К решению задач по электричеству

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Физика

Файл:

j,r r R, B

.pdf

Скачиваний:

253

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

3.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

4.24. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряжен с одной стороны с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти индукцию магнитного поля в центре диска.

Ответ: В 0 R

4.25. По однородному прямому проводу, радиус сечения которого R, течет постоянный ток плотности j. Найти индукцию магнитного поля этого тока в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус – вектором r.

4.26. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из N плотно расположенных витков, по которым течет ток I. Радиусы внутреннего и внешнего витков а и b. Найти индукцию магнитного поля в центре спирали.

Ответ: B	0N I	ln	b
	2 b a		a

4.27. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного по плоскости с линейной плотностью j.

Ответ: B 0 j

4.28. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями j и –j.

B 0 j (между пластинами)

Ответ:

В 0 (вне пластин)

§5. Закон электромагнитной индукции.

I. Краткие теоретические сведения

Закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, численно равна изменению магнитного потока в единицу времени. Направление ЭДС индукции таково, что индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающего ЭДС индукции.

dФ . d t

Поток вектора магнитной индукции:

Ф B,S B S cos ,

где - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура. Индуктивность соленоида:

L 0n2V ,

где - магнитная проницаемость материала сердечника, n – число витков на единицу длины, V – объем соленоида.

II. Примеры решения задач

Пример 5.1. Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму квадрата со стороной а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму половины окружности (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

Решение. Из закона электромагнитной индукции:

dФ , d t

где магнитный поток Ф В,S BS cos BS , т.к. магнитное поле перпендикуляр-

но плоскости витка, т.е. угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости витка равен нулю.

Из закона Ома I R dq R , d t

где R – сопротивление контура. Тогда:

dФ

, dq

dФ

ФК

ФК ФН

SН SК

dФ

ФН

Начальная площадь контура: SH a2 , конечная площадь контура – площадь половины

окружности:	SR		r	2	, где r – радиус окружности. Радиус окружности найдем из

		2

условия, что длина провода остается неизменной: 4а r 2r, r 4a . Тогда ко- 2

нечная площадь контура:S			4a	2	8 a	2	.
	K

		2 2			2 2

Таким образом, заряд который пройдет через поперечное сечение провода:

	B		8 a2		Ba2		8
q		a2				1			.
q		a2		2		1		2	.
	R		2	2	R		2	2
	R		2		R		2

Пример 5.2. Кольцо радиуса r вращается вокруг оси лежащей в его плоскости, так что угловая скорость зависит от времени по закону аt (где а > 0). Кольцо помещено

в однородное магнитное поле с индукцией В, направленной перпендикулярно к оси вращения. Найти индукционный ток в кольце, если его сопротивление R.

Решение.

Индукционный ток :

I .

Из закона электромагнитной индукции:

dФ , d t

где магнитный поток Ф В,S BS cos , - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура. Тогда:

I 1 dФ . R dt

Вначальный момент времени нормаль к контуру совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля:

ФВ,S BS cos BS .

Вмомент времени t T 4, (где Т – период вращения, т.е. время одного полного оборо-

та) кольцо повернется на угол 90 вокруг своей оси, т.е. = 90 и магнитный поток равен нулю.

В момент времени t T 2, кольцо повернется на угол 180 вокруг своей оси, т.е. = 180 и магнитный поток равен:

ФВS cos 180 ВS .

Вмомент времени t 3T 4 , кольцо повернется на угол 270 вокруг своей оси и =

270 , т.е. магнитный поток равен нулю.

Таким образом,

зависимость

магнитного потока

от

времени имеет

вид:Ф(t) BS cos t , где

Магнитный поток:

Ф(t) B r

cosat

dФ

B r

2atsin at

. Тогда индукцион-

ный ток равен:

2 B

sin t .

Пример 5.3. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на

единицу длины равно n, ток изменяется со временем по закону:

I(t) I0t

(где I0 и -

положительные постоянные). Определит напряженность электрического вихревого поля Е(r) (внутри и снаружи соленоида) в любой момент времени.

Решение.

