1.13 Тренинг

1.13.1 Задания для самостоятельной работы по общей теории статистики для студентов дневной формы обучения

Задание 1

Для компенсации потерь населения по вкладам в условиях инфляции коммерческий банк в течение года применял следующие процентные ставки (табл. 50):

Таблица 50

Месяцы	Январь - март	Апрель – май	Июнь – сентябрь	Октябрь – декабрь
Процентная ставка, %	130	100	80	140

Определите среднюю годовую процентную ставку.

Задание 2

По трем предприятиям, входящим в состав одной фирмы за отчетный период, имеются следующие данные (табл. 51):

Таблица 51

Номер предприятия	Численность работников, чел.	Прибыль, тыс. р.	Выработка одного работника, тыс. р./чел.	Рентабельность предприятия, %
1	210	420	15,4	23
2	520	1136	18,2	28
3	300	945	21,0	32

Примечание. Выработка = Объем продукции / Численность работников

Рентабельность предприятия = Прибыль / Стоимость основных и оборотных фондов

Определите по фирме в целом:

- среднюю прибыль в расчете на одно предприятие;

- среднюю выработку одного работника;

- среднюю рентабельность продукции.

Задание 3

По данным об объеме экспорта России за 1996 – 2005 годы проанализируйте его динамику, используя:

1. показатели (цепные и базисные), характеризующие изменение уровней ряда по годам (абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение 1% прироста, пункты роста);

2. средние показатели ряда (средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста).

Таблица 52

Годы	Экспорт России, млн. долл.
1996	56,5
1997	64,1
1998	71,2
1999	78,2
2000	74,4
2001	73,1
2002	56,8
2003	43,4
2004	44,0
2005	45,6

Дайте графическое изображение ряда и сформулируйте выводы.

Задание 4

Средний недельный курс доллара на торгах межбанковской валютной биржи за период с 30 января по 5 марта 2005 года характеризуется следующими данными (табл. 53):

Таблица 53

Недели	Средний недельный курс доллара на ММВБ
30.01 – 05.02	24
06.02 – 12.02	24,1
13.02 – 19.02	24,2
20.02 – 26.02	24,3
27.02 – 05.03	24,4

Произведите аналитическое выравнивание ряда по прямой и найдите прогнозное значение курса доллара на следующую неделю.

Значение t – критерия Стьюдента для 5 %-го уровня значимости и числа степеней свободы 3 равно 3,18.

Задание 5

По предприятию имеются следующие данные о стоимости выпущенной продукции и об изменении ее объема (табл. 54):

Таблица 54

Вид продукции	Стоимость выпущенной продукции, тыс. р.		Увеличение (+), уменьшение (-) объема продукции в 3 квартале по сравнению со 2, %
	2 квартал	3 квартал
А Б	770 300	820 310	+6,2 -2,1

Определите изменения в 3 квартале по сравнению со 2 кварталом:

1. стоимости выпущенной продукции;

2. объема продукции;

3. цен на продукцию предприятия.

Сформулируйте выводы.

Задание 6

По фирме, реализующей продовольственные товары, известно, что в базисном периоде стоимость реализованных товаров составила 12 млн р., в отчетном периоде стоимость реализации возросла на 13,6 %. Физический объем реализованных товаров возрос на 3,7 %.

Определите среднее изменение цен на реализованные товары и общую стоимость их реализации в отчетном периоде.

Самостоятельная работа

Типовая задача № 1

Задание

Исследуется возрастной состав группы студентов, состоящие из 20 человек. Данные обследования показали, что возрасты студентов равны (лет): 18, 18, 19, 20, 19, 20, 19, 19, 19, 20, 22, 19, 19, 20, 20, 21, 19, 19, 19, 19. Построить вариационный ряд, по найденному вариационному ряду построить полигон, гистограмму, кумуляту.

