К решению задач по электричеству

1 1 1 .

L L1 L2

III. Задачи для самостоятельного решения

7.1.. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости С , катушки с индуктивностью L и пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения Um и затем в момент t 0

замкнули ключ. Найти:

а) ток в контуре как функцию времени;

б) э.д.с. самоиндукции E в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора равна энергии тока в катушке.

Ответ: а)I Im sin 0t , где Im Um CL, 0 1LC ;

б) E =Um 2 .

7.2.. Найти максимальный ток в цепи, состоящей из последовательно подключенных конденсатора емкости С , катушки с индуктивностью L , внешней э. д. с. E и ключа K . Определить максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа K . Активное сопротивление цепи пренебрежимо мало.

Ответ: Im E CL,UCmax 2E. 7.3.. В контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с

пренебрежимо малым активным сопротивлением,

происходят колебания с энергией W . Пластины

K

конденсатора медленно раздвинули так, что

частота колебаний увеличилась в раз.

Какую

C1

C2

работу совершили при этом против электрических

L

сил?

Ответ: A W 1 .

7.4. Колебательный контур состоит из катушки

индуктивности L и конденсатора емкости C .

Рис. 7.6

Сопротивление

катушки и соединительных

проводов пренебрежимо мало. Катушка находится

L

в постоянном магнитном поле, так что суммарный

C

поток, пронизывающий все витки катушки, равен

C

Ф . В момент

t 0 магнитное поле выключили.

Считая время выключения очень малым по

сравнению с периодом собственных колебаний

K

контура, найти ток в контуре как функцию

времени t .

Ответ: I Ф L cos t

.

Рис. 7.7

LC

7.5. В колебательном контуре (рис. 7.6) индуктивность катушки L 2,5 мГн, а

емкости конденсаторов C1 2 мкФ и C2 3 мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения U 180 В и замкнули ключ K . Найти:

а) период собственных колебаний; б) амплитудное значение тока через катушку.

Ответ: а) T 2 L C1 C2 0,7мс;

б) Im UL C1 C2 8А.

7.6.. Электрическая цепь (рис. 7.7) имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения U0 и затем – в момент t 0 - замкнули ключ K . Найти зависимость от времени t напряжений на обоих конденсаторах.

Ответ:U 1 cos t U0 2 , где знак плюс – для левого конденсатора, знак минус – для правого; 2LC .

7.7. Некоторый колебательный контур содержит конденсатор емкости C , катушку с индуктивностью L и активным сопротивлением R , а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти амплитуду напряжения на конденсаторе.

	Ответ: U0 Um		1 R2C 4L .
7.8. В колебательном	контуре с индуктивностью L	происходят	свободные
затухающие колебания,	при которых ток меняется	во времени	по закону

I Ime t sin t . Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и в момент t 0.

2 2 t

Ответ: UC ImL e sin t , причем tg ; UC 0 ImL .

7.9. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости C , катушки с индуктивностью L и активным сопротивлением R . Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.

Ответ: WL WC LCR2 .

7.10. Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью Q 5000 уменьшится в 2 раза, если частота колебаний 2,2 МГц.

Ответ: t Q ln 0,5мс.

7.11. Колебательный контур имеет емкость С 10 мкФ, индуктивность L 25 мГн и активное сопротивление R 1 Ом. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшиться в e раз?

Ответ: n 12 4LCR2 1 16 .

7.12. На сколько процентов отличается частота

K

свободных колебаний контура с добротностью

Q 5от собственной

частоты 0

колебаний

R

этого контура?

E

Ответ: 0

0 1 1

C

L

1 1 2Q 2

18Q2 0,5%

7.13.В схеме на рис. 7.8 э. д. с. элемента E 2В, его внутреннее сопротивление r 9Ом, емкость

конденсатора

C 10 мкФ,

индуктивность

Рис. 7.8

катушки L 100

мГн и сопротивление R 1 Ом.

