Тогда окончательно получаем

IR_{1, 2} = U_{1, 2} + . (4.10)

Выражение (4.10) является законом Ома в интегральной форме для цепи содержащей Э.Д.С. Если на данном участке источник тока отсутствует (ε = 0), то (4.10) переходит в обычный закон Ома (4.2).

Рассмотрим пример источника тока с Э.Д.С. и внутренним сопротивлением r, замкнутого на внешнюю цепь (потребителя) с сопротивлением R. В цепь включены амперметр А, измеряющий ток I и вольтметр V, измеряющий напряжение U у потребителя. В качестве потребителя используем реостат R переменного сопротивления.

Полное сопротивление всей цепи R_полн = r + R и закон Ома для всей цепи примет вид

I(R + r) =  , (4.11)

или

.

Поскольку на участке внешней цепи Э.Д.С. отсутствует, то

U = IR = .

Формула дает зависимость напряжения от сопротивления нагрузки.

Если участок цепи не содержит Э.Д.С., а к нему приложена разность потенциалов U_{1, 2} и идет ток I, то за некоторый промежуток времени t через участок пройдет заряд q = It, при этом силы электрического поля совершат работу по переносу заряда от точки с более высоким к точке с более низким потенциалом.

A = (₁ - ₂)q = U_{1, 2}I t. (4.12)

В соответствии с законом Ома эту работу можно выразить через сопротивление участка R:

A = I²R t = . (4.13)

Если на участке цепи находится источники тока, то при переносе заряда q работу совершают силы электрического поля и сторонние силы:

A = (U_{1, 2} + )I t = I²R_{1, 2}t , (4.14)

или в случае замкнутой цепи из двух слагаемых A = U_{1, 2}I t +  I t первое обращаются в нуль, так как полное падение потенциала U_{1, 2} во всей цепи равно нулю. Поэтому

A =  I t = I²R_полн t . (4.15)

Работа, совершаемая за единицу времени: , есть выделяемая мощность. Для участка цепи

P = IU_{1, 2} + I.. (4.16)

Для всей цепи: P_полн = I.. (4.17)

Мощность, выделяемая во внешней цепи

P_вн = I U = I² R = . (4.18)

Для поддержания в цепи постоянного тока необходимо совершать работу А. Энергия электрического тока в проводнике непрерывно расходуется и переходит в другие формы энергии. Действительно, проводник, по которому течет ток, нагревается и в нем выделяется некоторое количество тепла Q. Если других потерь нет, то по закону сохранения энергии

A = Q = I U t = I² R t = , (4.19)

Эти соотношения выражают закон Джоуля - Ленца.

Если в цепь включено очень малое сопротивление R, то падение напряжения ничтожно, и ток в цепи определяется лишь сопротивлением остальной цепи и приборов большого сопротивления.

Тогда для расчета количества тепла, выделяемого на R, следует использовать формулу: Q = I²R t.

В этом случае тепловая мощность Q/t определяется только током в цепи I. Выполняя такое сопротивление из тонкой проволочки длины l и поперечного сечения S, мы видим, что

,

или

т.е. количество тепла, выделяющегося на единицу длины проволочки, тем больше, чем меньше её сечение.

В классической электронной теории металлов предполагается, что при соударения с ионами электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения. Уравнение движения электрона в процессе свободного пробега имеет вид:

(4.20)

где E - напряженность электрического поля в проводнике. В процессе свободного пробега электроны движутся равноускоренно. Поэтому средняя скорость их упорядоченного движения где <_max> - средняя скорость электрона, приобретаемая под действием электрического поля на длине свободного пробега. Интегрируя это уравнение движения электрона по времени от 0 до <  >, получаем

. (4.21)

Электроны одновременно участвуют также в тепловом движении. Пренебрегая статическим распределением электронов проводимости по скоростям их теплового движения, будем считать, что модули скоростей всех электронов в этом движении одинаковы и равны <U>. Тогда, учитывая что < > << <U>, можно определить среднее время свободного пробега электронов по формуле:

<> = <>/<U>, (4.22)

где <> - средняя длина свободного пробега электронов. Подставим (4.22) в (4.21) для <  >:

< > = e<>E / (2m<U>). (4.23)

Из формулы для плотности тока I :

, (4.24)

где n₀ - концентрация электронов проводимости , e - заряд электрона, < > - средняя скорость дрейфа электронов. Из формулы для < > (4.23), следует, что плотность тока проводимости в металле

I = n₀e²<>E / (2m<U>),

Величину  = n₀e²<>/ (2m<U>) , (4.25)

называют удельной электрической проводимостью, а обратную ей величину - удельным электрическим сопротивлением.

В единице объема проводника имеется n₀ электронов проводимости, каждый из которых испытывает ежесекундно в среднем <U>/<> столкновений с ионами металла. Следовательно, энергия тока, равная

<W_э> = 0.5 m <_max>² ,

преобразующаяся во внутреннюю энергию в единице объема проводника за 1с, равна:

. (4.26)

Величину  называют объемной плотностью тепловой мощности тока. Заменяя <_max> по формуле (4.21), где <> = <>/<U>, получаем

 = n₀e²<>E² / (2m<U>)

или

 = E² (4.27)

Это уравнение выражает закон Джоуля - Ленца для плотности тепловой мощности тока. Его часто называют законом Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Закон Джоуля ленца можно также переписать в форме

 = IE = I²/  =  I². (4.28)

Рассмотрим участок цепи, содержащий источник тока с ЭДС , внутренним сопротивлением r, замкнуты на внешнюю цепь сопротивлением R. В пределе, когда R0, источник тока замкнут накоротко, говорят о режиме короткого замыкания. В этом случае ток максимален:

I =  /r = I_max,

Тогда, в соответствии с законом Джоуля - Ленца, количество теплоты, выделяемое в проводнике Q будет максимальным, что приводит к возгоранию и прочих негативным последствиям. Напряжение при этом во внешней цепи будет равно нулю. В противоположном предельном случае, R , цепь разомкнута, и ток отсутствует, а напряжение максимально и равно ЭДС источника. Такой режим называется холостым ходом.

Из закона Ома для полной цепи

 = I(R+r) = IR + Ir = U+Ir

или

U =  - Ir. (4.29)

Полученная зависимость U(I) называется нагрузочной характеристикой источника тока. Построив график зависимости U(I) можно найти  источника тока и его внутреннее сопротивление, экстраполировав его.

 = U_I=0 ; r =  / I_U=0 . (4.30)

Полную мощность, развиваемую источником ЭДС модно записать в виде:

N =  I. (4.31)

Подставив в (4.31) закон Ома для полной цепи I =  /(R+r) получим полную мощность, выделяемую во всей цепи:

N = ²/(R+r). (4.32)

В нагрузке выделяется только часть этой мощности

N_R = UI = I²R = (4.33)

Эту мощность называют полезной. Максимальное значение полезной мощности достигается при условии согласованной нагрузки, т.е. R = r. Это можно доказать, исследовав функцию в выражении (4.33) на экстремум.

Отношение полезной и полной мощности развиваемой ЭДС в цепи, называется коэффициентом полезного действия источника тока:

 = N_R / N. (4.34)

Используя выражения (4.32) и (4.33) можно получить формулу:

 = R / (R+r), (4.35)

из которой видно, что КПД источника тока зависит от нагрузочного сопротивления R. При условии R = r КПД равен 50%.

Схема

В данной установке используются источник постоянного тока (0  7В), два мультиметра, один в режиме вольтметра, другой в режиме амперметра; нагрузкой является магазин сопротивлений. Для того, чтобы исключить возможность получения короткого замыкания подключают дополнительное сопротивление R_Д, выбирая одно из сопротивлений моста.