Закон электромагнитной индукции:

	dФ
Edl		,
	dt

где Ф BS - поток вектора магнитной индукции. Индукция магнитного поля внутри

соленоида: В 0nI , индукция магнитного поля вне бесконечного соленоида равна

нулю. Силовые линии магнитного поля параллельны оси соленоида, силовые линии электрического поля – окружности, плоскости которых перпендикулярны оси соленоида. Выбираем замкнутый контур вдоль силовой линии электрического поля внутри соленоида, тогда поток вектора магнитной индукции через поверхность ограниченную данным контуром равен:

Ф 0n I r2 0n I0 r2 t ,

где r – радиус замкнутого контура.

	dФ	0n I0 r2		.
	dt

			0nI0 r2
Edl 2E r

E 0nI0 r, r R

Если замкнутый контур выбираем вне соленоида, то Ф 0n I R2 0n I0 R2 t .


	dФ	0n I0 R2
	dt

			0nI0 R2
Edl 2E r

E 0nI0 R2 , r R

2 r

Пример 5.4. Провод, имеющий форму параболы y kx2 , находится в однородном

магнитном поле с индукцией В. Из вершины параболы в момент времени t = 0 начали перемещать перемычку 12 (рис. 5.1 а). Найти э.д.с. в образовавшемся контуре как функцию у, если перемычку перемещают с постоянным ускорением а, причем в момент t = 0 скорость перемычки была равна нулю.

Решение. Из закона электромагнитной индукции:

dФ ,

d t

где магнитный поток Ф В,S BScos BS , = 0 - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура.

Рис 5.1 а

Рис. 5.1 б

Чтобы найти площадь

вычислим

площадь

заштрихованной фигуры S/ на

рис. 5.1 б, учитывая, что x

a3t6

2at3 a

y3 ,

k dy

3 k

6 k 2 .

S 2S

3 a

dФ 2

a aB 3t2 2Bat2

a 4 yB

a yB 8a .

dt 3

B y

8a .

Пример 5.5. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка 12 (рис. 5.2). Перемычка имеет длину l, массу m и сопротивление R. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В. В момент времени t = 0 на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силой F, и перемычка начала перемещаться вправо. Найти зависимость от времени скорости перемычки. Самоиндукция и сопротивление П-образного проводника малы.

2 dx

В I n F

FА

Рис. 5.2

Решение.

При перемещении перемычки под действием силы F в контуре возникает ЭДС индукции и индукционный ток (направление тока указано на рис. 5.2):

dФ , d t

где магнитный поток dФ BdScos BdS Вldx, = 180 - угол между вектором

магнитной индукции и нормалью к плоскости контура. Величина индукционного тока определяется выражением:

I Bl dx Bl v, R R dt R

где v – скорость движения перемычки.

На проводник, по которому течет ток, в магнитном поле действует сила Ампера:

FA Il B.

Уравнение движения перемычки имеет вид:

F F m

F Il B m

F l B

v m

l B 2

m Rm

F	av	dv	,	a	l B 2
m					Rm
		dt

Решаем дифференциальное уравнение:

a v

d v

dy adv

1		1		F	m	av
	dy		ln				.
a					F
		a				m

at ln

exp at

F m av

exp at

exp at ,

1 exp at

III. Задачи для самостоятельного решения.

5.1. Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму квадрата со стороной а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму окружности (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

	B a2		4
Ответ: q		1		.
	R

5.2. Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму равностороннего треугольника стороной а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму квадрата (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

Ответ: q Ba2 43 9 . 16R

5.3. Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму квадрата (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

	3B a2			3
Ответ: q		ctg			.
	2R		6	2

5.4. Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму окружности радиуса а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму шестиугольника (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

	Ba2
Ответ: q		1		ctg		.
	R		6
					6

5.5. Короткозамкнутый виток провода сопротивлением R, имеющий форму окружности радиуса а, поместили в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости витка. Затем витку придали форму половины окружности большего радиуса (не растягивая провод, а только деформируя его). Какой заряд протечет через поперечное сечение провода в результате такой деформации.