В некоторый момент ключ K разомкнули. Найти

энергию колебаний в контуре:

а) непосредственно после размыкания ключа; б)

через t 30 с после размыкания ключа.

Ответ:

L CR2

C

L,R

а)W0

E2

2 r R 2 2мДж

7.14.

б) W W0 exp tR L 0,1мДж.

Катушка,

индуктивность

которой

L 3 10 5Гн,

присоединена

к

плоскому

Рис. 7.9

конденсатору с площадью пластин S 100 см2 и

расстоянием между ними d 0.1 мм. Чему равна

диэлектрическая

проницаемость

среды,

заполняющей пространство между пластинами,

R

C

L

если контур резонирует на волну 750 нм?

d 2

Ответ: E

.

0SL4 2c2

7.15. Найти частоту затухающих колебаний

Рис. 7.10

контура, изображенного на рис. 7.9.

Ответ:

02 2 .

7.16. Найти добротность контура с емкостью C 2

мкФ и индуктивностью L 5 Гн,

если на поддержание в нем незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на

конденсаторе Um 1 В необходимо подводить мощность	P 0,1	мВт.	Затухание
колебаний в контуре достаточно мало.	Q Um2 2	P
Ответ:				100.
			C L

7.17. Найти частоту затухающих колебаний контура, изображенного на рис. 12.10. Выяснить, при каком соотношении между C,L и R колебания возможны.

		Ответ:	1 LC 1 4R2C2 .
7.18.. Колебательный контур	состоит из	конденсатора емкостью	C 0,025 мкФ и
катушки с индуктивностью	L 1,015	Гн. Омическим сопротивлением цепи

пренебречь. Заряд конденсатора в начальный момент времени q0 2,5 10 6 Кл. Найти значение разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи в

момент времени Т	с .
8
	Ответ: UC	q0		1			, I		q0	.
		C
			2						2LC

§8. Переменный ток

I. Краткие теоретические сведения

Переменный ток представляет собой вынужденные электрические колебания. Переменный ток низкой частоты получают с помощью индукционного генератора, высокой частоты – с помощью генератора на транзисторе.

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

Переменный ток представляет собой вынужденные электрические колебания. Переменный ток низкой частоты получают с помощью индукционного генератора, высокой частоты – с помощью генератора на транзисторе.

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

1. Аналитический способ

Выражения для тока, напряжения и э. д. с. имеют вид

i t Im sin t i , u t Um sin t u , инд t m sin t ,

где Im, Um, Em - амплитуды тока, напряжения и э. д. с., I, U, - начальная фаза тока, напряжения и э. д. с.

2. Временная диаграмма
Временная диаграмма представляет гра-
фическое изображение синусоидальной вели-
чины в заданном масштабе в зависимости от
времени (рис. 8.1).
3. Графоаналитический способ
Графически синусоидальные величины
	i
изображаются в виде вращающегося вектора
(рис. 8.2). Предполагается вращение против		Рис. 8.1
часовой стрелки с частотой вращения . Ве-

личина вектора в заданном масштабе представляет ам-	Um
плитудное значение. Проекция на вертикальную ось
есть мгновенное значение величины. Совокупность век-
торов, изображающих синусоидальные величины (ток,
напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют
векторной диаграммой.	u	Im
В основе графоаналитического способа анализа це-
пей переменного тока лежит построение векторных	i
диаграмм. Для того, чтобы построить векторную диа-
грамму напряжений и токов при вынужденных колеба-	Рис. 8.2
ниях в электрической цепи, нужно знать соотношения

между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистору с сопротивлением R , конденсатору емкости С и катушки индуктивности L . Во всех трех случаях напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке равны напряжению источника переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока

u

U

cos t,

i

uR

UR

cos t I

cos t .

R

R

R

R

R R

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением

RIR UR .

Конденсатор в цепи переменного тока

u

q

U

cos t,

C

C

C

dq

duC

iC

C

CUC

cos t

IC

cos t

dt

dt

2

2

Ток опережает по фазе напряжение на угол . Соотношение между амплитудами тока

2

IC и напряжения UC

U	C		IC	.
			C

Катушка в цепи переменного тока

uL L dIL UL cos t, dt

iL

UL

UL

cos tdt

cos

t

IL

cos

t

.

