К решению задач по электричеству

2.36. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R1 и

a

R2 (R2 R1), заряжено с объемной плотностью r3 , где a- постоянная величина.

Найдите полный заряд сферического слоя, а также напряженность электростатического поля.

Ответ: q 8 aln	R2	, E	2a		ln	R2		1		.
	R					R
				0				r	2
1						1

§3. Поле в диэлектрике

I. Краткие теоретические сведения

В диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

Вектор диэлектрического смещения (электрическая индукция)

D 0E P.

где E - вектор напряженности электрического поля, P - вектор поляризации,

0 0,885 10 11 Ф/м.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле E0 в нем возникает не-

которое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих ато-

мов. Связанные заряды создают электрическое поле E которое внутри диэлектрика

направлено противоположно вектору напряженности E0 внешнего поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика. В результате полное электрическое поле

E E0 E внутри диэлектрика оказывается по модулю меньше внешнего поля E0 .

Теорема Гаусса для P в интегральной форме: поток вектора P сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному свя-

занному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S .

PdS q .

S

Теорема Гаусса для D в интегральной форме:

DndS q .

S

Теорема Гаусса означает, что поток вектора D через любую замкнутую поверхность S равен полному свободному заряду внутри поверхности. Эта теорема оказывается

справедливой для любой замкнутой поверхности, в том числе и такой, которая пересекает границу разных диэлектриков или границу диэлектрика с проводником. Заметим,

что поток вектора D равен нулю в отсутствие свободных зарядов внутри поверхности.

Теорема Гаусса для электрической индукции D в дифференциальной форме:

divD 0divE divP 0 ,

0

т.е. дивергенция электрической индукции D определяется только плотностью свободного заряда.

Граничные условия общего вида для электрического поля:

D1n D2n	0 1E1n 0 2E2n ;
E1 E2	D1 0 1 D2 0 2 .
Для изотропных диэлектриков
P 0E,	D 0E,	1 .

- диэлектрическая восприимчивость, - диэлектрическая проницаемость.

II. Примеры решения задач

Пример 3.1. Точечный сторонний заряд q находится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью . Найти поляризованность P как функцию радиусвектора r относительно центра шара, а также связанный заряд q внутри сферы, ра-

диус которой меньше радиуса шара.

Решение.

Для изотропных диэлектриков связь вектора поляризованности P с вектором на-

пряженности E имеет вид

P 1 0E .

Так как в условии задачи дан сторонний заряд, то следует использовать теорему

Гаусса для вектора D . По теореме при r R

D		1				q .
			4 r2
Напряженности E найдем как
		1				q		r	.
E
	4 0				r2
								r

Подставляя последнее выражение, получим искомую зависимость вектора поляризо-

ванности P от радиус-вектора r при r R

		1		q	r .
	P
				4 r3

Для нахождения заряда внутри сферы радиуса r воспользуемся теоремой Гаусса для вектора P . Получим

			1 4 r			2		1		q .
q					4 r	2 q

Пример 3.2. Показать, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов 1 / , где - диэлектрическая

проницаемость, - поверхностная плотность зарядов на проводнике. Решение.

Применим теорему Гаусса для напряженности электрического поля E в веществе

0EndS q q .

S

На границе раздела в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна границе. Так как внутри проводника электрическое поле от-

сутствует E 0, то через боковую поверхность цилиндра поток также будет равен нулю. Тогда

0En S S .

Применим теорему Гаусса для D для той же поверхности, учитывая что в про-

воднике D 0. Получим

Dn S S .

Отсюда имеем 0En .

1 .

Пример 3.3. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами a и b, причем a b . Изобразить примерные графики модуля напряженности электрического поля E и потенциала как функции расстояния r от центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный равномерно по внутренней поверхности слоя.

Решение.

Применим теорему Гаусса для электрической индукции D , выбрав в качестве поверхности сферу радиуса r. Тогда при

r a:

D4 r2 0,

D 0,

E 0;

a r b:

D4 r2 q,

D

q

,

E

D

1

q

;

4 r2

r2

0

4 0

r a:

E

1

q

;

4 0

a2

r b:

E

1

q

;

4 0 r2

1

q

,

со стороны r b;

4

0 b

2

r b:

E

1

q

,

1, со стороны r b.

4

b

2

0

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля E имеет вид

Таким образом, получаем

Edr 0.

r a:

0;

a r b:

1

q

С ;

4 0

0

r

1

r b:

0

1

q

С2.

r

4 0

Постоянные интегрирования C1

и C2 найдем из условия непрерывности потенциа-

ла на границах r a

и r b .