Решение

1. Строится вариационный ряд (табл. 55):

Таблица 55

Возраст студентов xi	118	119	220	221	222	Всего
Число студентов mi	2	11	5	1	1	20

2. С

   x_i

   троится полигон.

3. Строится гистограмма.

4. Строится кумулята.

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Исследуется выработка 25 рабочих, производящих один вид продукции. Данные обследования (в шт./день): 80, 80, 100, 100,120, 80, 100, 120, 140, 160, 140, 80, 100, 120, 120, 120, 140, 160, 140, 140, 120, 120, 100, 120, 120. Построить вариационный ряд, по найденному ряду построить полигон, гистограмму, кумуляту.

Задание 2

Исследуется стаж работников малого предприятия, численность которого 15 человек. В результате обследования получены следующие данные (лет): 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 3, 4, 5, 6, 4. Построить вариационный ряд и гистограмму.

Типовая задача № 2

Задание

По вариационному ряду рассчитать средние (гармоническую, арифметическую, квадратическую) медиану, моду, показатели вариации.

Вариационный ряд (табл. 56):

Таблица 56

5x115	15<x225	25<x335	35<x445	45<x555	55<x665	Всего
m1 = 3	m2 = 7	m3 = 10	m4 = 15	m5 = 6	m6 = 4	45

Решение

1. Из данного интервального вариационного ряда строится точечный (табл. 57):

Таблица 57

xi	10	20	30	40	50	60
mi	3	7	10	15	6	4

2. Рассчитывается средняя гармоническая:

_-1 = .

3. Рассчитывается средняя арифметическая:

.

4. Рассчитывается средняя квадратическая:

_кв. = .

5. Рассчитывается медиана (x_M):

серединный номер выборки – 23, соответствующее значение признака – 40, следовательно, медиана равна x_M = 40.

6. Рассчитывается мода (x₀):

находится наибольшая частота появления признака, т.е. наибольшее из чисел m_i : m₄ = 15.

Модальное значение признака равно x₀ = 40.

7. Рассчитывается вариационный размах:

R = x_max – x_min = 60 – 10 = 50.

8. Рассчитывается среднее линейное отклонение:

.

9. Рассчитывается среднее квадратическое отклонение ():

Сначала находится дисперсия:

и = 13,25.

10. Рассчитывается относительное линейное отклонение (ρ) и коэффициент вариации (v)

ρ = %;

v = %.

Типовая задача № 3

Задание

На фирме, состоящей из трех подразделений, проводится исследование по уровню заработной платы. Результаты обследований приведены в таблице 58:

Таблица 58

Номер подразделения / уровень з/п	до 500	500-700	700-900	900-1100	Всего, чел.
1	2	4	10	6	30
2	7	25	15	5	60
3	10	15	35	12	80
Всего	19	44	60	25	170

Оценить средний уровень заработной платы в каждом подразделении, всему предприятию в целом; убедиться, что средняя по подразделениям совпадает со средней заработной платой по предприятию.

Решение

1. Вариационный ряд представляется в виде точечного; в качестве точечных значений заработной платы выбираются серединные значения интервалов: 400, 600, 800, 1000, 1200.

2. Рассчитываются средние уровни заработной платы в каждом подразделении:

₁ =

3. Рассчитывается среднее по подразделениям:

_n =

3. Рассчитывается средняя заработная плата по предприятию в целом

Действительно, средняя из п. 3 совпадает со средней из п. 4.

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Исследуется уровень средней прибыли фирм, расположенных в трех районах региона. Обследовано 100 фирм. По уровню прибыли фирмы расположились следующим образом.

Оценить средний уровень прибыли в каждом районе и по региону в целом (табл. 59).

Таблица 59

Район / прибыль тыс.р.	200	300	400	500
1	5	4	11	15
2	7	8	5	10
3	10	12	7	6

Рассчитать средний уровень прибыли по районам.