L

L

2

2

Ток отстает по фазе от напряжения на угол . Соотношение между амплитудами тока

2

IL и напряжения UL .

UL LIL .

Построим векторную диаграмму для последовательного RLC -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте . Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I0 . Фазу тока примем равной нулю, что возможно, так как

физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного RLC -контура изображена на рис. 8.3.

UL LI0

UL UC

инд

UR RI0 I0

1

UC C I0

Рис. 8.3

Векторная диаграмма на рис. 8.3 построена для случая, когда L 1 . В этом случае

C

напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол . Из рисунка видно, что

откуда следует

инд2 UR2

UL

UC 2

1

инд

L

I0

,

tg

C

.

R

R

2

L

1

2

C

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока. Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе. Действующие значения тока и напряжения определяются из выражения:

		1	T		1	T
	Iд2		I2 (t)dt ,	Uд2		U2 (t)dt ,
		T			T
			0			0

где T - период изменения тока, I (t),U(t) - мгновенные значения тока и напряжения.

Действующие значения тока и напряжения для синусоидального тока соответственно равны:

Iд		I	m		,	Uд		U	m		.
	2						2

II. Примеры решения задач

Пример 8.1. Найти действующее значение тока для двухполупериодного выпрямления I Im |sin t | (см. рис. 8.4), если среднее его значе-

ние равно Iср .

Решение.

По определению действующего значения тока

		1	T	1		T		1		T
						2				2		2
	Iд2		I2 (t)dt 2		I2 (t)dt 2				Im2 sin2 tdt			Im	Рис. 8.4
		T		T				T				2
			0		0				0

.

Неизвестную амплитуду переменного тока Im найдем при использовании определения среднего значения тока:

			1	T	2		T		2		T		2Im
							2				2
	Iср			I(t)dt		I(t)dt				Im sin tdt				.
			T		T				T
				0		0				0

I

Следовательно, связь амплитуды и среднего значения тока: I cp . Таким образом,

m 2

выражение для действующего значения тока принимает вид:

	Iд		Iср				.
				2
		2

Пример 8.2. На рис. 8.5 показан график пилообразных колебаний в цепи с периодом T 1 с. Ток равномерно нарастает от нулевого значения до максимального Im 0,1 А

за время t 0,8 с, а затем скачком падает до нуля. Определить среднее и действующее

значение тока в цепи. Решение.

Будем действовать по аналогии с предыдущей задачей. При этом необходимо учесть,

	что в течение времени t					каждый период
	ток отсутствует.
		1	T	1	t1		1	T
	Iср		I(t)dt		I(t)dt			I(t)dt .
		T		T			T
			0		0			t1

Второе слагаемое равно нулю, следовательно:

			1		t1	Im t		Im t1		Рис. 8.5
	Icp						dt		0,04A ,
			T
				0		t1		2T
	где I(t)	Im t			- уравнение прямой, характеризующей такие пилообразные колебания
		t1

тока.

Также легко определить действующее значение тока

1

t1

1

T

Im2 t2

Im2 t1

2

2

2

I

д

I

(t)dt

dt

,

T

T

t2

3T

0

0

1

Iд

Im

t

0,052 А.

1

3T

Пример 8.3. Для зарядки аккумулятора постоянным током I требуется время . Сколько времени потребуется для зарядки такого аккумулятора от сети через однополупериодный выпрямитель (рис. 9.6), если дейст-

вующее значение тока тоже равно I ? Решение.

При зарядке постоянным током через аккумулятор прошел заряд:

Q I .

При зарядке через выпрямитель за один пери-

	од T проходит заряд:				Рис. 8.6
		T
				Im
		2
	q Im sin t dt 2
					.
	0

Полный заряд, который прошел через аккумулятор при использовании однополупериодного выпрямителя:

Q qn ,

где n - число периодов, в течение которых происходила зарядка аккумулятора. Так как

n t , а t - это искомое время зарядки, то:

T

Q q t Im t . T

Подстановкой получаем:

I Im t .

