6.3. Электрические поля постоянных токов

6.3.1 Основные уравнения.

6.3.2. Граничные условия для векторов поля.

6.3.2. Метод электростатической аналогии.

6.3.1 Основные уравнения

От электрических полей, создаваемых неподвижными зарядами, перейдем к рассмотрению стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электрический ток).

Основным вектором, который подлежит исследованию, является вектор плотности тока проводимости (или ). Силовые линии вектора плотности тока проводимости подчиняются закону непрерывности, который является следствием первого уравнения Максвелла:

(6.3.1)

Выражение (6.3.1) называют ещё первым законом Кирхгофа, записанным в дифференциальной форме. Движение зарядов осуществляется за счёт действия напряженности электрического поля , а связь между векторами устанавливается законом Ома в дифференциальной форме:

(6.3.2)

где - удельная проводимость среды. В ряде случаев вместо проводимости среды используют обратную величину - r = 1¤g , которую называют удельным сопротивлением среды.

В единичном объёме (или точке) выделяется мощность в виде тепла – (закон Джоуля – Ленца):

.

Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет постоянный ток, удовлетворяет уравнению

(6.3.3)

т.е. поле постоянного тока - потенциально, и может быть определено потенциальной функцией:

(6.3.4)

В однородном проводнике = const и из (3.1) как следствие имеем . Поэтому в этом случае потенциал электрического поля также удовлетворяет уравнению Лапласа (6.1.5).

6.3.2. Граничные условия для векторов поля.

На границе раздела двух проводящих сред нормальная компонента плотности электрического тока является непрерывной функцией, что следует из выражения (3.1). Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенциальной компоненты напряженности поля (1.6) как следствие из (3.2) имеем условие для тангенциальных составляющих вектора . Таким образом, граничные условия для плотности тока записываются как:

,

(6.2.5)

или для напряженности поля

,

(6.3.6)

На границе проводника с непроводящей средой , т.е. силовые линии вектора плотности тока определяются только тангенциальной составляющей тока, что следует из выражения (3.5).

6.3.2. Метод электростатической аналогии.

Уравнения (3.1) - (3.4) и граничные условия (3.5) обнаруживают формальную аналогию с уравнениями электростатического поля в диэлектриках, отличаясь от них лишь заменой на . Это обстоятельство позволяет находить решения задач о распределении тока в проводящей среде непосредственно по решениям аналогичных электростатических задач (см. 1.3 – 1.6). В частности, формулы для электрической проводимости системы электродов, по которым протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тех же электродов, так как при изменении проводящей среды диэлектриком ток заменяется зарядом. Объединяя эти выражения, получим пропорцию

.

Это рассмотрение позволяет утверждать, что существует аналогия между электростатическим полем вне объёмных зарядов и стационарным полем постоянного тока в области, где нет сторонних сил. При этом аналогичны параметры:

Электростатическое поле . . . E , j , D , q , , C

Стационарное поле . . . . . . . . E , j , J , I , g , G

Для расчёта поля проводов с током I вблизи плоской границы двух проводящих сред можно применить метод отражений (см. раздел 1.5). Дополнительные токи, заменяющие своим действием взаимное влияние проводящих сред друг на друга, находятся из аналогичных условий:

,

(6.3.7)

Из выражений (3.7) следует, что коэффициент отражения будет равен единице, если первая среда проводник, вторая диэлектрик (= 0), а электрод, с которого стекают заряды, находится в первой среде. Коэффициент здесь не рассматривается, так как в диэлектрике отсутствуют токи проводимости.