При

r a

найдем

С

1

q

.

Соответственно,

1

4 0

a

при r b

получаем

C2

1

1

1

.

Из условия 0

при r найдем

b

4 0 a

q

1

1

0

.

4 0

b

a

С учетом полученных значений C1

и C2

запишем

r a:

0;

1

1

1

a r b:

1 0

;

4 0

a

r

r b:

2

1

q

.

4 0

r

0

Видно,

что при 0 0

1

0

и

уменьшается

с

ростом

расстояния

r,

2

1 .Схематические

E

графики зависимости E(r)

и (r)

приведены на рис.

3.1. Из графиков следует,

что потенциал (r) изме-

0

няется непрерывно, а зави-

a

b

r

симость

напряженности

Рис. 3.1

E(r) имеет скачки, что связано с изменением диэлектрической проницаемости при переходе из одной среды в другую.

Пример 3.4. У плоской поверхности однородного диэлектрика с проницаемостью напряженность электрического поля в вакууме равна E0, причем вектор E0 составляет

угол

с

нормалью

к поверхности

E0

диэлектрика (рис. 3.2). Считая поле

внутри и вне диэлектрика однород-

n

l

ным, найти:

Г

а) поток вектора

E0 через сферу

радиуса R с центром на поверхности

R

диэлектрика;

б)

циркуляцию

вектора D по

контуру Г

длины l

(см. рис. 3.3),

плоскость которого перпендикулярна

к поверхности диэлектрика и парал-

Рис. 3.2

лельна вектору E0 .

Решение.

а). Применим теорему Гаусса для вектора E :

0EndS q q .

S

На границе раздела в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна границе, тогда

0EndS dS .

Для нахождения поверхностной плотности связанных зарядов , воспользуемся теоремой Гаусса для

вектора P для той же поверхности

Pn 1 0En .

Разложим вектор E и E0 на нормальные и тан-

генциальные составляющие как показано на рис. 3.3. Применяя граничные условия, имеем

En	E0n				E0 cos	.
Тогда
		1			0E0 cos .

n
E0n	E	0

E

E E0

En

Рис. 3.3

Учитывая, что 0 окончательно получим

							1
			D 1		EndS			E	0 cos R2 .
		l			S
l				Г	б). Найдем циркуляцию вектора D по контуру Г

длины l (см. рис. 3.4)

			l
D 2	Ddr D 1l Dnl D 2l Dnl D 1 D 2
	Г
Рис. 3.4	Применяя граничные условия, имеем
	D 1 0E0 0E0 sin ,	D 2 0E0 ,

получим

Ddr 0 1lE0 sin .

Г

Пример 3.5. Круглый диэлектрический диск радиуса R и толщины d поляризован

статически так, что поляризованность, равная P , всюду одинакова и вектор P лежит в плоскости диска. Найти напряженность E электрического поля в центре диска, если d R.

Решение. Из рис. 3.5 следует, что

Pn P cos , dEx dE cos .

Выделим элемент dl, заряд которого будет равен dq dld . Тогда напряженность поля элементарного заряда можно найти как

dq dE k , R2

тогда

n

dl

P

dEx

dE

dE

dE cos k

dld

cos k

Rd d

cos k

Pcos2

d d

R

x

R2

R2

Рис. 3.5

.

Отсюда

2

Pd

Pd

Ex dEx

2 cos2 d

k

.

R

4R 0

0

0

Из рис. 3.6 следует, что векторы Px и Ex параллельны, но направлены в противоположные стороны, тогда

		Pd	.
	E
		4R 0

Пример 3.6. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом и напряженность поля в зазоре равна E0 . Затем половину зазора, как показано на рис. 3.6, заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью . Найти модули век-

торов E и D в обеих частях зазора (1	1
и 2), если при введении диэлектрика:
а) напряжение между обкладками
		2
не менялось;
б) заряды на обкладках оставались
неизменными.			Рис. 3.6
Решение.