Определяя неизвестное амплитудное значение тока из известного действующего значения:

1

T

1

T

Im2

2

2

2

2

2

2

2

I

э

I

0

I

(t)dt

0

Im sin

tdt

, Im 2I

T

T

4

найдем t

.

2

Пример 8.4. В цепь

переменного тока

( f 50 Гц)

с

действующим напряжением

U 127 В включены

параллельно конденсатор емкости

C 24 мкФ и дроссель ин-

дуктивностью L 0,6 Гн и активным сопротивлением

R 100 Ом (см. рис. 8.7). Определите действующее зна-

чение подводимого к участку цепи тока. Решение.

Векторные диаграммы наряду с амплитудными значениями позволяют находить и действующие значения Рис.8.7

(см. рис. 8.8). Действительно, из векторной диаграммы по теореме косинусов для амплитуд токов легко получить:

	2	2		2
	Im	I10	I	20	2I10	I20	cos		.
								2

Перейдем к действующим значениям тока:

I2 I12

I22

2I1 I2

sin .

Рис. 8.8

Токи

I1 и I2

найдем, применив закон Ома к каждому участку цепи

отдельно:

U

U

I

U

U C ,

I

,

1

| ZC |

2

| ZL R |

R2 2 L2

sin

UL

I2 L

U L

L

.

U

U

U R2 L 2

R2 L 2

Получаем:

I U

2

C

2

1

2

2CL

U

2

C

2

1 2CL

0,88A

R2 2

L2

R2

L 2

R2 L 2

Пример 8.5. К магистрали переменного тока с на-

Uд

пряжением Uд

120 В через дроссель с индуктивно-

стью L 0,05

Гн и активным сопротивлением R 1

Дроссель

L

Ом подключена осветительная сеть квартиры (рис.

квартира

8.9). Каково напряжение U1 на входе в квартиру, если

R

потребляемый ток I 2 А? Напряжение меняется с

U1

частотой 50 Гц. Индуктивностью и емкостью

UL

Uд

электриче-

Рис.8.9

ской цепи

квартиры можно пренебречь.

Решение.

Дроссель и осветительная сеть квартиры

UR

U1

UR U1

I

подключены к магистрали последовательно,

поэтому ток одинаков на всех участках цепи.

Рис. 8.10

Напряжение U1

и напряжение UR на актив-

ном сопротивлении дросселя совпадают по фазе с силой тока I . Напряжение UL на индуктивном со-

противлении дросселя опережает ток на 2. Следо-

вательно, векторная диаграмма цепи имеет вид, изображенный на рис. 9.10. По теореме Пифагора

Uд2 UL2 UR U1 2

I2 2L2 IR U1 2

Отсюда

U1 IR Uд2 I2 2 L2 ,

где 2 . Так как действующее значение напряжения всегда положительное, то

U1 IR Uд2 I2 2 L2 114В.

III. Задачи для самостоятельного решения

8.1. Найти действующее значение тока, если среднее его значение равно I0 , а сам ток зависит по закону, изображенному на рис.8.11.

Ответ: I 2I0 3 1,15I0

8.2. Найти действующее значение тока, если среднее значение его равно I0 , а сам ток зависит от времени по закону, показанному на рис. 8.12.

Ответ: I 3I0 5 8.3. На рис. 8.13 показан график прямоугольных импульсов, период которых в 4 раза больше их длительности. Определить действующее и среднее значение тока, если он скачком меняется от Im 0,5 А до 0.

Ответ: Iср Im 4 0,125A, Iд Im /2 0,25A

8.4. Найти эффективное значение переменного тока, из-

меняющегося по закону: I I0

при 0 t

T

,

I 0

при

8

T

t

T

,

I I0

при

T

t

5T

,

I

0

при

8

2

2

8

5T

t T ,

I I0 при T t

9T

и т.д. (см. рис. 8.14).