Задание 2

Дневная выручка 5 торговых центров составила (табл.60):

Таблица 60

Вид прод.,тыс. р./ № торг. центра	1	2	3	4	5
Прод. товара	110	6	8	115	112
Пром. товара	225	220	222	225	110
Услуги	115	115	17	20	10

Рассчитать среднедневную выручку каждого центра, среднедневную выручку по продовольственным товарам, промышленным товарам, услугам, среднедневную выручку одного центра.

Типовая задача № 4

Задание

Вдоль шоссе расположено 5 магазинов. Решается вопрос о строительстве базы снабжения. Магазины расположены на 2-м, 5-м, 25-м и 60-м км. Обработка статистических данных показала, что в среднем за период будут обращаться на базу: первый магазин – 5 раз, второй – 10 раз, третий – 15 раз, четвертый – 10 раз, пятый – 40 раз. Требуется решить вопрос о местонахождении базы снабжения так, чтобы сумма пробегов от магазинов до базы была минимальной.

Решение

1. Данные представляются в виде вариационного ряда, считая расстояние (местоположение магазинов) – значениями признака, а число ездок – частотой:

2. Находится медиана ряда (табл. 61):

Таблица 61

xi, расст., км	2	5	10	25	60
mi, число поездок	4	5	15	10	40

= км

3. Определяется место расположения базы снабжения. По свойству медианы, сумма пробега будет минимальной, если база снабжения будет построена на 42,5 км шоссе.

Решите самостоятельно следующее задание

Задание 1

Вдоль трассы длиной 100 км расположено 6 гаражей. Принято решение о строительстве бензоколонки. Для выбора месторасположения бензоколонки собраны сведения о числе предлагаемых ездок из гаражей на заправку: из 1-го гаража – 10 ездок, из 2-го – 15, из 3-го – 5, из 4-го – 25, из 5-го – 30, из 6-го – 10. Расположение гаражей вдоль трассы: 1-й гараж - на 7 км, 2-й – на 26-м, 3-й – на 28-м, 4-й – на 37, 5-й – на 40, 6-й – на 50 км. Определить место бензоколонки так, чтобы сумма пробега автомашин на заправку была минимальной.

Типовая задача № 5

Задание

На основе данных о товарообороте магазина по кварталам 2005 г. произвести согласование ряда с помощью абсолютных приростов и сделать прогноз на первый квартал 2006 г. Рассчитать темпы роста товарооборота и средний темп роста за последние три квартала.

Таблица 62

Показатели	Квартал 2005 г.
	1	2	3	4
Объем товарооборота, тыс. р.	618	609	632	637

Решение

1. Рассчитываются абсолютные ценные приросты:

Δ₁ = 609 – 618 = -9 тыс. р.

Δ₂ = 632 – 609 = 23 тыс. р.

Δ₃ = 637 – 632 = 5 тыс. р.

2. Рассчитывается средний абсолютный прирост:

тыс. р.

3. Рассчитывается прогнозное значение товарооборота в 1-м квартале 2001 г.:

637 + 6,33 = 643,33 тыс. р.

4. Рассчитываются темпы роста товарооборота:

k₁=0,99; k₂=1,04; k₃ =1,01.

5. Средний темп роста за последние три квартала равен

= = 1,03.

Решите самостоятельно следующие задания

Задание 1

Таблица 63

Дата	1.09	2.09	3.09	4.09	5.09
курс	24,3	24,8	24,9	25,0	25,1

По данным о валютном курсе на ММВБ (р/долл), представленным в таблице 63 рассчитать прогнозное значение курса на 6.09, используя сглаживание с помощью абсолютных приростов.

Задание 2

Товарооборот магазина за 5 периодов составил (табл. 64):

Таблица 64

Период показатель	1	2	3	4	5
Товарооборот, тыс.р.	8857	9326	9801	10287	10884

Рассчитать средние темпы роста и прироста товарооборота. Ответ представить в %.