	Ba2		2
Ответ: q		1			.
				2
	R		2

5.6. Кольцо радиуса r вращается вокруг оси лежащей в его плоскости, так что угловая скорость зависит от времени по закону 0 аt2 (где 0 и а > 0). Кольцо помещено

Ответ: I 0 3at2 В r2 sin t R

5.7. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на единицу длины равно n, ток изменяется со временем по закону: I(t) I0 t 2 (где I0 и - по-

ложительные постоянные). Определит напряженность электрического вихревого поля Е(r) (внутри и снаружи соленоида) в любой момент времени.

	Е	0nI0	tr, r R
Ответ:		2

		0nI0		R2
	Е				t,	r R
		2
				r
5.8. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на единицу
длины равно n, ток изменяется со временем по закону: I(t) I0 sin t			(где I0			и -

Е	0nI0	rcos t			,	r R

Ответ:			R2	cos t		,
Е	0nI0						r R
			r

5.9. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на единицу
длины равно n, ток изменяется со временем по закону: I(t) I0 cos t (где I0							и -

Е	0nI0	rsin t			,	r R

Ответ:			R2	sin t		, r R
Е	0nI0
			r

5.10. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на единицу

длины равно n, ток изменяется со временем по закону: I(t) I0 t 2 (где I0 и - по-

		0nI	0				1
	Е			t				2 r, r R
Ответ:		2

		0nI			R	2			1
			0
	Е						t		2,	r R
		2			r
5.11. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на единицу
длины равно n, ток изменяется со временем по закону: I(t) I0 sin2 t								(где I0		и -

Е	0nI0	rsin2 t				,	r R

Ответ:			R2	sin2 t			r R
Е	0nI0
			r

5.12. В очень длинном соленоиде, радиус которого равен R, а число витков на единицу
длины равно n, ток изменяется со временем по закону: I(t) I0 cos2 t					(где I0 и -

Е	0nI0	rsin2 t			,	r R

Ответ:			R2	sin2 t		, r R
Е	0nI0
			r

5.13. Провод, имеющий форму параболы y kx2 , находится в однородном магнитном

поле с индукцией В. Из вершины параболы в момент времени t = 0 начали перемещать перемычку 12 (рис..5.1). Найти э.д.с. в образовавшемся контуре как функцию у, если перемычку перемещают с постоянной скоростью v.

Ответ: 2Bv

r	х	a
I	v	v
I	v
	I
Рис 5.3		Рис 5.4

5.14. Длинный прямой проводник с током и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (рис 5.3). Перемычку. Длина которой l перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти э.д.с. индукции в контуре как функцию расстояния r.

Ответ: 0I lv

2 r

5.15. Квадратная рамка со стороной а и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости (рис 5.4). Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти э.д.с. индукции в рамке как функцию расстояния х.

Ответ:	0	I a2v
	2	x(x a)

5.16. По двум гладким медным шинам, установленным под углом к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m (рис 5.5). Шины замкнуты на сопротивление R. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости. В которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти установившуюся скорость перемычки.

Ответ:v

mgRsin

Bl 2

R В

Рис.5.5

Рис.5.6

5.17. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости (рис 5.6). Сопротивление рамки R. Ее повернули на

180 вокруг оси ОО, отстоящей от проводника с током на расстояние b. Найти количество электричества, протекшее в рамке.

Ответ:q 0I a ln b a

2 R

b a

§6. Магнитное поле в веществе.

Краткие теоретические сведения

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля:

Bdl 0 I I / ,

где I – алгебраическая сумма макротоков (токов проводимости), I/ - алгебраическая сумма микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

Нdl I ,

где I – токи проводимости, которые охватываются контуром L.

Циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов I/, охватываемых этим контуром:

Jdl I / .

Намагниченность:

J H ,

где - безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Магнитная проницаемость вещества: 1 .

B 0 H 0 1 H .

H J

II. Примеры решения задач

Пример 6.1. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотропного материала равна В0, причем вектор В0 составляет угол 0 с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость материала . Найти угол , который составляет вектор В с нормалью внутри магнетика.

