимума.

Замечание 3. Приведённая схема исследования на экстремум предполагает, что функция дифференцируема в точках экстремума. Однако это не обязательно. Так, функция в точке имеет максимум, но её производные в данной точке обращаются в бесконечность. Подобные случаи выходят за рамки пособия.