а). В начальный момент емкость конденсатора

С 0S . d

При заполнении диэлектриком, получаем два конденсатора, включенных последовательно. Их емкости соответственно равны

С	0S		2 0S	,	С			2 0S	С .
								d
1	d 2 d					2			1

Суммарная емкость

С12		С1С2		С1	.
		С1 С2
			1

В начальный момент напряжение между обкладками U0 E0d . При введении диэлек-

трика напряжение не изменилось (согласно условию задачи), но теперь оно приложено к двум последовательно соединенным конденсаторам. При этом заряд на обкладках q12 C12U0 . Тогда напряжение на конденсаторе C1 равно

U	q12		C12U0	U			.
	C
1			C		0 1
	1	1

Следовательно, напряженность электрического поля на конденсаторе C1

E	U1	2E			.
1	d 2		0 1

Аналогично, легко получить

E2 2E0 . 1

q

Рис. 3.7

n	0	E0

A

Рис. 3.8

Применяя граничные условия для границы раздела диэлектрик-вакуум с учетом D1 0E1 , найдем

D1 D2 2E0 0 .

1

б). В начальный момент заряд

q C0U0 C0E0d .

При введении диэлектрика заряд остается неизменным (по условию задачи), т.е. q12 q . Напряжение на конденсаторе C1 равно

U1 q C0E0d E0d . C1 2C0 2

Тогда, напряженность электрического поля на конденсаторе C1

E1 U1 E0 . d 2

Аналогично рассуждая, получим E2 E0 .

Из граничных условий найдем D1 D2 0E1 0E0 .

III. Задачи для самостоятельного решения.

3.1. Точечный сторонний заряд q находится в центре диэлектрического шара радиуса a с проницаемостью 1. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью 2. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.

Ответ:	q			1 2	.
		2
	4 a
			1 2

3.2. Проводник произвольной формы, имеющий заряд q 2,5 мкКл, окружен одно-

родным диэлектриком с проницаемостью 5,0 (рис. 3.7). Найти суммарные поверхностные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.

Ответ: qвнутр/ q 1 2 мкКл,

qнаруж/ q 1 2 мкКл.

3.3 Вблизи точки A (рис. 3.8) границы раздела стекло-вакуум напряженность электри-

ческого поля в вакууме E0 10,0 В/м, причем угол между вектором E0 и нормалью n

к границе раздела 0 300 . Найти напряженность E поля в стекле вблизи точки A,

угол между векторами E0 и n , а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке A.

		E0
	Ответ: E			cos2			0	2 sin2 0			5,2 В/м,
	0, 740,					1					пКл/м2.
tg tg					0			E0 cos 0	64

3.4. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью . Толщина пластины 2d. Найти: а) модуль напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния l от середины пластины (потенциал в середине пластины положить равным нулю); взяв ось x перпендикулярно к пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции Ex(x) и потенциала (x); б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

E l d		l			,	E l d		d		;		l d	l2	,
													2 0
Ответ: а)		0						0
				d 2 l d d
l d											.
						0
б) d	1		,				1		.

Графики зависимостей Ex(x) и (x)представлены на рис. 3.9.

E
0
	E
-

Рис. 3.9

Рис.3.10

3.5. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью 0 по

шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Найти: а) модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра шара; изобразить примерные графики зависимостей E(r) и (r) ; б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.

Ответ: а)E r R	r	,	E r R	R3	;
				3 0r2
	3 0

		R	2	2 1,	r R 0		r	2		1				r R			R	3
0						1	R	2		2 1			,					.
		6 0														3 0r
						б) R					1			,			1		.
													3

Графики зависимостей E(r) и (r) представлены на рис. 3.10.

3.6. При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины

					x	2
из диэлектрика имеет вид	P P			1			, где P	– вектор, перпендикулярный к пла-
		0			d	2

стине, x – расстояние от середины пластины, d – ее полутолщина. Найти напряженность электрического поля внутри пластины и разность потенциалов между ее поверхностями.

		1 x	2	d	2				4P0d
Ответ: E P							,	U		.
	0	0							3 0

3.7. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами a и b, причем a b. Изобразить примерные графики модуля напряженности электрического поля E и потенциала как функции расстояния r от центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный равномерно по объему слоя.

0

Ответ: Графики зави-

симостей E(r) и (r) пред-

ставлены на рис. 3.11.

3.8. Площадь пластин плос-

кого воздушного конденса-

тора S 0.01

м2, расстоя-

ние между ними d 5 мм.

E

К

пластинам

приложена

разность

потенциалов

0

U1 300

В. После отклю-

a

b

r

чения конденсатора от ис-

Рис. 3.11

точника

напряжения про-

странство между пластина-

ми

заполняется эбонитом.

Какова будет разность потенциалов U2

между пластинами после заполнения? Найти

емкости конденсатора C1

и C2 , а также поверхностные плотности заряда 1 и 2 на

пластинах до и после заполнения.