	Вn		В
	В0		В
	В0		В
=1			В
=1		В0n
В0		В0n
В0	0
		Рис. 6.1.

Решение.

Вблизи границы раздела двух сред ( 1 и2) выполняются следующие условия:

В0n Вn, В0 1

Из рисунка

tg 0 B0 , tg B . B0n Bn

Тогда

tg 0 B0 Bn 1 tg B B0n

tg tg 0

Пример 6.2. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом R имеется обмотка общим числом N витков. В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной b. При токе I через обмотку индукция магнитного поля в зазоре равна В. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

Решение.

Теорема о циркуляции вектора напряженности

магнитного поля:

Нdl IП ,

где IП – токи проводимости, которые охватываются контуром L. Замкнутый контур выбирают вдоль силовой линии магнитного поля (H =const). Тогда

Н1dl Н0dl Нdl ,

L1 L0 L

В0

Рис. 6.2

где L1 – длина контура в железном сердечнике, L0 – длина контура в зазоре. H1 B0

- напряженность магнитного поля в железном сердечнике, - магнитная проницае-

мость железа, В0 – индукция магнитного поля в зазоре. H0 B0 - напряженность маг-

нитного поля в зазоре (Bn1 = Bn2 = B0). Силу тока IП можно определить как произведение количества витков, которые пересекают контур, на силу тока в одном витке I. Тогда:

H1L1 H0L0 N I,
B0		2 R b	B0	b N I
0			0

	B0 2 R b			2B0 R	2 R b
				0N I B0b
		0N I B0b

Пример 6.3. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца d = 20 см. Ширина зазора b = 2 мм, индукция магнитного поля в зазоре В0 = 40 мТл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти модуль напряженности магнитного поля внутри магнита.

Решение.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

Нdl IП ,

где IП = 0 – токи проводимости, которые охватываются контуром L. Замкнутый контур выбирают вдоль силовой линии магнитного поля (H =const). Тогда:

Н1dl Н0dl 0,

L1 L0

где L1 – длина контура в постоянном магните, L0 – длина контура в зазоре.

Н1 d b H0b 0 .

H0 B0 - напряженность магнитного поля в зазоре, тогда:

Н1

d b

B0b

0, H1

B0b

d b

Н1

40 10 3 2 10 3

102

Ам .

4 3,14 10 7 3,14 0,2 2 10 3

Тл м

Тл А м

Гн

Вб

Тл м

Знак «-» указывает, что Н1 и В0 антипараллельны.

III. Задачи для самостоятельного решения.

6.1. Найдите магнитную индукцию В в узкой щели, прорезанной в магнетике с проницаемостью , если магнитная индукция в окрестности щели равна В1. Щель прорезана параллельно В1.

Ответ: B B1

6.2. Найдите магнитную индукцию В в узкой щели, прорезанной в магнетике с проницаемостью , если магнитная индукция в окрестности щели равна В1. Щель прорезана перпендикулярно В1.

Ответ: B B1 6.3 Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотропного магнетика равна В0, причем вектор В0 составляет угол 0 с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость . Найти индукцию магнитного поля в магнетике вблизи поверхности.

Ответ: B B0 cos2 0 2 sin2 0

6.4. Прямой бесконечно длинный проводник с током лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями 1 и 2. Найти модуль вектора индукции магнитного поля во всем пространстве в зависимости от расстояния r до провода. Иметь в виду, что линии вектора В являются окружностями с центром на оси проводника.

Ответ: B I 0 1 2

r 1 2

6.5. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом R = 250 мм имеется обмотка общим числом N = 1000 витков. В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной b = 1 мм. При токе I = 0,85 А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре равна В = 0.75 Тл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

Ответ:		2 R b				2 R	, = 3,7	103.
Ответ:	0				0	NI bB	, = 3,7	103.
						NI bB
		NI bB
6.6. Железное кольцо средним диаметром			0
6.6. Железное кольцо средним диаметром		d	= 11.4	см		имеет	обмотку	из

N = 200 витков, по которой течет ток силой I0 = 5 А. Какой ток должен протекать через обмотку, чтобы индукция в сердечнике осталась прежней, если в кольце сделать прорезь шириной b = 1 мм? ( = 3 103).