Типовая задача 6

Задание

Произвести смыкание следующих динамических рядов объемов продукции фирмы (на базе цен на 1.01.2002 г.) по следующим данным

(табл. 65):

Таблица 65

Показатели выпуска продукции, тыс. р.	22000	22001	22002	22003	22004	22005
В ценах на 1.01.1995	22180	33200	44000
В ценах на 1.01.2000			44300	44500	44900	55100

Решение

1. Рассчитывается индекс цен 2002 года по сравнению с 2000 г.:

J_р =

2. Рассчитываются объемы выпуска в ценах 2002 г.

В₁₉₉₂ = 2180 1,075 = 2343,5 тыс. р.

В₁₉₉₃ = 3200 1,075 = 3440 тыс. р.

3. Искомый динамический ряд на базе цен 2002 г. имеет вид (табл. 66):

Таблица 66

2000	2001	2002	2003	2004	2005
2343,5	3440	4300	4500	4900	5100

4. Рассчитываются объемы выпуска в ценах 2000 г.:

В₁₉₉₈= 4500 тыс. р.

В₁₉₉₉= 4900 тыс. р.

В₂₀₀₀ = 5100 тыс. р.

5. После смыкания на базе цен 2000 г. динамический ряд имеет вид (табл.67):

Таблица 67

Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Объем выпуска, тыс. р.	2180	3200	4000	4186,1	4558,1	4744,2

Решите самостоятельно следующие задания

Задание 1

Произвести смыкание (исходя из новых границ) динамических рядов численности населения района (тыс. чел.):

Таблица 68

Числен./года	2000	2001	2002	2003	2004	2005
В старых границах	352	360	375	400
В новых границах				420	438	460

Задание 2

Затраты на изготовление продукции по старой и новой технологиям представлены в виде двух динамических рядов, смыкание которых следует произвести, основываясь на затратах на производство продукции по новой технологии.

Таблица 69

Издержки, р. / месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
По старой технологии	35	37	40	48
По новой технологии				40	43	47

Типовая задача № 7

Задание

Имеются следующие данные о производстве продукции на мебельной фабрике (табл. 70).

Таблица 70

Вид продукции	Произведено, тыс. шт.		Себестоимость ед. изд., тыс. р.
	Базовый период q0	Текущий период q1	Базовый период Z0	Текущий период Z1
"А"	400	388	5,2	5,5
"В"	250	270	0,6	0,58

Определить индивидуальный индекс себестоимости и объема продукции по товарам "А" и "В"; абсолютный размер изменения затрат на производство, общий от изменения себестоимости, от изменения объемов продукции.

Решение

1. Рассчитываются индивидуальные индексы объема выпуска по продукции "А" и "В":

I_qA = = 0,97 i_qB = .

2. Рассчитываются индивидуальные индексы себестоимости:

.

3. Рассчитывается абсолютный размер изменения затрат на производство по продукции "В":

тыс. р.

4. Рассчитывается абсолютный размер изменения затрат на производство от изменения себестоимости по товару "В":

тыс. р.

5. Рассчитывается абсолютный размер изменения затрат на производство продукции от изменения объемов выпуска

тыс. р.

Сопоставляя результаты п. п. 3, 4, 5, можно убедиться, что .

Решите самостоятельно следующие задания

Задание 1

Имеются следующие данные о ценах и физическом объеме реализованного товара по торговому предприятию:

Таблица 71

Товар	Цена единицы руб.		Продано единиц шт.
	Базисный период р0	Отчетный период р1	Базисный период q0	Отчетный период q1
"А"	880	1000	300	330
"В"	560	530	250	240

Определить: а) индивидуальные индексы цен и количество проданных товаров; б) абсолютную сумму перерасхода (экономии) покупателей товаров от изменения цен по товару "В"; в) общее изменение объема реализации по товару "А".