U1 1

0 1S

Ответ: U2

115В, C1

17,7 пФ,

2

d

		0	2S				C1U1	2
C2				46	пФ, 1,2			531нКл/м .
		d					S

3.9. Решить предыдущую задачу для случая, когда заполнение пространства между пластинами изолятором производится при включенном источнике напряжения.

Ответ: C1

0 1S

17,7 пФ, C

2

0 2S

46 пФ,

d

d

1

0 1U

531нКл/м2, 2

0 2U

1,38 мкКл/м2.

d

d

3.10. Площадь пластин плоского конденсатора S 0.01

м2, расстояние между ними

d 1 см. К пластинам приложена разность потенциалов

U 300

В. В пространстве

между

пластинами

находятся плоскопараллельная пластинка

стекла

толщиной

d1 0,5

см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной

d2 0,5

см. Найти

напряженности E1

и E2 электрического поля и падения потенциала U1 и U2 в каж-

дом слое. Каковы будут при этом емкость C конденсатора и поверхностная плотность

заряда на пластинах?

1 2S

0

CU

2

Ответ: С

26,6

пФ,

0,8 мкКл/м .

d1 2

d2 1

S

3.11. Решить задачу 3.6 при условии, что

диэлектриком заполнили половину зазора,

1

2

как показано на рис.3.12.

E E

2

2E0

,

Ответ: 1

1

Рис. 3.12

D1 0E0,

D2 D1.

3.12. Половина пространства между двумя концентриче-

скими обкладками сферического конденсатора заполне-

на, как показано на рис. 3.13, однородным изотропным

диэлектриком с проницаемостью . Заряд конденсатора

равен q. Найти модуль вектора напряженности электри-

ческого поля между обкладками как функцию расстояния

r от центра кривизны этих обкладок.

q

Ответ: E

.

2 0 1 r2

Рис. 3.13

3.13. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При за-

полнении окружающей среды керосином угол расхождения нитей не изменился. Найти плотность материала шариков.

Ответ: кер кер .кер 1

3.14. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью 5 создано однородное электрическое поле напряженности E 100 В/м. Радиус шара R 3 см. Найти максимальную поверхностную плотность связанных зарядов и полный связанный заряд одного знака.

Ответ: макс/ 1 0E 3,5нКл/м2, q R2 1 0E 10 пКл.

3.15. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии l от плоской поверхности

однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна . Найти: а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от точечного заряда q; рассмотреть случай l 0; б) суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика.

Ответ: а)	1		ql	, при l 0	величина 0; б) q	1	q.
	1		2 r3			1

3.16. Воспользовавшись условием и решением предыдущей задачи, найти модуль силы, действующей на заряд q со стороны связанных зарядов на поверхности диэлектрика.

Ответ: F	1		q	2	.
	116 0l2

3.17. Точечный заряд q находится на плоскости, отделяющей вакуум от безграничного однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Найти модули векторов

D и E , потенциал как функцию расстояния r от заряда q.

Ответ: в вакууме D			q	,	в диэлектрике			D		q	,
		2 1 r2							2 1 r2
всюду	E		q			,	q			.
			2 0 1 r2				2 0 1 r

3.18 Пластина толщины h из однородного статически поляризованного диэлектрика находится внутри плоского конденсатора, обкладки которого соединены между собой проводником. Поляризован-

ность диэлектрика равна P (рис. 3.14). Расстояние между

обкладками конденсатора d .

Найти векторы D и E внутри и вне пластины.

Ph

Ответ: E1 0d (в зазоре),

d

h

P

Рис. 3.14

h P

Ph

E

1

, D D

.

2

d 0

1

2

d

3.19. Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что век-

тор P r , где - положительная постоянная, r - расстояние от оси. Найти объемную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от оси.

Ответ: 2 , т.е. от r не зависит. 3.20. Диэлектрический шар поляризован однородно и статически. Его поляризован-

ность равна P . Имея в виду, что так поляризованный шар можно представить как результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов, а) найти напряженность электрического поля внутри шара; б) показать, что поле вне шара является полем диполя, расположенного в центре шара, и

3

потенциал поля p0r 4 0r , где p0 - электрический момент шара, r - расстояние от его центра.

P

Ответ: E . 3 0

3.21. В однородное электрическое поле напряженности E0 поместили однородный диэлектрический шар. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Найти напряженность E электрического поля внутри шара и поляризованность P диэлектрика, проницаемость которого равна . При решении воспользоваться результатом предыдущей задачи.