Ответ: I I0 d b 1 , I = 61 А.

6.7. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью . Найти объемный молекулярный ток.

Ответ: IМ I 6.8. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью . Найти поверхностный молекулярный ток.

Ответ: IМ I

§7. Колебательный контур

I. Краткие теоретические сведения

Колебательный контур – это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор, в которой могут возбуждаться электрические колебания. Свойства колебательного контура определяются его параметрами: индуктивностью, емкостью и сопротивлением.

Уравнение колебательного контура, содержащего последовательно соединенные конденсатор С , катушку индуктивности L , активное сопротивление R и внешнюю переменную э. д. с. E. Тогда уравнение колебательного контура имеет вид

d2q

q Е

или

dt2

q 2 q 0 q

L ,

где

- коэффициент затухания,

– собственная частота.

Если E 0 , то колебания называются свободными. При

R 0 они будут незату-

хающими, при R 0 - затухающими.

Уравнение свободных незатухающих колебаний представляет собой частный случай уравнения (7.1), когда E и R 0

q 02q 0,

его решение

q qm cos 0t ,

где qm - амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора, - начальная фаза,

причем обе постоянные определяются начальными условиями. Колебания в таком контуре происходят с периодом (формула Томсона)

T 2 LC .

Уравнение свободных затухающих колебаний представляет собой частный случай уравнения (7.1) при E = 0

					2
решение которого имеет вид		q	2 q		0 q 0,
решение которого имеет вид	q qme t cos 0t ,
где	q qme t cos 0t ,
где

					1		R		2
	2			2	1		R		2
	0							.
	0					LC		.
						LC	2L

Зная q t , можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре как

UC	q	qm	e t cos t Um0e t cos t ,
	C
		C

где Um0 – начальная амплитуда,

Idq qme t cos t sin t qme t cos t , dt

где угол определяется из формул

0 cos , 0 sin .

При гармонических вынужденных колебаниях в контур включена внешняя пере-

менная э. д. с. E зависящая от времени по гармоническому закону

E(t) Em cos t .

Тогда уравнение колебательного контура (7.1) принимает вид

cos t ,

q 2 q 0 q

Сила тока в этом случае меняется по закону:

I Im cos t ,

амплитудные значения силы тока и напряжения связаны законом Ома

R2 XL XC 2

L ,

, tg

XL XC

Здесь XL и XC – индуктивное и емкостное сопротивления. Напряжение и ток сдви-

нуты по фазе на угол .

II. Примеры решения задач

Пример 7.1. Ток в колебательном контуре зависит от времени как I I0 sin 0t , где

Im 9	мА,		0		4,5 104 с-1. Емкость конденсатора C 0,5 мкФ. Найти индуктивность
контура и напряжение на конденсаторе в момент t 0 .
					Решение.
По		условию задачи					ток		изменяется по закону
I I0 sin 0t ,					т.е. в контуре (рис.6.1) происходят свободные
незатухающие колебания, а уравнение колебательного контура
имеет вид							2
								I 0	,
					I		0

2	1				1
где 0				.	Отсюда L			. Тогда
						02C
		LC							Рис. 6.1

Idt

cos t const.

Для определения постоянной,

используем начальным условиям: при t 0

ток I 0 .

Так как

получим

UL LI L 0 I0 cos t ,

t 0 L 0 I0 , UC

t 0 0 .

Откуда const

. Подстановкой, найдем

(1 cos t) .

Пример 7.2.

В контуре, состоящем

из конденсатора емкости C

катушки

индуктивности

L , совершаются свободные незатухающие колебания,

при которых

амплитуда напряжения на конденсаторе равна Um . Найти связь между током I в

контуре и напряжением UC на конденсаторе.

Решение.

Уравнение колебательного контура в котором происходят свободные незатухающие колебания можно записать в виде

UC LI 0.

