§3. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Как известно, если случайная величина Х задана плотностью распределения f(х), то вероятность того, что она примет значение из интервала , такова: . Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону, тогда. Введем новую переменную, находим: . И тогда:
=+=- . Воспользуемся функцией Лапласа:и получим:
Случайная величинаХ распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
№ |
а |
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
30 |
10 |
10 |
50 |
|
|
|
|
0,9544 |
2
|
10 |
2 |
8 |
12 |
|
|
|
|
0,68269 |
Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрамиа = 375г., =25г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425г, б) не более 450г, в) больше 300г.
№ |
а |
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
375 |
25 |
300 |
425 |
|
|
|
|
0,9759 |
2
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
0,9987 |
3
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
0,9987 |
Найти вероятность того, что нормальная случайная величина, распределенная нормально, с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 4, примет значения: 1) в интервале (-1, 5); 2) не более 8; 3) не менее 5; 3) в интервале (-3, 9); .
№ |
а |
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8185 |
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9938 |
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1587 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9972 |
Вес изготовленного изделия – случайная величина, распределенная по нормальному закону. Стандартный вес изделия равен 30г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 31г.
а |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,922
|
§4. Вычисление вероятности заданного отклонения
Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение. Вычислим вероятность того, что ее отклонение от математического ожидания а меньше данного числа , т.е. вероятность осуществления неравенства( илиили).
==.
Итак, =
В частности, если а = 0, =.
Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что отклонение Х будет меньше заданного .
№ |
а |
|
|
|
|
|
|
20 |
10 |
3 |
|
|
|
= 0,2358 | |
7 |
4 |
2 |
|
|
|
= 0,3830 |
Диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрамиа = 4,5 см и = 0,05 см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наугад детали отличается от математического ожидания не больше чем на 1 мм.
а |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
0,9544 |
Случайная величинаХ распределена по нормальному закону. Математическое ожидание а = 0, среднее квадратическое отклонение = 0,5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величиныХ по модулю будет меньше единицы.
а |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
0,9544 |
Станок – автомат изготавливает валики, контролируя их диаметрыХ. Считая, что случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = 10мм, = 0,1мм, найти интервал, в котором с вероятно-
стью 0,9973 заключены диаметры изготовленных валиков.
а |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
0,9973 |
|
0,9973:2=…… |
|
=3=… |
|
Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|