	3E0			2 0E0 1
Ответ: E		,	P		.
	2			2

3.22. Бесконечно длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован

однородно и статически, причем поляризованность P перпендикулярна к оси цилиндра. Найти напряженность электрического поля в диэлектрике.

		P
	Ответ: E		.
		2 0

3.23. Длинный цилиндр круглого сечения из однородного диэлектрика поместили в однородное электрическое поле в напряженностью E0 . Ось цилиндра перпендикуляр-

на к вектору E0 . При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Воспользо-

вавшись результатом решения предыдущей задачи, найти напряженность электрического поля внутри цилиндра и поляризованность диэлектрика, проницаемость которого равна .

	2E0			2 0E0 1
Ответ: E		,	P		.
	1			1

§4. Закон Био-Савара-Лапласа. Теорема о циркуляции.

I. Краткие теоретические сведения

Магнитное поле В, создаваемое точечным зарядом q, движущимся со скоростью v, в некоторой точке:

	0		q[vr]
B				,
	4		r3

где r – радиус – вектор, проведенный от заряда к точке, в которой определяется поле. Результат векторного произведения – вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектор скорости и радиус - вектор, причем вектора r, v и B должны образовывать правую тройку.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке поле, индукция которого dB, записывается в виде:

	0		I dlr
dB				,
	4
			r3

где dl – вектор по модулю равный длине элемента dl и совпадающий по направлению с током, r – радиус – вектор, проведенный из элемента dl в точку, в которой определяется поле. Направление вектора dB перпендикулярно dl и r, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.

0 = 4 10-7 = 1.257 10-6 Гн/м – магнитная постоянная.

Теорема о циркуляции вектора В: циркуляция вектора В по замкнутому произвольному контуру равна произведению магнитной постоянной 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

		N
Bdl		0 Ik ,
L		k 1

где N – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Магнитное поле в центре кругового витка с током I:

B 0 I ,

2R

где R – радиус витка.

Поле на оси кругового витка с током I:

B	0		I R2		,
			R2 z2 3
2				2

где R – радиус витка, z – расстояние от центра витка то дочки, в которой определяется поле.

Поле бесконечно длинного проводника с током I:

B 0 I , 2 x

где x – расстояние от оси проводника то дочки, в которой определяется поле.

1	В
х		х		В
I
		I
2
	Рис.4.1
Поле отрезка проводника с током I:
B 0	I cos cos		2	,
4	x	1

где x – расстояние от оси проводника то дочки, в которой определяется поле, углы 1 и2 – указаны на рисунке.

Если проводник расположен симметрично относительно точки наблюдения, то:

B	0		I	cos ,
	2
			x

где угол указан на рис. 4.1.

II. Примеры решения задач

Пример 4.1. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком проводника длиной l в точке, отстоящей на расстоянии х от центра проводника.

1	dl С

А r х d

I В

2

Рис. 4.2

Решение.

На проводнике выбираем элемент тока длиной dl. По закону Био-Савара магнитное поле создаваемое этим элементом с током равно:

0

I dlr sin

0

I dlsin

dB

,

4

4

r3

r2

где - угол между векторами dl и r.

Из рис. 4.2 видно, что sin

AC

,

dl

AC

.

dl

sin

С другой стороны d

AC

, AC r d .

r d

r

Тогда dl

.

sin

Можно записать, чтоsin

х

, r

х

.

r

sin

Тогда dl	хd	.
	sin2

Закон Био-Савара можно записать как:

0

I sin

хd

0

I

dB

sin d .

4

х 2

sin2

4 х

sin

Магнитное поле всего проводника:

B 1

0

I

sin d

0

I

cos

cos

4 х

4 х

1

1

.

1

0

I

cos cos

0

I

2cos

4 х

1

1

4 х

1

B

0 I

cos 1, cos

l

l

l

2 х

2r

2 l2

4

x2

l2 4x2

0 I

l

.

B

2 x

l2 4x2

Пример 4.2. Определить индукцию магнитного поля проводника с током, имеющего форму дуги окружности радиуса R.

Решение.

Выбираем на окружности элемент длиной dl, проводим радиус-вектор r, соединяющий данный элемент с точкой, в которой необходимо определить поле (рис.4.3). Угол между векторами равен 90 . Тогда закон Био-Савара можно записать в виде:

dB

0I

dl r sin90

0I

dl

0I

Rd

0I

d

,

4

r3

4 r2

4 R2

4 R

d - угол, под которым из точки наблюдения виден элемент dl. По принципу суперпозиции просуммируем все поля создаваемые такими элементами:

			0I	0I
		B dB 4 R d 4 R .
		0
	dl	d	I	1	a	O
						B
I	r
				2
	R	B

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Пример 4.3. Определить индукцию магнитного поля в точке О для проводника, показанного на рисунке, если по проводнику течет ток I.