Умножим это уравнение на UC , получим

UCUC LIUC 0

Подставляя UC

и UC

в последнее уравнение, имеем

L I I

UCUC

Интегрируя последнее уравнение,

Ume t окончательно получим

UC2

L I 2

const Umax .

Пример 7.3. В контуре совершаются

затухающие

свободные

колебания,

при которых

напряжение на

конденсаторе

меняется

во

времени

по закону U Ume t

cos t . Найти

Рис. 7.2

моменты

времени,

когда

модуль

напряжения

на

конденсаторе

достигает:

а) амплитудных значений; б) максимальных (экстремальных) значений.

Решение.

а). Из рис.7.2 видно, что модуль напряжения на конденсаторе достигает амплитудных

t t

значений при выполнении равенства Ume cos t Ume , что возможно, если cos t 1. Таким образом,

t n, n 0, 1, 2,...

откуда

t n, n 0, 1, 2,...

б). Для нахождения максимальных значений напряжения на конденсаторе следует приравнять нулю первую производную U U t , т.о.

dUdt sin tUm e t cos tUm be t 0.

Отсюда получим, что tg t , тогда t


		1		n
t	n		arctg		,	n 0, 1, 2,...

			n , откуда
arctg


.

Пример 7.4. Найти коэффициент затухания и

частоту свободных

затухающих

колебаний

контура

(см. рис. 7.3).

Решение.

По второму закону Кирхгофа

E .

UC UL

Так как колебания свободные, то E = 0. Под-

ставив значения напряжений, получим

Рис. 7.3

I dt

)I 0,

L I

R I R I L I

(L L

)I (R R

или

(L1 L2) I (R1 R2)

(R1 R2)

I I

(L1 L2)

(L1 L2) C

Откуда

2	(R1 R2)			,	2	1			.
	(L L		)			(L L
		2			0		2	) C
1						1

Пример 7.5. Некоторый колебательный контур содержит две последовательно соединенные катушки с активными сопротивлениями R1 , R2 и индуктивностями L1 ,

L2 , причем взаимная индуктивность пренебрежимо мала. Эти катушки нужно

заменить одной так, чтобы частота и добротность не изменялась. Найти L и R такой катушки.

Рис. 7.4 а Рис. 12.4 б

Решение.

По условию задачи схему, изображенную на рис. 7.4 а, нужно заменить эквивалентной

схемой, показанной на рис. 7.4 б.

Запишем

уравнение

колебательного

контура

для

первой

схемы

(рис. 7.4 а), полученное в предыдущем примере

(R1 R2)

тогда

(L1 L2)

(L1 L2) C

(R1 R2)

, 2

(L L )

(L L ) C

Собственная частота колебательного контура, изображенного на второй схеме,

равна 2	1	. Приравнивая частоты,			найдем L L					L .
равна 2		. Приравнивая частоты,			найдем L L					L .
0	LC								1		2
Приравняв добротности, получим
				2		1
				2		1				L
		Q	0								,
		Q					(R R		)	C	,
			4	2			(R R	2	)	C
			4		1			2

откуда

R R1 R2 .

Рис. 7.5

Пример 7.6. Имеются два колебательных контура (рис. 7.5). При каком соотношении между индуктивностями частоты свободных колебаний в контурах одинаковы?

Решение.

Запишем уравнения колебательного контура А, воспользовавшись первым законом Кирхгофа для замкнутых контуров L1CR и L2CR

I 0;

L1 C

I 0;

откуда

L2 C

тогда собственная частота равна

Уравнение колебательного контура В имеет вид

I RI LI 0 ,

или

I 0,

т.е. или собственная частота равна

021

По условию задачи частоты свободных колебаний в контурах одинаковы

021 02 , тогда

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
13.04.2015984.61 Кб18319_Лекции по ядерной физике 1_7.pdf
#
13.04.20153.45 Mб253К решению задач по электричеству.pdf
#
13.04.20153.11 Mб39Лекции атомная физика.pdf
#
13.04.201519.23 Кб38СР закон Кулона напряженность эл поля.docx
#
13.04.2015464.3 Кб15СР_ядерная физика.pdf
#
16.03.20162.13 Mб33физика 9 класс.docx