8

8

Ответ: Iср

0,

Iд Im /2

Рис.8.11

Рис. 8.12

Рис. 8.13

Рис. 8.14

Рис. 8.15

8.5. Найдите действующее и среднее значение тока, график изменения которого за период T показан на рис.8.15.

Ответ: Iср 0, Iд I0 8.6. Переменное напряжение с частотой 314 с-1 и амплитудой Um 180В подключено к концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки с активным сопротивлением R 40Ом и индуктивностью L 0,36Гн. При каком значении емкости конденсатора амплитуда напряжения на катушке будет максимальной? Чему равна эта амплитуда и соответствующая амплитуда напряжения на конденсаторе?

C 1 2 L 28мкф;
Ответ:UL Um 1 L R 2	0.54кВ;

UC Um LR 0.51кВ

8.7. Построить примерные векторные диаграммы напряжений в электрических цепях, показанных на рис. 8.16 и 8.17. Внешнее напряжение U предполагается гармоническим с частотой .

8.8. К сети с действующим напряжением 110В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой ХL=30 Ом и импеданс Z=50 Ом. Найти разность фаз между током и напряжением, а также тепловую мощность, выделяемую в катушке.

				U2	XL			2
	Ответ: arcsinXL	Z 37 ;	P		1			193.6Вт .
				Z		Z

8.9. Катушка длиной l=50см и площадью поперечного сечения S=10см включена в цепь переменного тока частотой 50 Гц, число витков катушки N=3000. Найти активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током 60 .

Ответ: R 2 0 N2S 6.15 Ом l tg

8.10. Обмотка катушки состоит из N=500 витков медного провода площадью поперечного сечения S=1 мм2. Длина катушки l=50 см и ее диаметр d=5 см. При какой частоте переменного тока полное сопротивление этой катушки вдвое больше ее активного сопротивления? ( =1.6 10-8 Ом м)

Ответ:	4 l	324Гц

0 SNd

9.11. Катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока с напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка потребляет мощность 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60 .

Ответ: L U4 cos2 P2R2 0.056Гн

2 P

9.12. В цепь переменного тока напряжением Um=220 В включены последовательно емкость С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC=2UR и падение напряжения на индуктивности UL=3UR.

Ответ: UR

U

m

156В

2

R0

L,R

R

C

R2

~U

L,r

I2

R

L

1

Рис. 8.16

I

~U

I1

~U

C

L,R

Рис. 8.18

Рис. 8.20

R

~U

C L

Рис. 8.17

~U

Рис. 8.19

9.13. Катушка индуктивностью L и активным сопротивлением R подключена в цепь переменного тока частотой и максимальным значением напряжения Um. Найти среднюю мощность, выделяемую на катушке. Построить векторную диаграмму.

Ответ:	P		1			Um2 R
			2		R2	L 2

8.14. В цепь переменного тока частотой последовательно включены активное сопротивление R и конденсатор емкостью С. Построить векторную диаграмму, а также найти амплитуду силы тока Im и сдвиг фаз между током и напряжением. Амплитудное значение напряжения – Um.

Ответ: I0				Um				, tg	1	.
		R	2	1		2			CR
				C

8.15. В цепь переменного тока частотой последовательно включены конденсатор емкостью С катушка индуктивностью L, активное сопротивление которой пренебрежимо мало. Построить векторную диаграмму, а также найти амплитуду силы тока Im и сдвиг фаз между током и напряжением. Амплитудное значение напряжения – Um.

Ответ: I0	Um				, tg		.
			1
	L			2

C

8.16. Построить примерные векторные диаграммы напряжений в электрических цепях, показанных на рис. 8.16 и 8.17. Внешнее напряжение U предполагается гармоническим с частотой .

8.17. Для схемы, изображенной на рис. 8.18. при заданых величинах R1,R2 ,L,C , часто-

ты и входного напряжения U определить токи в ветвях и ток всей цепи. Построить векторную диаграмму.