Задание 2

Имеются следующие данные по двум фирмам, выпускающим однотипную продукцию:

Таблица 72

Фирма	Объем выпуска, тыс. р.		Среднесписочная численность, чел.
	1 квартал В0	2 квартал В1	q0	q1
1	800	830	250	300
2	700	915	250	200

Определить индексы производительности труда по каждой фирме.

Типовая задача № 8

Задание

Товарооборот и изменение цен на товары характеризуются следующими данными:

Таблица 73

Товар	Товарооборот		Индивидуальный индекс цен i
	Базисный период В0, тыс. р.	Отчетный период В1, тыс. р.
"А"	1200	1600	0,9
"В"	400	450	1,2

Рассчитать индексы Пааше цен и физического объема товарооборота, изменение товарооборота за счет изменения цен.

Решение

1. Рассчитывается индекс цен Пааше

.

2. Рассчитывается индекс объема Пааше

.

3. Рассчитывается изменение товарооборота за счет изменения цен

.

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Известны следующие данные о ценах и об объеме реализованного товара по предприятию:

Таблица 74

Товар	Объем реализации		Индивидуальный индекс цен i
	Базисный период В0, тыс. р.	Отчетный период В1, тыс. р.
А"	300	330	1,3
В"	250	240	1,1

Рассчитать индексы Пааше цен и физического объема реализации, изменение товарооборота за счет изменения цен.

Задание 2

Имеются следующие данные о движении дохода кредитного учреждения, зависящие от среднегодовой задолженности по кредитам (количественный фактор) и процентной ставки за кредит (качественный фактор):

Таблица 75

Виды кредитов	Базисный период		Отчетный период
	Среднегодовая задолженность q0, тыс. р.	Средняя процентная ставка r, %	Среднегодовая задолженность q1, тыс. р.	Средняя процентная ставка r, %
Краткосрочные	665	60	700	65
Долгосрочные	170	40	300	43

Рассчитать индексы Пааше физического объема кредитных услуг и изменения величины процентной ставки, прирост дохода за счет изменения объема кредитных услуг.

Типовая задача № 9

Задание

Товарооборот и изменение цен на товары характеризуются следующими данными:

Таблица 76

Товар	Товарооборот		Индивидуальный индекс цен i
	Базисный период В0, тыс. р.	Отчетный период В1, (тыс. р.)
"А"	1200	1600	0,9
"В"	400	450	1,2

Рассчитать индексы Ласпейреса цен и физического объема товарооборота, изменения товарооборота за счет изменения объема реализации.

Решение

1. Рассчитывается индекс цен Ласпейреса

J_p = .

2. Рассчитывается индекс объема товарооборота Ласпейреса

J_q = .

3. Рассчитывается изменение товарооборота за счет изменения объема реализации

тыс. р.

Решите самостоятельно следующие задания

Задание 1

Известны следующие данные о ценах и объеме реализованного товара по торговому предприятию:

Таблица 77

Товар	Объем реализации		Индекс цен
	Базисный период В0, тыс. руб.	Отчетный период В1, тыс. руб.
"А"	300	330	1,3
"В"	250	240	1,1

Рассчитать индексы Ласпейреса цен и физического объема реализации, изменения реализации за счет изменения объемов реализации.

Задание 2

Имеются следующие данные об объемах выпуска продукции и себестоимости ее производства:

Таблица 78

Товар	Базисный период		Отчетный период
	Объем выпуска q0, шт.	Себестоимость изготовления Z0, р.	Объем выпуска q1, шт.	Себестоимость изготовления Z1, р.
А"	750	20	950	18
"В"	200	30	250	16

Рассчитать индексы Ласпейреса себестоимости изготовления продукции и объема выпуска, изменение общих издержек за счет изменения объемов выпуска.

Типовая задача № 10

Задание

Имеются следующие данные об объемах реализации некоторого товара двумя магазинами:

Таблица 79

Магазин	Отчетный период		Базисный период
	Цена р1, р.	Цена р0, р.	Количество q0 , кг	Количество q1, кг
1	65	50	200	240
2	70	55	195	260