Решение.

Разобьем проводник на два участка 1 и 2 (рис.4.4) и воспользуемся принципом супер-

позиции: В В1 В2 . Магнитное поле, создаваемое первым проводником равно нулю

т.к. угол между векторами dl и r равен нулю и dlr 0 , магнитное поле второго проводника:

B2 0 I В. 4 a

III. Задачи для самостоятельного решения.

4.1. По круговому витку радиуса R = 100 мм из тонкого провода циркулирует ток I =1,00 А. Найти индукцию магнитного поля в центре витка.

Ответ: В = 6,3 мкТл. 4.2. По круговому витку радиуса R = 100 мм из тонкого провода циркулирует ток I =1,00 А. Найти индукцию магнитного поля на оси витка в точке, отстоящей от его центра на х = 100 мм.

Ответ: В = 2,3 мкТл. 4.3. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.5. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В		0	I		2
				1
	4R

4.4. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.6. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В		0	I		3		1
	4R
				2

4.5. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.7. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В 0I 2

4 R

4.6. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.8. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В		0	I		1
				1
	2R

4.7. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.9. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В 0I

4 R

4.8. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.10. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В 0I 2

4 R

4.9. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.11. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В 0I

4R

4.10. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.12. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

Ответ: В		0	I 2
	4				а		а
									b

4.11. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.4.13. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке.

		0	I		3			2
Ответ: В
4					2а		b

4.12. Определить магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I =5 А имеет вид, показанный на рис.4.14. Геометрические размеры и направление тока показаны на рисунке, угол 2 = 90 , радиус изогнутой части проводника 120 мм.

Ответ: В = 28 мкТл 4.13. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид прямоугольника с диагоналями 16 см, угол между диагоналями 30 и ток в контуре 5 А.

Ответ: В = 0.1 мТл. 4.14. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид квадрата, если его диагональ равна d и ток в контуре I.

Ответ: В 4 0I

d

4.15. Определть индукцию магнитного поля в центре равностороннего треугольника со стороной а, обтекаемого током I.

Ответ: В 9 0I

2 a

4.16. Определить индукцию магнитного поля в центре правильного шестиугольника со стороной а, обтекаемого током I.

Ответ: В 3 0I

a

I		R			I		R
R			I		O		O
O	O
					R		I
Рис. 4.5		Рис.4.6		Рис.4.7			Рис.4.8
I				I
R
			O
	O					I	R
			R
							O
Рис.4.9			Рис.4.10				Рис.4.11

				b	I	I
	O		b	O		O
					b	R 2
	a			a
		I
						Рис.4.14
	Рис.4.12			Рис.4.13

4.17. Длинный проводник с током 5 А изогнут под прямым углом. Найти магнитную индукцию в точке, которая отстоит от плоскости проводника на расстояние 35 см и находится на перпендикуляре к проводникам, проходящем через точку изгиба.

Ответ: В = 2 мкТл. 4.18. Ток в 20 А идет по длинному проводу, согнутому под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла и отстоящей от его вершины на расстояние 10 см.

Ответ: В = 97 мкТл. 4.19. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I = 8 А имеет вид, показанный на рис. 4.15. Радиус изогнутой части проводника R = 100 мм, прямолинейные участки проводника очень длинные.

Ответ: В = 30 мкТл

y

y

R

O

R

O

z

z

x	x

Рис.4.15

Рис.4.16

4.20. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I = 8 А имеет вид, показанный на рис. 4.16. Радиус изогнутой части проводника R = 100 мм, прямолинейные участки проводника очень длинные.

Ответ: В = мкТл 4.21. Однородный ток плотности j течет внутри неограниченной пластины толщины 2d параллельно ее поверхности. Найти индукцию магнитного поля этого тока, как функ-

цию расстояния х от средней плоскости пластины.
Ответ: B 0 jx x d,	B 0 jd x d

4.22. Найти плотность тока как функцию расстояния r от оси аксиальносимметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля

внутри потока зависит от r как В br , где b и - положительные постоянные.

Ответ: B b 1 r 1 .

0

4.23. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая длинная цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние l. По проводу течет постоянны ток плотности j. Найти индукцию магнитного поля внутри полости.

		0
	Ответ: B		j,l
		2