§9. Вектор Умова Пойтинга. Ток смещения

I. Краткие теоретические сведения

Максвелл обобщил закон полного тока, предположив, что переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля служит ток смещения. Током смещения сквозь замкнутую поверхность называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

Iсм jcмdS,

D

где j . Учет токов смещения приводит к тому, что токовые силовые линии

см t

становятся замкнутыми. Токи смещения "проходят" в тех участках, где нет проводников, например между обкладками заряжающегося или разряжающегося конденсатора.

Вектор Умова-Пойнтинга – вектор потока энергии:

S [EH].

Теорема Пойнтинга: убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограничивающую этот объем, плюс работа в единицу времени (т.е. мощность Р), которую поле производит над зарядами вещества внутри данного объема.

		dW
			S d P ,
		dt

где d - элемент поверхности.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

w	ED		BH		0 E2		0 H 2	.
2		2		2		2

Соотношения, связывающие составляющие электромагнитной волны:

	Ez				Hy ,	0		1	.
		0		0
						0
							337

Фазовая скорость распространения электромагнитной волны в среде:

			1				c		.
			0 0
	II. Примеры решения задач
	Пример 9.1. Плоский конденсатор с круглыми обкладками ра-
	диуса a медленно заряжают. Пренебрегая краевыми эффектами
	(рассеянием поля), показать, что скорость возрастания энергии
	электрического поля конденсатора равна потоку вектора Пойн-
	тинга через его боковую поверхность.
	Решение.
	По определению (13.2) вектор Пойнтинга равен
	S [EH].
	Поэтому сначала необходимо определить взаимное расположе-
	ние векторов E,H и S .
										Рис. 9.1
	Пусть для определенности верхняя пластина конденсатора
	имеет положительный заряд. Следовательно,			вектор E направ-

лен вниз. Поскольку конденсатор медленно заряжают, то напряженность электриче-

ского поля возрастает, т.е. вектор d E также направлен вниз. Далее, используя урав- dt

		d D
					d E
	нение Максвелла rotH		, определим, что вектор rotH	сонаправлен с		. По-
		dt			dt

этому линии напряженности магнитного поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны силовым линиям электрического поля, а направление определяется по правилу правого винта (см. рис. 10.1). Таким образом, на боковой по-

верхности вектор S направлен внутрь конденсатора. Найдем его поток S сквозь эту поверхность:

S S d S2 ah EH 2 ah ,

где 2 ah- площадь боковой поверхности конденсатора.

Из теоремы о циркуляции вектора H следует:

			dD
	H dl			d ,
	L		dt

где - площадь поверхности, натянутой на контур L . Тогда

		2			Da
	H 2 a D a		;	H		.
					2

Подстановкой получим

			S E		Da	2 ah E			dD	V ,
		2							dt
где V a2 h - объем конденсатора.
С другой стороны,			dW	, т.е поток				равен изменению энергии электромаг-
	S						S
			dt

нитного поля внутри конденсатора. Тогда

dW EV dD d( 0 E2 V) , 2

и есть изменение энергии электрического поля конденсатора. Таким образом, мы видим, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен скорости изменения электрической энергии внутри конденсатора.

Пример 9.2. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида ( r -радиус соленоида, l - длина соленоида, n - число витков на единицу длины) меняется по зако-

ну I(t) A

t . Определить скорость возрастания энергии в соленоиде.

При

возрастании

тока

Решение.

увеличивается магнитное поле, а

значит,

согласно закону электромагнитной

индукции,

появляется

вихревое

электрическое поле.

На рис. 9.2 изображено

взаимное расположение

векторов

E,H и

S .

Вектор

Пойнтинга

S

Рис. 9.2

направлен

внутрь

соленоида.

Согласно теореме Пойнтинга :

dW

S d .

dt

Определим поток

S

вектора S сквозь боковую поверхность соленоида длиной l,

пренебрегая краевыми эффектами:

S d S2 rl EH 2 rl .

dB

Из закона электромагнитной энергии Edl

d

следует:

dt

L

2 r

2

, E

Br

.

E

B r

B

2

С одной стороны,

H

. Учитывая, что B 0 nI,

1, получим H nI .

0

Таким образом, поток равен:

S		0 n2 r2 l		d(I2 )		0 n2 r2 l A2	.
				dt
	2				2

Заметим, что формулу для потока вектора Умова-Пойнтинга можно записать другим способом:

		BB	r2	l dW			BH
S							dW d		V .
		0				dt		2

Т.е. скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Пример 9.3. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R .

Решение.

Пусть по прямому проводу круглого сечения радиусом a течет ток I . Если проводник идеальный, то электрическое поле внутри проводника отсутствует. При учете сопротивления проводника вдоль него будет действовать не-

которое электрическое поле E . В силу непрерывности тангенциальной компоненты вектора

	Рис. 9.3	E такое же поле будет и у поверхности про-
		водника (рис. 9.3). Кроме того, ток проводимо-

сти I создает магнитное поле H , напряженность которого у поверхности проводника можно определить из теоремы о циркуляции:

H 2 a I;	H	I	.
		2 a

Векторы E и H направлены так, что вектор Пойнтинга S направлен внутрь проводника перпендикулярно его поверхности.

Определим поток электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность участка провода длины l :

S S2 al EH 2 al IU I2 R.

(здесь использована формула El U , U - разность потенциалов на концах данного

участка).

Таким образом, мы приходим к выводу, что при прохождении постоянного тока через проводник с сопротивлением R выделяемая в виде теплоты энергия поступает через боковую поверхность из окружающего пространства, где движется энергия электрического и магнитного поля.

Пример 9.4. Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов U , образуют пучок круглого сечения с током I . Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянии r от его оси.

Решение.

На рис. 9.4 показано взаимное расположение векторов E,H и S . Видно, что век-

тор Пойнтинга направлен параллельно скорости движения протонов. Определим модуль вектора

Пойнтинга

S E H

Неизвестное значение напряженности электрического поля найдем из теоремы Гаусса. Электрическое поле, создаваемое протонами, обладает цилиндрической симметрией, поэтому для цилиндрической гауссовой поверхности радиуса r и длины l можно записать

E2 rl Q ,

0

Рис. 9.4

где Q - заряд внутри этой поверхно-

сти, который в силу равномерного

распределения протонов внутри пучка можно представить в виде Q l

( - линей-

ная плотность заряда). Тогда

E

.

2 r 0

Учитывая, что I

( - скорость движения протонов), найдем

I

E

.

2 r 0

Неизвестную напряженность магнитного поля опре-

делим по теореме о циркуляции для вектора H :

H 2 r I;

H

I

.

2 r

Таким образом, модуль вектора Пойнтинга равен:

I2

S

.

4 2

r2 0

Скорость протонов легко определить из известного

ускоряющегося потенциала:

m 2

eU

2eU

.

2

m

Рис. 9.5

Окончательно имеем:

S	I2		m	.
	4 r2 0
			2qU

Пример 9.5. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса R , подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты (рис. 10.5). Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри конденсатора.

Решение.

Электрическая энергия конденсатора, напряжение на обкладках которого меняется по закону U U0 sin t , может быть найдена следующим образом:

W				0	E2	V		0	U 2	V		0	U	2	V sin2 t
														0
				2			2h2				2h2
	эл													,

W0эл sin2 t

где использована формула E U , h - расстояние между пластинами конденсатора. h

Магнитную энергию в силу зависимости напряженности магнитного поля от расстояния до оси конденсатора найдем путем интегрирования:

	Wмагн	0 H2 (r)	dV .
		2
	V

Неизвестное значение напряженности магнитного поля H найдем из теоремы о циркуляции:

2

rD

r 0 E

r 0

U

r 0

U0 cos t

H 2 r

D r

H

.

2

2h

2

2h

Используя в качестве dV

элементарный объем в виде кольца радиуса r , толщины d r

и высоты h , для которого dV 2 rh (рис. 10.5),

найдем магнитную энергию конденсатора:

R

0

2

2

r

3

U

2

2

cos

2

t

Wмагн

0

0

dr

4h

0

0

2

2

U2

2

R4

0

0

cos2 t

16h

W

cos2

t.

0 магн

Таким образом, отношение амплитудных значений

магнитной и электрической энергии конденсатора

Рис. 9.6

равно:

W0 магн

0 0

R2 2

.

W0эл

8

0

E2 rl Q E

2 r 0

Так как					1	, то W		W	.
					c2
	0		0			0	эл	0магн

Пример 9.6. На двухпроводной линии (рис. 10.6) ток отстает по фазе от напряжения на 900 . Показать, что вектор Пойнтинга каждую четверть периода изменяет направление на обратное, и полный поток энергии равен нулю.

Решение.

Пусть напряжение изменяется по закону U U0 cos t , тогда

I I0	cos( t		) I	0 sin t .
	2

Напряженность электрического поля находим из соотношения:

E

U

U0

cos t E0

cos t

a

a

где a - расстояние между проводниками.

По теореме о циркуляции для напряженности магнитного поля имеем:

H b I H

I

I0

sin t H0 sin t .

b b

Тогда вектор Пойнтинга равен:

S EH

U0

cos tI0 sin t

U0

I0 sin2 t

S0

sin2 t .

ab

2ab

Таким образом, период изменения вектора

S в два раза больше периода измене-

ния тока и напряжения. В первую четверть периода 0 t

T

поток положите-

4

2

лен, а во вторую

T

t

T

- отрицателен,

и пол-

4

2

ный поток энергии за период равен нулю: S 0.

Мгновенная мощность, выделяемая в цепь,

P IU I0 sin tU0 sin( t ) I0 U0 sin2 tcos sin

.

Средняя мощность

1

P I U cos .

2 0 0

Если между током и напряжением разность фаз ,

то поток энергии будет направлен обратно к генератору в течение некоторой части периода. Чем меньше , тем большая энергия поступает к по-

требителю и тем меньше потери на линии.

Пример 9.7. Для передачи энергии используется Рис. 9.7 коаксиальный кабель. Показать, что электромагнитная энергия волны, проходящей через попереч-

ное сечение кабеля за единицу времени, равна энергии, которую за это же время отдает источник, питающий кабель.

Решение.

Коаксиальный кабель представляет собой систему, состоящую из сплошного проводника радиусом r1 и концентрично расположенного с ним трубчатого проводника радиусом r2 . Пространство между ними заполнено диэлектриком. Распределение ли-

ний напряженности электрической E и магнитной H составляющих электромагнитного поля показано на рис. 9.7. Вне кабеля, как следует из теоремы Гаусса и закона полного тока, ни электрического, ни магнитного поля нет.

Определим напряженности электрического и магнитного поля в точках, расположенных на расстоянии r от оси кабеля (r1 r r2 ). Из теоремы Гаусса:

,

- линейная плотность заряда на внутреннем сплошном проводнике.

Из закона полного тока определим: H 2 r I H I . 2 r

Поток электромагнитной энергии через поперечное сечение коаксиального кабеля равен:

			b	I		b
	S S d S2 rdr				ln		.
			a	2 0 a

Неизвестные величины I,b и a определим из соотношения:

U aEdr		ln b .
b
	2 0		a

Следовательно, S IU . Этой же величине равна мощность источника, питающего кабель, и такая же мощность выделяется на нагрузке.

Пример 9.8. Вычислить энергию dW , проходящую за время dt через единичную

площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Решение.

Определим энергию dW с помощью вектора Пойнтинга:

dW Sdt E H dt

Так как в волне выполняется соотношение 0 E 0 H , означающее, что в

электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент времени равна плотности магнитной энергии в той же точке, то

	dW E2	0
		0

при условии 1, 1.